Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực đại của hàm số đã cho là $x=-1$.
Chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$ ($x=-1$ là nghiệm bội chẵn), suy ra hàm số có $1$ điểm cực đại.
Chọn A.

Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị cực tiểu của hàm số là $-4$.

Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực đại của hàm số đã cho là $x=-1$.

Chọn B.
Ta có $g(x)=e^{f(x)}-m\cdot 3^{f(x)}\Rightarrow g^{\prime }(x)=\left[e^{f(x)}-3^{f(x)}m\ln 3\right]f^{\prime }(x)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>f^{\prime }(x)=0</td></tr><tr><td>e^{f(x)}-3^{f(x)}m\ln 3=0</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>{\left(\frac{e}{3}\right)}^{f(x)}=m\ln 3</td></tr></tbody></table>$.
Để hàm số $g(x)=e^{f(x)}-m\cdot 3^{f(x)}$ có đúng $7$ điểm cực trị thì phương trình ${\left(\frac{e}{3}\right)}^{f(x)}=m\ln 3$ phải có bốn nghiệm bội lẻ khác $-2,0,2$.
Xét hàm số $h(x)={\left(\frac{e}{3}\right)}^{f(x)}$. Ta có $h^{\prime }(x)={\left(\frac{e}{3}\right)}^{f(x)}\ln \frac{e}{3}{f}^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$.
Bảng biến thiên:

Do $h(2)>h(-2)$ nên để phương trình ${\left(\frac{e}{3}\right)}^{f(x)}=m\ln 3$ có bốn nghiệm bội lẻ khác $-2,0,2\iff h(0)<m\ln 3<h(-2)\iff \frac{1}{\ln 3}{\left(\frac{e}{3}\right)}^5<m<\frac{1}{\ln 3}{\left(\frac{3}{e}\right)}^3\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m=1$.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ và giá trị cực tiểu của hàm số bằng $f(-2)=-1$.

Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=2$ (và chỉ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-3$ và $x=4$). Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng $1$ điểm cực đại.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+3(1-m^2)=3[(x-1{)}^2-m^2]$. Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff m^2>0\iff m\ne 0$. Vì $m\in [1;2023]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên có $2023$ giá trị nguyên của $m$.

Xét hàm số $y=x^4+2x^2$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)=0\iff x=0$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên hàm số có đúng một điểm cực trị.

Xét $f(x)=x^4+2m{x}^2-4$. Để đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có đúng $3$ điểm cực trị thì $m\ge 0$. Khi đó $3$ điểm cực trị là $A^{\prime }(0;4)$ và $B\left(\sqrt{-m+\sqrt{m^2+4}};0\right)$, $C\left(-\sqrt{-m+\sqrt{m^2+4}};0\right)$. Diện tích tam giác $A^{\prime }BC$ là $S=4\sqrt{-m+\sqrt{m^2+4}}>4\iff \sqrt{m^2+4}>m+1\iff m<\frac{3}{2}$. Kết hợp $m\ge 0$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \{0;1\}$, có $2$ giá trị nguyên.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: D. Theo hướng dẫn giải chính thức (trang 10, nhãn 'Câu 40'): Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều là $8a+b^3=0\iff 8+8(m-1{)}^3=0$ (hoặc $\cos \phi =\frac{b^3+8a}{b^3-8a}=\frac{1}{2}\iff 8(m-1{)}^3+24=0\iff m=1-\sqrt[3]{3}\approx -0,44\in (-1;0)$).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1358, trang 5), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và giá trị cực tiểu bằng $-3$.

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ và giá trị cực tiểu của hàm số bằng $f(3)=-5$.

Dựa vào đồ thị, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=0$ và $x=4$ (tại $x=1$ đồ thị $f^{\prime }(x)$ tiếp xúc trục hoành nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu). Vậy hàm số đã cho có đúng $2$ điểm cực trị.

Hàm số $g(x)=f\left(|x{|}^3-3|x|+m+2023\right)+2023m$ là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung $Oy$. Để hàm số $g(x)$ có $11$ điểm cực trị thì hàm số $h(x)=f(x^3-3x+m+2023)+2023m$ phải có đúng $5$ điểm cực trị dương.

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $3$ điểm $t=-1$, $t=1$, $t=2$ (tại $t=4$ không đổi dấu). Xét $h^{\prime }(x)=3(x^2-1)f^{\prime }(x^3-3x+m+2023)=0$ trên $(0;+\infty )$, có $x=1$ là $1$ nghiệm đơn dương, nên các phương trình $x^3-3x+m+2023\in \{-1,1,2\}$ phải có tổng cộng $4$ nghiệm bội lẻ dương khác $1$.

Khảo sát $u(x)=x^3-3x$ trên $(0;+\infty )$ (đạt cực tiểu $u(1)=-2$ và $u(0)=0$), điều kiện là $-2<-1-m-2023<1-m-2023<0\le 2-m-2023$, suy ra $m=-2023$ là giá trị nguyên duy nhất.

Ta có bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có $1$ điểm cực đại.
Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-2$.
Chọn A.