Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $4$ lần khi $x$ đi qua $-2,-1,0,2$ nên hàm số có $4$ điểm cực trị. Chọn C.

Tập xác định $D=(-1;+\infty )$.
- a) Đúng: $f(3)=3\cdot 3-{\log }_4(3+1)=9-1=8$.
- d) Sai: $f^{\prime }(x)=3-\frac{1}{(x+1)\ln 4},\forall x\in (-1;+\infty )$.
- b) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff x=x_0=\frac{1}{3\ln 4}-1\in (-1;0)$ là nghiệm đơn duy nhất nên hàm số có đúng một điểm cực trị.
- c) Sai: Trên $(-1;x_0)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;0)$.

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ đổi dấu $4$ lần khi $x$ đi qua $-4,-3,-2,1$ nên hàm số có $4$ điểm cực trị. Chọn A.

Tập xác định $D=(-1;+\infty )$.
- c) Sai: $f^{\prime }(x)=2-\frac{1}{(x+1)\ln 5},\forall x\in (-1;+\infty )$.
- b) Sai: $f(4)=2\cdot 4-{\log }_{5}5=8-1=7$.
- a) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{1}{2\ln 5}-1\in (-1;0)$, qua đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số có một điểm cực tiểu.
- d) Đúng: Với mọi $x>0$, $x+1>1>\frac{1}{2\ln 5}$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.

Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $3$ lần khi $x$ đi qua $-3$, $-2$, $-1$ nên hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn D.

Tập xác định $D=(-1;+\infty )$.
- c) Đúng: $f^{\prime }(x)=5-\frac{1}{(x+1)\ln 3},\forall x\in (-1;+\infty )$.
- d) Đúng: $f(2)=5\cdot 2-{\log }_3(2+1)=10-1=9$.
- a), b) Sai: Giải $f^{\prime }(x)=0\iff x+1=\frac{1}{5\ln 3}\iff x=x_0=\frac{1}{5\ln 3}-1\in (-1;0)$. Bảng biến thiên cho thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x_0$ nên $f(x)$ có một điểm cực tiểu tại $x_0\in (-1;0)$ (không có cực đại và không nghịch biến trên toàn khoảng $(-1;0)$).

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6(m+1)x+3(m-1{)}^2$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì điều kiện cần là $y^{\prime }(1)=0$:
$3(1{)}^2-6(m+1)(1)+3(m-1{)}^2=0⟺1-2m-2+m^2-2m+1=0⟺m^2-4m=0⟺m=0$ hoặc $m=4$.
Thử lại:
- Với $m=0$: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, do đó $y^{\prime }$ không đổi dấu khi qua $x=1$, hàm số không đạt cực trị tại $x=1$.
- Với $m=4$: $y^{\prime }=3x^2-30x+27=3(x-1)(x-9)$, đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=1$, hàm số đạt cực đại tại $x=1$.
Vậy chỉ có $m=4$ thỏa mãn. Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1;2)$, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1$. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$.
Chia $y$ cho $y^{\prime }$: $x^3-3x+1=\frac{x}{3}(3x^2-3)+(-2x+1)=\frac{x}{3}{y}^{\prime }+(-2x+1)$.
Tại hai điểm cực trị $A,B$ thì $y^{\prime }=0$, do đó $y=-2x+1$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=-2x+1$. Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $[-2;2]$, ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ $(-1;2)$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6mx-2$ và $y^{\prime \prime }=6x+6m$. Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ thì điều kiện cần là $y^{\prime }(-1)=0⟺3(-1{)}^2+6m(-1)-2=0⟺1-6m=0⟺m=\frac{1}{6}$. Thử lại với $m=\frac{1}{6}$: $y^{\prime \prime }(-1)=6(-1)+6\cdot \frac{1}{6}=-5<0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$. Giá trị $m=\frac{1}{6}\in (0;1)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0⟺(x-1{)}^{2}x(x-2)=0$. Nghiệm bội chẵn là $x=1$ (không làm đổi dấu đạo hàm), các nghiệm đơn làm đổi dấu đạo hàm là $x=0$ và $x=2$. Đạo hàm: $g^{\prime }(x)=(3x^2-6x)f^{\prime }(x^3-3x^2+m)=3x(x-2)f^{\prime }(u)$. Phương trình $3x(x-2)=0$ có 2 nghiệm đơn phân biệt $x=0$ và $x=2$. Để $g(x)$ có 8 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(u)=0$ phải đổi dấu tại 6 điểm phân biệt khác $0$ và $2$. Điều này tương đương với mỗi phương trình $u=0$ và $u=2$ đều có 3 nghiệm phân biệt khác $0$ và $2$. Tức là mỗi phương trình $x^3-3x^2=-m$ và $x^3-3x^2=2-m$ có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số $h(x)=x^3-3x^2$ có cực đại $h(0)=0$ và cực tiểu $h(2)=-4$. Để cả hai phương trình đều có 3 nghiệm phân biệt thì: $\{\begin{array}{l}-4<-m<0\\ -4<2-m<0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}0<m<4\\ 2<m<6\end{array}⟺2<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=3$. Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của tham số $m$.

