Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét các phương án: A là nhị thức bậc nhất; B có dạng $2x^2-3x+1$ với $a=2\ne 0$ nên là tam thức bậc hai; C là đa thức bậc ba; D là đa thức bậc bốn. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)<0$ khi $x\in (-\infty ;2)\cup (7;+\infty )$ và $f(x)>0$ khi $x\in (2;7)$. Do đó mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức đối dấu trên $\mathbb{R}$ là tam thức bậc hai có $\Delta <0$ (không có nghiệm, không đổi dấu). Với $f(x)=3x^2-3x+5$: $\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 3\cdot 5=9-60=-51<0$ và $a=3>0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ → đối dấu. Với $g(x)=-2x^2+3x-5$: $\Delta =3^2-4\cdot (-2)\cdot (-5)=9-40=-31<0$ và $a=-2<0$ nên $g(x)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ → đối dấu. Với $h(x)=8-9x^2$: $\Delta =0^2-4\cdot (-9)\cdot 8=288>0$ nên $h$ có hai nghiệm phân biệt, đổi dấu trên $\mathbb{R}$ → không đối dấu. Vậy có 2 tam thức đối dấu, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2-11x+10\ge 0$ có nghiệm $x=1$, $x=10$, nên tập nghiệm là $S=(-\infty ;1]\cup [10;+\infty )$. Xét các tập: A. $[8;+\infty )$ chứa $x=8$ mà $8^2-88+10=-14<0$, không phải nghiệm. B. $(-\infty ;1]$ nằm hoàn toàn trong $S$. C. $[10;+\infty )$ nằm hoàn toàn trong $S$. D. $(-\infty ;0]\cup (10;+\infty )$ nằm hoàn toàn trong $S$. Vậy tập chứa phần tử không phải nghiệm là $[8;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=a{x}^2+bx+c$ dương với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi parabol hướng lên ($a>0$) và không cắt trục hoành ($\Delta <0$). Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại đỉnh, không thỏa $f(x)>0$ với mọi $x$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét A: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$ và $\Delta =25-4(-1)(-8)=25-32=-7<0$, nên tam thức luôn âm với mọi $x$. B: $\Delta =25-8=17>0$ nên đổi dấu. C: $a=1>0$, $\Delta =9-32<0$ nên luôn dương. D: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$ và bằng 0 tại $x=\frac{1}{2}$, không luôn âm. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 104, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3,b=-4,c=-7$, $\Delta =16+84=100$, $\sqrt{\Delta }=10$. Nghiệm: $x_1=\frac{4-10}{6}=-1$, $x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{7}{3}$.
a) Đúng: hai nghiệm là $-1$ và $\frac{7}{3}$.
b) Đúng: $a=3>0$ nên $f(x)>0$ ngoài khoảng nghiệm, $f(x)<0$ trong khoảng $(-1;\frac{7}{3})$, bằng 0 tại hai nghiệm — đúng như bảng xét dấu.
c) Đúng: $f(x)\le 0$ khi và chỉ khi $x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=1+36=37>0$ nên $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{37}}{3}$, do đó $g(x)$ không luôn dương (ví dụ $g(0)=-12<0$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =100$, nghiệm $x=-1$ và $x=\frac{7}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a=3>0$: $f(x)$ dương ngoài khoảng hai nghiệm, âm trong khoảng $\left(-1;\frac{7}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\le 0\iff x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có hai nghiệm, ví dụ $g(0)=-12<0$, không luôn dương.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+x-14<0$. Tam thức có hai nghiệm $x=\frac{-1\pm \sqrt{1+168}}{6}=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x=2$ và $x=-\frac{7}{3}$. Vì hệ số $a=3>0$, tam thức âm khi $-\frac{7}{3}<x<2$. Các số nguyên thỏa mãn: $x\in \{-2,-1,0,1\}$, gồm 4 nghiệm nguyên. Khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$, không có mẫu chứa $x$. Xét từng biểu thức: $f(x)=\sqrt{3}{x}^2-\frac{1}{2}$ có $a=\sqrt{3}\ne 0$ nên là tam thức bậc hai; $g(x)=\frac{3x^2+5x}{4}=\frac{3}{4}{x}^2+\frac{5}{4}x$ có $a=\frac{3}{4}\ne 0$ nên là tam thức bậc hai; $h(x)=\frac{x^2+2x-3}{x}$ có mẫu chứa $x$ (phân thức hữu tỉ), không phải tam thức bậc hai. Vậy có 2 tam thức bậc hai, khớp đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng tam thức:
- A: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$, biệt thức $\Delta =25-4\cdot 8=-7<0$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$. Đúng.
