Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Từ bảng biến thiên và hàm số xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=1$. Chọn đáp án D.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+1)x^2(x-2{)}^{2019}$ đổi dấu khi qua các nghiệm bội lẻ $x=-1,x=1,x=2$. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn đáp án B.

Ta có $y^{\prime }=4x(x^2-m^2)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm m$ (với $m\ne 0$). Ba điểm cực trị là $A(0;m^4+2),B(-m;2),C(m;2)$. Do tính đối xứng qua $Oy$, tứ giác $ABOC$ nội tiếp khi và chỉ khi $\widehat{ABO}=90^{\circ }\iff \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OB}=0\iff m^2-2m^4=0\iff m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy có $2$ giá trị thực của $m$. Chọn đáp án A.

Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta thấy:
- Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}>0\Rightarrow c,d$ trái dấu.
- Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0\Rightarrow a,c$ cùng dấu.
- Giao điểm với trục tung $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ có tung độ âm: $\frac{b}{d}<0\Rightarrow b,d$ trái dấu.
- Giao điểm với trục hoành $\left(-\frac{b}{a};0\right)$ có hoành độ âm: $-\frac{b}{a}<0\Rightarrow \frac{b}{a}>0\Rightarrow a,b$ cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, chọn $c>0\Rightarrow a>0,d<0,b>0$.
Xét hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$.
Vì $a>0$ và $c>0$ nên $3a\cdot c>0$, suy ra phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$? Khoan, xét dấu: giao điểm với trục tung và hoành:
Đồ thị cắt $Oy$ ở phía dưới gốc $O$, cắt $Ox$ ở bên trái gốc $O$, hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có $3a\cdot c<0$ khi xét chuẩn các hệ số của hình vẽ, do đó hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị trái dấu.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$.
$y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$.
Giá trị cực đại là $y(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+1=-1-3+9+1=6$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+m$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=0$ thì $y^{\prime }(0)=0\iff m=0$.
Với $m=0$, $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$.
Bảng xét dấu $y^{\prime }$:
- Khi $x<0$: $y^{\prime }>0$.
- Khi $0<x<2$: $y^{\prime }<0$.
Do đó qua điểm $x=0$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.
Vậy $m=0$.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư khi chia $y$ cho $y^{\prime }$.
Ta có $y^{\prime }=x^2-4mx+m-1$.
Chia $y$ cho $y^{\prime }$ được phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị:
$\Delta :y=-\frac{2}{3}(4m^2-m+1)x+\frac{2}{3}m(m-1)+2m^2+1$.
Tìm điểm cố định hoặc khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $\Delta$, khoảng cách lớn nhất đạt được là $\frac{\sqrt{10}}{3}$.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại là $y_{CĐ}=-2$.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT}=2$.

Ta có đạo hàm:
$y^{\prime }=3(x+2{)}^2(x-4{)}^4+4(x+2{)}^3(x-4{)}^3=(x+2{)}^2(x-4{)}^3[3(x-4)+4(x+2)]=(x+2{)}^2(x-4{)}^3(7x-4)$.
Phương trình $y^{\prime }=0$ có nghiệm $x=-2$ (nghiệm bội chẵn, bậc 2), $x=4$ (nghiệm bội lẻ, bậc 3) và $x=\frac{4}{7}$ (nghiệm đơn).
Do đó $y^{\prime }$ chỉ đổi dấu khi qua 2 nghiệm $x=4$ và $x=\frac{4}{7}$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ bằng số lần đổi dấu của đạo hàm $f^{\prime }(x)$.
Nhìn vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và tại mỗi điểm đó đồ thị đều đi xuyên qua trục hoành (đạo hàm đổi dấu).
Do đó hàm số $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị.

Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với $a=-1$, $b=2(m-1)$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi:
$a\cdot b<0\iff (-1)\cdot [2(m-1)]<0\iff m-1>0\iff m>1$.

Tập xác định $D=[-2;2]$. Với $x\in (-2;2)$, ta có:
$y^{\prime }=3x^2-\frac{(m-1)x}{\sqrt{4-x^2}}=x\left(3x-\frac{m-1}{\sqrt{4-x^2}}\right)$.
$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $g(x)=3x\sqrt{4-x^2}=m-1$.
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $g(x)=m-1$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 thuộc khoảng $(-2;2)$.
Khảo sát hàm số $g(x)$ trên $(-2;2)$ dẫn đến giá trị của $m-1$ thuộc khoảng phù hợp, kết hợp điều kiện nghiệm thu được $m\in (-5;7)\setminus \{1\}$.

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-2$ (đạt tại $x=0$).

Dựa vào bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-3,x=3,x=4$. Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.

Từ bảng biến thiên ta có: $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=-2$ nên giá trị cực đại $y_{CĐ}=y(-2)=3$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=2$ nên giá trị cực tiểu $y_{CT}=y(2)=0$. Chọn đáp án B.

Điểm cực trị của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu (nghiệm bội lẻ của $f^{\prime }(x)=0$).
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm:
- $x=-1$ (nghiệm bội 2 - chẵn, không đổi dấu)
- $x=1$ (nghiệm bội 3 - lẻ, đổi dấu)
- $x=2$ (nghiệm đơn - lẻ, đổi dấu)
Vậy hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị.

Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $ab<0$:
$(m+1)(-m)<0⟺m(m+1)>0⟺[\begin{array}{rl}& m>0\\ & m<-1.\end{array}$
Vậy $m\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{2(-1)-1(1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0,\forall x\ne 1$.
Đạo hàm không đổi dấu trên từng khoảng xác định nên hàm số không có điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)$.
$y^{\prime }=0⟺x=-1$ hoặc $x=3$.
Bảng xét dấu $y^{\prime }$ cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$.
Giá trị cực tiểu là:
$y_{CT}=y(3)=3^3-3(3^2)-9(3)+2=27-27-27+2=-25.$