Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, suy ra hai điểm cực trị là $A(1;m-2),B(-1;m+2)$.
Phương trình đường thẳng đi qua $2$ điểm cực trị là $(d):2x+y-m=0$.
Ta có: $d(O,(d))=\frac{|-m|}{\sqrt{5}}\le \sqrt{5}\Rightarrow -5\le m\le 5$.
Mà $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$.
Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=x^3-3x^2+\frac{3-m}{3}=0\iff 3x^3-9x^2+3=m$. Hàm số $h(x)=3x^3-9x^2+3$ đạt cực đại tại $x=0$ ($h(0)=3$) và đạt cực tiểu tại $x=2$ ($h(2)=-9$). Phương trình $y^{\prime }=0$ có $3$ nghiệm phân biệt khi $-9<m<3$, có $11$ giá trị nguyên $m\in \{-8;-7;\dots ;2\}$. Chọn D.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ và giá trị cực tiểu là $y_{\text{CT}}=-2$. Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là $(-1;-3)$. Chọn A.

Từ bảng biến thiên, điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là $(-1;3)$. Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là $f(0)=1$. Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+m^2$. Hàm số có hai điểm cực trị khi ${\Delta }^{\prime }=9-3m^2>0\iff -\sqrt{3}<m<\sqrt{3}$. Trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị là điểm uốn $U(1;m^2+m-2)$ thuộc đường thẳng $d:y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\iff m^2+m-2=-2\iff m=0$ hoặc $m=-1$. Kiểm tra điều kiện đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với $d$, chỉ có $m=0$ thỏa mãn (khi đó hai điểm cực trị là $(0;0)$ và $(2;-4)$ có đường thẳng đi qua là $y=-2x$ vuông góc với $d$ và trung điểm $(1;-2)\in d$). Vậy có $1$ giá trị của $m$. Chọn D.

Quan sát đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương, đồ thị có $2$ điểm cực tiểu và $1$ điểm cực đại.

Dựa vào đồ thị, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;3)$ nên giá trị cực đại của hàm số bằng $3$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{3}{x}^2=0\iff f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^2$. Parabol $y=\frac{1}{3}{x}^2$ đi qua $(0;0),\left(1;\frac{1}{3}\right),\left(2;\frac{4}{3}\right),(3;3)$ và cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại $3$ điểm phân biệt $a<b<c$, trong đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=b$ duy nhất. Vậy hàm số $g(x)$ có $1$ điểm cực đại.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 15, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 17, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ với $y(1)=4$, nên tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;4)$. Chọn A.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có $3$ nghiệm bội lẻ phân biệt là $x=0,x=1,x=-4$ nên hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị. Chọn D.

Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+4(2m-1)x-(m^2-8)$ và $f^{\prime \prime }(x)=-6x+4(2m-1)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ khi $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime \prime }(-1)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-m^2-8m+9=0\\ 8m+2>0\end{array}\iff m=1$. Chọn D.

Xét $h(x)=f\left(1+\frac{x}{2}\right)+\frac{x^2}{8}$, ta có $h^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }\left(1+\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{4}$. Đặt $t=1+\frac{x}{2}\Rightarrow x=2(t-1)$, khi đó $h^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(t)=1-t$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ và đường thẳng $y=1-t$, phương trình có $3$ nghiệm đơn $t=-1,t=1,t=3$, tương ứng $x=-4,x=0,x=4$. Bảng biến thiên của $h(x)$ có hai điểm cực đại tại $x=-4,x=4$ (với $h(-4)>0,h(4)>0$) và một điểm cực tiểu tại $x=0$ với $h(0)=f(1)=0$ (và ${\lim }_{x\to \pm \infty }h(x)=-\infty$). Do đó đồ thị $g(x)=|h(x)|$ cắt trục hoành tại $2$ điểm đơn (khác $0$) và tiếp xúc tại $x=0$, nên có $2$ điểm cực đại và $3$ điểm cực tiểu. Chọn B.