- B: $x^2+3x+8$ có $a=1>0$, $\Delta =9-32=-23<0$ nên luôn dương, không âm.
- C: $-x^2+5x-2$ có $\Delta =25-8=17>0$ nên có nghiệm, đổi dấu qua nghiệm, không luôn âm.
- D: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$ nhưng bằng $0$ tại $x=\frac{1}{2}$, không luôn âm.
Vậy chỉ biểu thức A luôn nhận giá trị âm, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 103, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $3x^2+x-14<0$. Phương trình $3x^2+x-14=0$ có $\Delta =1+168=169$, nên $x=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x=2$ và $x=-\frac{7}{3}$. Vì $a=3>0$ nên bất phương trình nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{7}{3};2\right)$. Các số nguyên thuộc khoảng này là $-2,-1,0,1$, gồm 4 số. Vậy có 4 nghiệm nguyên, khớp đáp án C (đáp án trang 9, Mã đề 103, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3>0$, $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100>0$, nghiệm $x=\frac{4\pm 10}{6}$ tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{7}{3}$. a) Đúng: vì $a>0$, tam thức dương ngoài hai nghiệm, âm giữa hai nghiệm, bảng xét dấu như đề. b) Đúng: hai nghiệm là $-1$ và $\frac{7}{3}$ (kiểm tra: $3(-1{)}^2-4(-1)-7=0$; $3\cdot \frac{49}{9}-4\cdot \frac{7}{3}-7=\frac{49}{3}-\frac{28}{3}-7=0$). c) Đúng: $f(x)\le 0$ khi $x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$. d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=1+36=37>0$ nên $g(x)$ có hai nghiệm phân biệt và nhận giá trị âm, không luôn dương (ví dụ $g(0)=-12<0$). Khớp đáp án nguồn Đ–Đ–Đ–S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=3>0$ và hai nghiệm $-1,\frac{7}{3}$, tam thức dương ngoài khoảng, âm trong khoảng, bảng xét dấu đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =100$, nghiệm $x=\frac{4\pm 10}{6}$, tức $-1$ và $\frac{7}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức $\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm: $S=\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có nghiệm và nhận giá trị âm, ví dụ $g(0)=-12<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng biểu thức: $f(x)=\sqrt{3}{x}^2-\frac{1}{2}$ có $a=\sqrt{3}\ne 0$, $b=0$, $c=-\frac{1}{2}$ nên là tam thức bậc hai. $g(x)=\frac{3x^2+5x}{4}=\frac{3}{4}{x}^2+\frac{5}{4}x$ có $a=\frac{3}{4}\ne 0$ nên là tam thức bậc hai. $h(x)=\frac{x^2+2x-3}{x}$ là phân thức (biểu thức hữu tỉ), không phải tam thức bậc hai. Vậy có 2 tam thức bậc hai, khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng tam thức:
- A: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$, tại $x=\frac{1}{2}$ bằng $0$, nên không luôn âm.
- B: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$, $\Delta =25-32=-7<0$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$.
- C: $x^2+3x+8$ có $a=1>0$, $\Delta =9-32<0$ nên luôn dương.
- D: $-x^2+5x-2$ có $\Delta =25-8=17>0$ nên có hai nghiệm, đổi dấu.
