Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x=3$.
Do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=3$ (và giá trị cực đại là $y=4$).

Hàm số đạt cực trị tại các điểm mà đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu, tức là các nghiệm có bội lẻ của phương trình $f^{\prime }(x)=0$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm:
- $x=1$ (bội 1 - lẻ, đổi dấu)
- $x=2$ (bội 2 - chẵn, không đổi dấu)
- $x=3$ (bội 3 - lẻ, đổi dấu)
- $x=4$ (bội 4 - chẵn, không đổi dấu)
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)-2x=2[f^{\prime }(x)-x]$.
Số nghiệm đơn của phương trình $g^{\prime }(x)=0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và đường thẳng $y=x$.
Vẽ đường thẳng $y=x$ đi qua $(0;0),(2;2),(4;4)$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị $y=f^{\prime }(x)$.
Đường thẳng cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại tối đa 4 điểm phân biệt, qua đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu tại tối đa 4 điểm, và xét các điểm uốn/cực trị tương ứng thì đồ thị hàm số $g(x)$ có tối đa 7 điểm cực trị.

Theo định nghĩa và dấu hiệu 1 nhận biết cực trị: Nếu hàm số liên tục tại $x_0$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực trị của hàm số.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(f(x))=0\iff f^{\prime }(x)=0$ hoặc $f^{\prime }(f(x))=0$.
Từ đồ thị, hàm số $f(x)$ có 3 điểm cực trị tại $x_1,x_2,x_3$.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$.
Phương trình $f^{\prime }(f(x))=0\iff f(x)=x_1$ hoặc $f(x)=x_2$ hoặc $f(x)=x_3$.
Dựa vào tương giao của các đường thẳng $y=x_1,y=x_2,y=x_3$ với đồ thị $y=f(x)$, đếm tổng số nghiệm phân biệt không trùng nhau cho kết quả 8 nghiệm.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
Bảng biến thiên cho thấy điểm cực tiểu của hàm số là $x=3$.
Giá trị cực tiểu là $y(3)=3^3-3(3^2)-9(3)+2=-25$.

Quan sát đồ thị hàm số, đồ thị có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu, tổng cộng có 2 điểm cực trị.

Thực hiện phép chia đa thức $y$ cho $y^{\prime }=3x^2-3$:
$x^3-3x+1=\frac{x}{3}(3x^2-3)-2x+1$
Phần dư của phép chia chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$: $y=-2x+1$.

Ta thấy $x^2\ge 0$ và $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, tức là $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=3$.
$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu duy nhất một lần khi đi qua nghiệm bội lẻ $x=2$.
Do đó hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Từ bảng biến thiên, tại $x=2$ đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương và $y(2)=-1$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.
Mệnh đề B khẳng định "Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm $x=2$" là sai.

Xét hàm số $g(x)=f(x-2018)-2019x+1$.
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-2018)-2019$.
$g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x-2018)=2019$.
Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, đường thẳng $y=2019$ nằm phía trên và cắt đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ tại duy nhất 1 điểm (hoặc giá trị cực đại của $f^{\prime }$ nhỏ hơn 2019 và $f^{\prime }(x)\to +\infty$ ở 1 nhánh).
Do đó phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có đúng 1 nghiệm đơn, hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=3x^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Đạo hàm không đổi dấu khi qua $x=0$, do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có điểm cực trị nào. Số điểm cực đại là 0.

$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ (nghiệm bội 1), $x=-1$ (nghiệm bội 2), $x=-2$ (nghiệm bội 3).
$f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua các nghiệm bội lẻ là $x=0$ và $x=-2$. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$.
Bảng biến thiên cho thấy điểm cực đại là $x=1$. Tại đó hệ số góc tiếp tuyến là $k=y^{\prime }(1)=0$.
Vì $y(1)=\frac{1}{3}-2+3-2=-\frac{2}{3}\ne 0$, tiếp tuyến có phương trình $y=-\frac{2}{3}$, song song với trục hoành.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
$y^{\prime \prime }=6x-6$; $y^{\prime \prime }(2)=6>0$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu.
Tại $x=2$, $y(2)=8-12+9=5$. Điểm cực tiểu của đồ thị là $M(2;5)$.

Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$, hàm số liên tục và có $2$ điểm cực tiểu (tại đó đồ thị đổi chiều từ đi xuống sang đi lên).

Hàm số $y=f(x)$ đổi dấu đạo hàm tại $x=-3$ và $x=m$. Để $g(x)=f(|x|)$ có $3$ điểm cực trị thì $f(x)$ có đúng $1$ điểm cực trị dương, tức là $m>0$. Với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-5;5]$, ta có $m\in \{1;2;3;4;5\}$, có $5$ giá trị nguyên.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+1$. Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, qua điểm $x=1$ thì $f^{\prime }(x)+1$ đổi dấu từ âm sang dương nên $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.

Xét hàm số $y=-x^3+m{x}^2+(m^2-12)x+2$:
- $y^{\prime }=-3x^2+2mx+m^2-12$.
- Để hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ thì:
$y^{\prime }(-1)=0⟺-3(-1{)}^2+2m(-1)+m^2-12=0⟺m^2-2m-15=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=-3</td></tr><tr><td>m=5</td></tr></tbody></table>$.
Kiểm tra lại:
- Với $m=-3$: $y^{\prime }=-3x^2-6x-3=-3(x+1{)}^2\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị. Loại $m=-3$.
- Với $m=5$: $y^{\prime }=-3x^2+10x+13=-(x+1)(3x-13)$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Thỏa mãn $m=5$.
Giá trị $m=5$ thuộc khoảng $(3;6)$. Chọn D.

Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ bằng số lần đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$:
- Đồ thị cắt trục hoành $Ox$ và đổi dấu từ âm sang dương tại duy nhất 1 điểm có hoành độ âm.
- Tại gốc tọa độ $O$ và một điểm trên tia dương của trục hoành, đồ thị tiếp xúc với trục hoành mà không cắt qua (không đổi dấu).
Do đó $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu đúng 1 lần khi $x$ qua điểm giao điểm thứ nhất.
Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị. Chọn D.