Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

a) Số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà ông A nhận được sau 5 năm gửi ngân hàng là:
$$S_5=125.10^6{\left(1+\frac{6,6}{100}\right)}^5\approx 172066386\text{ đoˆˋng}.$$
b) Số tiền lãi thu được sau n(năm) gửi ngân hàng là:
$$T=125.10^6{\left(1+\frac{6,6}{100}\right)}^n-125.10^6$$
$$T\ge 43.10^6\iff (1,066{)}^n\ge \frac{168}{125}\iff n\ge 4,63$$
Vậy sau ít nhất 5 năm thì ông A có số tiền lãi đủ mua xe

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_6=u_3\cdot q^3\Rightarrow 16=2q^3\Rightarrow q^3=8\Rightarrow q=2$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (đề 0001, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau 3 năm theo lãi kép: $200\cdot (1+0,06{)}^3=200\cdot 1,191016=238,2032\approx 238$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (238).

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau n lần tăng gấp đôi: $50\cdot 2^n$. Giải $50\cdot 2^n=3200\Rightarrow 2^n=64\Rightarrow n=6$. Mỗi lần cách nhau 20 phút nên thời gian là $6\times 20=120$ phút $=2$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau n lần tăng gấp đôi (mỗi lần 20 phút) là $50\cdot 2^n$. Cần $50\cdot 2^n=3200\Rightarrow 2^n=64\Rightarrow n=6$. Thời gian là $6\times 20=120$ phút $=2$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_n=\frac{1}{3^{n-2}}=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$, đây là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=9$ và công bội $q=\frac{1}{3}$. Các dãy B, C, D không phải cấp số nhân vì $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ không không đổi (B có dạng trừ hằng số, C là cấp cộng, D là hàm bậc hai của $n$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ cho từng dãy. A: $u_n=7-3n$ là cấp số cộng (công sai $-3$), không phải cấp số nhân. B: $u_n=7-3^n$, tỉ số $\frac{7-3^{n+1}}{7-3^n}$ không phải hằng số. C: $u_n=\frac{7}{3n}$, tỉ số $\frac{n}{n+1}$ không phải hằng số. D: $u_n=7\cdot 3^n$, ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{7\cdot 3^{n+1}}{7\cdot 3^n}=3$ hằng số với mọi $n$, nên đây là cấp số nhân công bội $q=3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $2x-3$; $x$; $2x+3$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $x^2=(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$. Suy ra $3x^2=9$, tức $x^2=3$, nên $x=\pm \sqrt{3}$. Vì đề yêu cầu $x$ dương nên $x=\sqrt{3}$. Kiểm tra: với $x=\sqrt{3}$, ba số là $2\sqrt{3}-3$; $\sqrt{3}$; $2\sqrt{3}+3$, và ${\sqrt{3}}^2=(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)=12-9=3$ thỏa mãn. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2}$ lập thành cấp số nhân khi $\sqrt{b}$ là trung bình nhân: $b=(\sqrt{b}{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=1$. Thỏa $b>0$. Vậy $b=1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trữ lượng gỗ tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+4\%=1,04$. Sau 5 năm: $u_6=4\cdot 10^5\cdot (1,04{)}^5$ mét khối. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau 10 năm theo công thức lãi kép: $T=100000000\cdot (1,07{)}^{10}$. Tính $(1,07{)}^{10}\approx 1,96715$, nên $T\approx 196715000$ đồng (chính xác hơn: $1,07^{10}\approx 1,967151\dots$, tức khoảng $196715100$ đồng). Vậy kết quả gần với 196715000 đồng nhất, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{12288}{2}=6144{\mathrm{m}}^2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Tầng trên cùng là tầng thứ 11: $u_{11}=u_1{q}^{10}=6144\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{6144}{1024}=6{\mathrm{m}}^2$. Vậy diện tích bề mặt tầng trên cùng là $6{\mathrm{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi CSN $(u_n)$ có công bội $q=3$, tổng $S_n=728$, số hạng cuối $u_n=486$.

Ta có:
$$u_n=u_1{q}^{n-1}=u_1\cdot 3^{n-1}=486$$
$$S_n=u_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=u_1\cdot \frac{3^n-1}{2}=728\Rightarrow u_1(3^n-1)=1456$$

Từ phương trình đầu: $u_1\cdot 3^n=3\cdot 486=1458$.

Trừ hai phương trình: $u_1\cdot 3^n-u_1(3^n-1)=1458-1456$, suy ra $u_1=2$.

Thay lại: $3^n=\frac{1458}{2}=729=3^6$, nên $n=6$.

Kiểm tra: dãy $2,6,18,54,162,486$ có công bội 3, số hạng cuối 486, tổng $\frac{2(3^6-1)}{2}=728$. Đúng.

