Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Hàm số bậc bốn có 2 điểm cực đại khi và chỉ khi $y^{\prime }=0$ có 3 nghiệm phân biệt và hệ số $m<0$. Ta có $y^{\prime }=4m{x}^3+3(2m-1)x^2+2(m-1)x+1=(x+1)[4m{x}^2+(2m-3)x+1]$. Để có 3 nghiệm phân biệt thì $m<0$, $\Delta >0$ và nghiệm khác $-1$. Đếm các giá trị nguyên của $m\in [-100;-1]$ thỏa mãn ta được 99 giá trị. Chọn D.

Chọn C
Từ bảng biến thiên, tại điểm cực tiểu $x=2$, giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=f(2)=1$.

Chọn C
Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $a=1>0$ và $b=-2<0$.
Vì $ab=1\cdot (-2)=-2<0$ nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn A
Ta có: $f^{\prime }(x)=0\iff x^2(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0$.
Các nghiệm đơn và bội lẻ của $f^{\prime }(x)$ là $x\in \{-1;-\sqrt{2};\sqrt{2}\}$. Nghiệm $x=0$ là nghiệm bội chẵn (bội 2) nên qua đó $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
Đặt $u(x)=x^3-3x+m\Rightarrow u^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.
Hàm số $u(x)$ có 2 điểm cực trị tại $x=-1$ (giá trị cực đại là $m+2$) và $x=1$ (giá trị cực tiểu là $m-2$).
Đạo hàm của $y=f(u(x))$ là $y^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(u(x))$.
Để hàm số có đúng 7 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(u(x))=0$ phải có 5 nghiệm đơn phân biệt khác $\pm 1$.
Điều này tương đương với:
- $u(x)=\sqrt{2}$ có 3 nghiệm phân biệt $\iff m-2<\sqrt{2}<m+2$.
- $u(x)=-1$ có 1 nghiệm $\iff -1<m-2$ hoặc $-1>m+2$.
- $u(x)=-\sqrt{2}$ có 1 nghiệm $\iff -\sqrt{2}<m-2$ hoặc $-\sqrt{2}>m+2$.
Kết hợp các điều kiện trên và $m\in \mathbb{Z}$, ta tìm được đúng 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Vậy có 1 giá trị nguyên của $m$.

Chọn A
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là y = 2 .

Chọn C

25
Từ đồ thị hàm số f ' ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đi qua các điểm ( -2;1) , ( 0;0 ) , ( 4; 2 )
4
 ax 4 bx3 cx 2  4
và  - f ' ( x ) dx = 7 $\iff$  + + | = -7 nên ta tính được:
0  4 3 2 0
9 3 17 9 3 9 2 17
a = ,b = - , c = - , d = 0 $\Rightarrow$ f '( x) = x - x - x
128 64 32 128 64 16
9 4 3 3 17 2
$\Rightarrow$ f ( x) = x - x - x +C .
512 64 32
1 1
+ f ( 0) = $\Rightarrow$ C = .
2 2
[ x = -2
Xét hàm số h ( x ) = 4 f ( x ) + x + m $\to$ h' ( x ) = 4 f ' ( x ) + 2 x . Cho h' ( x ) = 0 $\Rightarrow$  x = 0 .
2

[ x = 4
1
Ta có: h ( -2 ) = 4 f ( -2 ) + 4 + m = + m và h ( 4 ) = 4 f ( 4 ) + 16 + m = -10 + m
8
Bảng biến thiên

Từ BBT, để hàm số g ( x ) = h ( x ) có ít nhất 5 cực trị khi -10 + m  0 $\iff$ m  10 .

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số liên tục tại $x=1$ (nhận giá trị $f(1)=2$) và tại $x=2$ (nhận giá trị $f(2)=4$), đạo hàm đổi dấu qua $x=1$ và $x=2$ (không xác định tại $x=3$). Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Ta có $y=(x+1-m{)}^3-3x^2-3(m-1)x$? Chính xác hơn: $y^{\prime }=3x^2+6(1-m)x+3(m^2-2m)=3[(x+1-m{)}^2-1]=0\iff x=m-2$ hoặc $x=m$. Vì $a=1>0$ nên điểm cực đại có hoành độ $x_{CĐ}=m-2$, suy ra $m=x_{CĐ}+2$ và tung độ $y_{CĐ}=-3m+5=-3(x_{CĐ}+2)+5=-3x_{CĐ}-1$. Vậy đường thẳng cố định là $d:3x+y+1=0$, khoảng cách từ $O$ đến $d$ là $\frac{1}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Dựa vào đồ thị, giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng $-1$ (tại $x=1$). Chọn C.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ (nghiệm bội chẵn) hoặc $x=3$ (nghiệm bội lẻ). Do $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=3$ nên hàm số đã cho có $1$ điểm cực trị. Chọn B.

đặt f(x)=ax³+bx²+cx+d; từ điều kiện cực trị ⇒ a=1,b=0,c=−3,d=2 ⇒ f(x)=x³−3x+2 ⇒ f(−2)=0. Chọn D.

Chọn B

Ta có $y^{\prime }=x^3-6x^2-m$. Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\prime }=0\iff x^3-6x^2=m$ có 3 nghiệm phân biệt. Xét $g(x)=x^3-6x^2\Rightarrow g^{\prime }(x)=3x^2-12x=0\iff x=0$ hoặc $x=4$. Ta có $g(0)=0$ và $g(4)=-32$. Để có 3 nghiệm phân biệt thì $-32<m<0$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-31,-30,\dots ,-1\}$, có 31 giá trị nguyên. Chọn B.

Quan sát đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(0;2)$. Do đó giá trị cực đại của hàm số bằng 2. Chọn D.

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu là $y_{CT}=-2$. Chọn D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án A.

Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-2x=0⟺x=0$ hoặc $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Vì hệ số $a=1>0,b=-1<0$ nên hàm số có $2$ điểm cực tiểu.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 5), Câu 2 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+m-2}{(x-2{)}^2}$. Để hàm số có hai điểm cực trị thì $x^2-4x+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2⟺{\Delta }^{\prime }=6-m>0⟺m<6$ (a, d sai). Khi $m=5$, $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên $(3;+\infty )$ (b đúng, c sai).

Chọn C
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là -1 .

Chọn B
Từ đồ thị hàm số ta thấy f ' ( x ) đổi dấu khi qua x = 2 . Do đó, hàm số có 1 điểm cực trị.

Chọn D
Đặt h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) $\Rightarrow$ h ' ( x ) = f ' ( x ) - g ' ( x ) và h ( x0 ) = 6 .

+ Trên khoảng ( -$\infty$ ; x0 ) ta có, f ' ( x ) \ge 0 và g ' ( x ) \le 0 nên h ' ( x ) \ge 0 .

+ Trên khoảng ( x0 ; + $\infty$ ) ta có, f ' ( x ) \le 0 và g ' ( x ) \ge 0 nên h ' ( x ) \le 0 .

Đặt k ( x ) = m + 1 - h ( x ) , hàm số ban đầu trở thành y = k ( x ) .

Bảng biến thiên của hàm số k ( x )

Để hàm số y = k ( x ) có 7 điểm cực trị thì đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số k ( x ) tại 4
điểm phân biệt. Dựa vào BBT ta suy ra m - 5  0  m + 1 $\iff$ -1  m  5 . Vậy
a = -1, b = 5 $\Rightarrow$ a + b = 4 .