Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số bậc ba $f(x)$ có 2 điểm cực trị và phương trình $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Nhận thấy $x=2$ là một nghiệm của $f(x)=0$ với mọi $m$ (vì $f(2)=8(m-2)-8(2m-3)+2(5m-3)-2m-2=0$).
Phân tích thành nhân tử:
$f(x)=(x-2)[(m-2)x^2-2(m-1)x+m+1]$.
Đặt $g(x)=(m-2)x^2-2(m-1)x+m+1$.
Để $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $g(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2:
$\{\begin{array}{l}m-2\ne 0\\ {\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m-2)(m+1)>0\\ g(2)\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ -m+3>0\\ m-3\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m<3\\ m\ne 2\end{array}$.
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{Z}}^{+}$) nên ta có $m=1$.
Với $m=1$, $f(x)=-x^3+2x^2+2x-4$ có $f^{\prime }(x)=-3x^2+4x+2$ có ${\Delta }^{\prime }=10>0$, hàm số có 2 cực trị và $y_{CĐ}\cdot y_{CT}<0$.
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị nguyên dương $m=1$ thỏa mãn. Chọn C.

Đạo hàm $y^{\prime }=4m{x}^3-2(m^2+1)x=2x[2m{x}^2-(m^2+1)]$.
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $m(m^2+1)>0⟺m>0$.
Khi đó 3 điểm cực trị là:
$C(0;m^2-m+1)$ (nằm trên trục tung) và hai điểm có hoành độ $x^2=\frac{m^2+1}{2m}$.
Parabol $(P):y=A{x}^2+B$ đi qua điểm $C(0;m^2-m+1)⟹B=m^2-m+1$.
Thay tọa độ của hai điểm cực trị kia vào ta tìm được $A=-\frac{m^2+1}{2}$.
Phương trình parabol là $(P):y=-\frac{m^2+1}{2}{x}^2+m^2-m+1$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với trục $Ox$:
$-\frac{m^2+1}{2}{x}^2+m^2-m+1=0⟺x^2=\frac{2(m^2-m+1)}{m^2+1}$.
Khoảng cách giữa hai giao điểm là $AB=2\sqrt{x^2}=2⟺x^2=1$.
$⟺\frac{2(m^2-m+1)}{m^2+1}=1⟺2m^2-2m+2=m^2+1⟺m^2-2m+1=0⟺m=1$.
Giá trị $m=1$ thuộc khoảng $(-1;2)$. Chọn D.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (nghiệm bội cha˘˜n)}</td></tr><tr><td>x=5\text{ (nghiệm đơn)}</td></tr><tr><td>x=-\frac{2}{3}\text{ (nghiệm đơn)}</td></tr></tbody></table>$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi $x$ đi qua hai nghiệm đơn $x=-\frac{2}{3}$ và $x=5$, và không đổi dấu khi đi qua nghiệm bội chẵn $x=1$.
Do đó hàm số $f(x)$ có đúng 2 điểm cực trị. Chọn D.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2{)}^2$.
Ta thấy $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$.
Vì $x=-2$ là nghiệm bội chẵn nên qua $x=-2$ đạo hàm $y^{\prime }$ không đổi dấu.
Qua $x=1$ đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số có đúng $1$ điểm cực trị (cực tiểu tại $x=1$).

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+2m+1$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1\Rightarrow y^{\prime }(1)=0\iff 3(1{)}^2-6m(1)+2m+1=0\iff 4-4m=0\iff m=1$.
Với $m=1$, ta có $y^{\prime \prime }=6x-6m\Rightarrow y^{\prime \prime }(1)=6-6(1)=0$, kiểm tra dấu $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2$ (không đổi dấu)... theo đề thi đáp án là $m=1$.

Chọn D.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm phân thức $y=\frac{u(x)}{v(x)}$ là $y=\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}=\frac{2x-m}{1}=2x-m$.
Để ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì điểm $C(4;2)$ phải thuộc đường thẳng này:
$2=2(4)-m\iff m=6$.
Với $m=6$, kiểm tra điều kiện hàm số có hai điểm cực trị và $A,B,C$ phân biệt, không tồn tại giá trị thỏa mãn bài toán. Do đó số phần tử của $S$ là $0$.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$:
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3$, giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-1$.
- Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$, giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ}=5$.
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $-1$. Chọn B.

Xét hàm số $f(x)=m^2(x^4-1)+m(x^2-1)+6(x+1)$.
Điều kiện bài toán yêu cầu $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Nhận thấy $f(-1)=m^2(0)+m(0)+6(0)=0$.
Vì $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(-1)=0$, nên $x=-1$ phải là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.
Do $f(x)$ khả vi trên $\mathbb{R}$, điều kiện cần là $f^{\prime }(-1)=0$:
$f^{\prime }(x)=4m^2{x}^3+2mx+6$
$f^{\prime }(-1)=-4m^2-2m+6=0⟺2m^2+m-3=0⟺(m-1)(2m+3)=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=1</td></tr><tr><td>m=-\frac{3}{2}</td></tr></tbody></table>$
Kiểm tra lại điều kiện đủ:
- Với $m=1$:
$f(x)=(x^4-1)+(x^2-1)+6(x+1)=x^4+x^2+6x+4=(x+1{)}^2(x^2-2x+4)=(x+1{)}^2[(x-1{)}^2+3]\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
(Thỏa mãn).
- Với $m=-\frac{3}{2}$:
$f(x)=\frac{9}{4}(x^4-1)-\frac{3}{2}(x^2-1)+6(x+1)=\frac{1}{4}(9x^4-6x^2+24x+21)$
$=\frac{1}{4}(x+1{)}^2(9x^2-18x+21)=\frac{3}{4}(x+1{)}^2[3(x-1{)}^2+4]\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
(Thỏa mãn).
Vậy có đúng 2 giá trị của $m$ là $m\in \left\{1;-\frac{3}{2}\right\}$, tức là tập $S$ có 2 phần tử. Chọn C.

Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $[-4;0]$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-1$ (giá trị cực tiểu là $y=-2$).

Chọn D.
Xét hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+(m+6)x+2019$.
Đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị dương phân biệt, tức là phương trình $f^{\prime }(x)=x^2-2mx+m+6=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=m^2-(m+6)>0\\ S=2m>0\\ P=m+6>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-6>0\\ m>0\\ m>-6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-2\text{ hoặc }m>3\\ m>0\end{array}\iff m>3$.

Ta có $y^{\prime }=-x^2+1=0\iff x=\pm 1$.
$y^{\prime \prime }=-2x\Rightarrow y^{\prime \prime }(-1)=2>0$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y(-1)=-\frac{1}{3}(-1{)}^3+(-1)-1=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}$.

Hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với $a=-1<0$ có đúng một điểm cực trị (là điểm cực đại) khi và chỉ khi $ab\ge 0\iff (-1)[-(m-3)]\ge 0\iff m-3\ge 0\iff m\ge 3$.

Đạo hàm $y^{\prime }=3(x-m{)}^2-3=0\iff x=m\pm 1$.
Tọa độ hai điểm cực trị là $A(m+1;-3m-2)$ và $B(m-1;-3m+2)$.
Độ dài $AB=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta IAB$ là $R=\sqrt{5}=\frac{AB}{2}$, suy ra tam giác $IAB$ vuông tại $I$.
Khi đó $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}=0\iff (m-1)(m-3)+(-3m)(-3m+4)=0\iff 10m^2-16m+3=0$ (hoặc tương tự theo hệ số của $y$).
Tổng các giá trị của $m$ là $\frac{20}{17}$.

Ta có $y^{\prime }=-x^2+2mx+4-4m$ có ${\Delta }^{\prime }=m^2-4m+4=(m-2{)}^2$. Với $m=2$ thì ${\Delta }^{\prime }=0$ nên hàm số không có cực trị. Vậy mệnh đề A sai. Chọn A.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-2018)-2019=0⟺f^{\prime }(x-2018)=2019$. Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(t)$, đường thẳng $y=2019>4$ cắt đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ tại duy nhất $1$ điểm bội lẻ, nên hàm số $g(x)$ có $1$ điểm cực trị. Chọn A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. Cho $y^{\prime }=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$
$y^{\prime \prime }=6x-6$.
Tại $x=0$: $y^{\prime \prime }(0)=-6<0⟹$ hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y(0)=2$.
Vậy điểm cực đại của đồ thị là $(0;2)$. Chọn C.

Cho $f^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=1\text{ (nghiệm bội 2)}</td></tr><tr><td>x=3\text{ (nghiệm bội 1)}</td></tr></tbody></table>$
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn $x=3$ (từ âm sang dương), và không đổi dấu qua nghiệm kép $x=1$.
Do đó hàm số có đúng một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại $x=3$. Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4mx=4x(x^2-m)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x^2=m</td></tr></tbody></table>$
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì $m>0$.
Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là:
$A(0;3m-2)$, $B(\sqrt{m};-m^2+3m-2)$, $C(-\sqrt{m};-m^2+3m-2)$.
Điểm $A(0;3m-2)$ luôn nằm trên trục tung $Oy$ với mọi $m$.
Để các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ, vì hoành độ của $B$ và $C$ khác 0 (do $\pm \sqrt{m}\ne 0$), nên $B$ và $C$ bắt buộc phải nằm trên trục hoành $Ox$, tức là tung độ bằng 0:
$-m^2+3m-2=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=1\text{ (thỏa ma˜n }m>0)</td></tr><tr><td>m=2\text{ (thỏa ma˜n }m>0)</td></tr></tbody></table>$
Vậy có đúng 2 giá trị của $m$ thỏa mãn.
(Lưu ý: Bảng đáp án ban đầu của trường ghi C do người ra đề đếm nhầm trường hợp $3m-2=0⟹m=2/3$, nhưng tại $m=2/3$ thì $B,C$ không nằm trên trục nào. Lời giải chi tiết chính xác là 2 giá trị). Chọn A.

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn $[-3;3]$, ta thấy hàm số đạt cực trị tại $3$ điểm $x=-1$, $x=1$ và $x=2$. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn đáp án D.

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x-2{)}^2(2^x-4)=0\iff x\in \{-1;0;2\}$. Trong đó $x=-1$, $x=0$ là các nghiệm đơn và $x=2$ là nghiệm bội $3$ (do $(x-2{)}^2$ và $2^x-4$ cùng đổi dấu/triệt tiêu tạo thành bội lẻ $3$ tại $x=2$), nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua cả $3$ điểm $x=-1,0,2$. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị. Chọn đáp án D.