Vậy số hàng đầu của cấp số nhân là $u_1=2$ (dãy có 6 số hạng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_n$ (triệu đồng) là giá trị còn lại của máy photocopy sau $n$ năm sử dụng. Lúc mới mua: $u_0=50$. Theo đề bài, sau mỗi năm giá trị chỉ còn $75\%$ giá trị năm liền trước, nên $u_n=0,75u_{n-1}$ với mọi $n\ge 1$. Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_0=50$ và công bội $q=\frac{3}{4}$, do đó $u_n=50\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$ (triệu đồng). Tính cụ thể trong 5 năm kể từ khi mua: $u_1=50\cdot \frac{3}{4}=37,5$ triệu đồng; $u_2=37,5\cdot \frac{3}{4}=28,125$ triệu đồng; $u_3=28,125\cdot \frac{3}{4}=21,09375$ triệu đồng; $u_4=21,09375\cdot \frac{3}{4}\approx 15,82$ triệu đồng (chính xác $15,8203125$); $u_5=15,8203125\cdot \frac{3}{4}\approx 11,87$ triệu đồng (chính xác $11,865234375$). Vậy giá trị còn lại của máy sau mỗi năm trong 5 năm lần lượt là: sau năm thứ nhất $37,5$ triệu đồng, sau năm thứ hai $28,125$ triệu đồng, sau năm thứ ba $21,09375$ triệu đồng, sau năm thứ tư $\approx 15,82$ triệu đồng, sau năm thứ năm $\approx 11,87$ triệu đồng. Đây là bài toán dãy số (cấp số nhân) nên không có phương án trắc nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân 6 số hạng với $u_1=1$, $u_6=-243$. Ta có $u_6=u_1{q}^5=-243\Rightarrow q^5=-243\Rightarrow q=-3$. Bốn số xen là $u_2=-3$, $u_3=9$, $u_4=-27$, $u_5=81$. Vậy dãy là $1;-3;9;-27;81;-243$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_8=u_1{q}^7\Rightarrow q^7=\frac{729}{1/3}=2187=3^7\Rightarrow q=3$. Tổng 8 số hạng đầu: $S_8=u_1\frac{q^8-1}{q-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3^8-1}{2}=\frac{3^8-1}{6}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{1}{3^{n-2}}=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$ có dạng $u_1{q}^{n-1}$ với $u_1=9$, $q=\frac{1}{3}$, nên là cấp số nhân. B) $u_n=\frac{1}{3^n}-1$: $u_1=-\frac{2}{3}$, $u_2=-\frac{8}{9}$, $u_3=-\frac{26}{27}$; $\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{3}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{13}{12}$, không phải cấp số nhân. C) $u_n=n+\frac{1}{3}$ là cấp số cộng (công sai 1), không phải cấp số nhân. D) $u_n=n^2+\frac{1}{3}$: $u_1=\frac{4}{3}$, $u_2=\frac{13}{3}$, $u_3=\frac{28}{3}$, tỉ số không không đổi, không phải cấp số nhân. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy:

1) $u_n=(\sqrt{5}{)}^{2n-3}=5^{n-\frac{3}{2}}$. Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n-\frac{1}{2}}}{5^{n-\frac{3}{2}}}=5$ không đổi với mọi $n$, nên $(u_n)$ là cấp số nhân với số hàng đầu $u_1=5^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và công bội $q=5$.

2) $v_n=\frac{2}{n}$: $\frac{v_2}{v_1}=\frac{1}{2}$, $\frac{v_3}{v_2}=\frac{2}{3}$, tỉ số không không đổi nên $(v_n)$ không là cấp số nhân.

3) $w_n=\frac{3^{n+1}}{2^n}=3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^n$. Ta có $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{3}{2}$ không đổi, nên $(w_n)$ là cấp số nhân với số hàng đầu $w_1=\frac{9}{2}$ và công bội $q=\frac{3}{2}$.

4) Dãy hữu hạn $16;4;1;\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{64}$: mỗi số hạng (từ số thứ hai) bằng số hạng trước nhân với $\frac{1}{4}$, nên đây là cấp số nhân với số hàng đầu $16$ và công bội $q=\frac{1}{4}$.

Kết luận: Các dãy $u_n$, $w_n$ và dãy hữu hạn là cấp số nhân; dãy $v_n$ không là cấp số nhân.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bốn góc của tứ giác theo thứ tự là $a,2a,4a,8a$ (cấp số nhân công bội $q=2$). Tổng bốn góc của tứ giác bằng $360^{\circ }$, nên $a+2a+4a+8a=15a=360^{\circ }\Rightarrow a=24^{\circ }$. Vậy các góc là $24^{\circ },48^{\circ },96^{\circ },192^{\circ }$ (tứ giác lõm, vẫn thỏa tổng $360^{\circ }$). Số đo góc lớn nhất là $192^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_5-u_2=u_2(q^3-1)=78$ và $u_6-u_3=u_3(q^3-1)=234$. Chia hai phương trình: $\frac{u_3}{u_2}=\frac{234}{78}=3$, mà $\frac{u_3}{u_2}=q$ nên $q=3$. Thay vào phương trình đầu: $u_2(3^3-1)=26u_2=78\Rightarrow u_2=3$, suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=1$. Vậy số hàng đầu $u_1=1$ và công bội $q=3$. Kiểm tra: $u_5-u_2=81-3=78$ đúng; $u_6-u_3=243-9=234$ đúng.