Theo định lí Fermat, nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng chứa $x_0$ và đạt cực trị tại $x_0$ thì $f^{\prime }(x_0)=0$. Mệnh đề A sai vì nếu $f^{\prime }(x_0)=0$ nhưng đạo hàm không đổi dấu qua $x_0$ (như $y=x^3$ tại $x=0$) thì hàm số không đạt cực trị tại $x_0$. Mệnh đề B và D sai vì vậy.

Xét hàm số $y=x^2+1$:
- $y^{\prime }=2x,y^{\prime \prime }=2$.
- $y^{\prime }(0)=0$ và $y^{\prime \prime }(0)=2>0$.

Do đó, hàm số $y=x^2+1$ đạt cực tiểu tại $x=0$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+27=3(x^2-2mx+9)$.

Hàm số có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ khi phương trình $x^2-2mx+9=0$ có hai nghiệm phân biệt:
${\Delta }^{\prime }=m^2-9>0\iff m>3(\text{do }m>0)$

Theo định lí Vi-ét, ta có:
$\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=2m\\ & x_1{x}_2=9\end{array}$

Điều kiện $|x_1-x_2|\le 5\iff (x_1-x_2{)}^2\le 25$:
$(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2\le 25\iff 4m^2-36\le 25\iff 4m^2\le 61\iff m^2\le \frac{61}{4}\iff m\le \frac{\sqrt{61}}{2}$

Kết hợp $m>3$, ta được tập giá trị dương của $m$ là:
$S=\left(3;\frac{\sqrt{61}}{2}\right]$

Suy ra $a=3$ và $b=\frac{\sqrt{61}}{2}$.

Khi đó:
$T=2b-a=2\cdot \frac{\sqrt{61}}{2}-3=\sqrt{61}-3$

Xét hàm số $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m-1$.

Ta có:
$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-1,x=0,x=2$
Hàm số $f(x)$ luôn có $3$ điểm cực trị.

Các giá trị cực trị của $f(x)$:
- $f(-1)=3(-1{)}^4-4(-1{)}^3-12(-1{)}^2+m-1=m-6$;
- $f(0)=m-1$;
- $f(2)=3(16)-4(8)-12(4)+m-1=m-33$.

Vì hệ số $a=3>0$, hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=2$, trong đó $f(2)=m-33<f(-1)=m-6<f(0)=m-1$.

Hàm số $y=|f(x)|$ có $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt (tức là $3$ điểm cực trị của $f(x)$ cùng với $4$ nghiệm đơn của $f(x)=0$).

Điều này tương đương với cực tiểu lớn hơn mang giá trị âm và cực đại mang giá trị dương:
$\{\begin{array}{rl}& f(-1)<0\\ & f(0)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m-6<0\\ & m-1>0\end{array}\iff 1<m<6$

Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là $(1;6)$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$.
$y^{\prime }=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$. Suy ra hàm số đạt cực trị tại $x=1$, $x=-1$.
$y^{\prime \prime }=6x$. Ta có $y^{\prime \prime }(1)=6\cdot 1=6>0$ và $y(1)=1^3-3\cdot 1+5=3$.
Do đó điểm cực tiểu của đồ thị là $M(1;3)$. Chọn A.

* Với $m=-2$, hàm số trở thành $y=3x^2-2x-5$.
$y^{\prime }=6x-2$, $y^{\prime }=0⟹x=\frac{1}{3}$. Vì $y^{\prime }=0$ có nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm nên với $m=-2$ hàm số có cực trị.
* Với $m\ne -2$, $y^{\prime }=3(m+2)x^2+6x+m$. Để hàm số có cực trị thì ${\Delta }^{\prime }>0⟹9-3m(m+2)>0⟺m^2+2m-3<0⟺-3<m<1$.
Kết hợp cả hai trường hợp suy ra $-3<m<1$. Chọn B.

Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, trên khoảng $(-1;3)$ đồ thị có 1 điểm cực đại (tại $x=0$, $y=4$) và 1 điểm cực tiểu (tại $x=2$, $y=0$).
Như vậy đồ thị hàm số có đúng 2 điểm cực trị trên khoảng $(-1;3)$. Chọn B.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có $y^{\prime }=4x^3-4(1-m^2)x=4x[x^2-(1-m^2)]$.
Hàm số có 3 điểm cực trị $⟺1-m^2>0⟺-1<m<1$.
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$A(0;m+1)$, $B(-\sqrt{1-m^2};-(1-m^2{)}^2+m+1)$, $C(\sqrt{1-m^2};-(1-m^2{)}^2+m+1)$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đáy $BC=2\sqrt{1-m^2}$ và chiều cao $h=(1-m^2{)}^2$.
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$S=\frac{1}{2}BC\cdot h=\sqrt{1-m^2}\cdot (1-m^2{)}^2=(1-m^2{)}^{5/2}$.
Vì $1-m^2\le 1$ với mọi $m\in (-1;1)$ nên $S\le 1^{5/2}=1$.
Dấu bằng xảy ra khi $m=0$ (thỏa mãn $-1<m<1$).
Vậy diện tích tam giác lớn nhất khi $m=0$. Chọn B.