Vậy chỉ biểu thức B luôn nhận giá trị âm, khớp đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3>0$, $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100>0$, nên hai nghiệm là $x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{6}$, tức $x_1=-1$ và $x_2=\frac{7}{3}$.
a) Đúng: vì $a>0$ nên $f(x)>0$ ngoài hai nghiệm và $f(x)<0$ giữa hai nghiệm; bảng xét dấu $+|0|-|0|+$ với các mốc $-1$ và $\frac{7}{3}$ là đúng.
b) Đúng: nghiệm của $f(x)$ là $-1$ và $\frac{7}{3}$ (kiểm tra: $f(-1)=3+4-7=0$, $f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{49}{3}-\frac{28}{3}-7=0$).
c) Đúng: với $a>0$, $f(x)\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm gồm cả hai đầu mút, nên $S=\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=1+36=37>0$, nên $g$ có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{37}}{3}$ và nhận giá trị âm giữa hai nghiệm, do đó không luôn dương với mọi $x$.
So sánh với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần II câu 2): a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $a=3>0$ nên $f(x)$ dương ngoài khoảng hai nghiệm $-1$ và $\frac{7}{3}$, âm giữa hai nghiệm; bảng xét dấu $+0-0+$ là đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\Delta =100>0$, $x=\frac{4\pm 10}{6}$ cho $x=-1$ và $x=\frac{7}{3}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $a>0$, $f(x)\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm gồm cả hai đầu: $S=\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có hai nghiệm phân biệt và nhận giá trị âm, không luôn dương.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+x-14<0$. Phương trình $3x^2+x-14=0$ có $\Delta =1+168=169$, nghiệm $x=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x=2$ và $x=-\frac{7}{3}$. Vì hệ số $a=3>0$ nên tam thức âm khi $-\frac{7}{3}<x<2$. Các nghiệm nguyên trong khoảng này là $x\in \{-2,-1,0,1\}$, gồm 4 giá trị. Vậy số nghiệm nguyên là 4, khớp đáp án C của đề (Mã đề 102, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng biểu thức: $f(x)=\sqrt{3}{x}^2-\frac{1}{2}$ có $a=\sqrt{3}\ne 0$ nên là tam thức bậc hai. $g(x)=\frac{3x^2+5x}{4}=\frac{3}{4}{x}^2+\frac{5}{4}x$ có $a=\frac{3}{4}\ne 0$ nên là tam thức bậc hai. $h(x)=\frac{x^2+2x-3}{x}$ là phân thức hữu tỉ (có mẫu chứa $x$), không phải tam thức bậc hai. Vậy có 2 tam thức bậc hai, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3>0$, $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100>0$, nghiệm $x=\frac{4\pm 10}{6}$ tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{7}{3}$. a) Đúng: vì $a>0$ nên $f(x)>0$ ngoài hai nghiệm, $f(x)<0$ giữa hai nghiệm, bảng xét dấu đúng như đề. b) Đúng: nghiệm là $-1$ và $\frac{7}{3}$. c) Đúng: $f(x)\le 0\iff x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$. d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=37>0$ nên $g(x)$ có hai nghiệm phân biệt và nhận giá trị âm, không luôn dương với mọi $x$. Khớp đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=3>0$ và hai nghiệm là $-1$, $\frac{7}{3}$ nên $f(x)$ dương ngoài khoảng hai nghiệm, âm giữa hai nghiệm; bảng xét dấu đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =100$, $x=\frac{4\pm 10}{6}$ cho $x=-1$ và $x=\frac{7}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức có $a>0$ nên $f(x)\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm $\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có nghiệm, do đó không luôn dương với mọi $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng biểu thức:
- A: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$ và $\Delta =25-4(-1)(-8)=25-32=-7<0$, nên tam thức luôn âm với mọi $x$.
- B: $x^2+3x+8$ có $a=1>0$ nên luôn dương, không âm.
- C: $-x^2+5x-2$ có $\Delta =25-8=17>0$ nên có khoảng giá trị dương.
- D: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$ và bằng $0$ tại $x=\frac{1}{2}$, không luôn âm.
Vậy chỉ biểu thức A luôn nhận giá trị âm, khớp với đáp án nguồn (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+x-14<0$. Phương trình $3x^2+x-14=0$ có $\Delta =1+168=169$, nên $x=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x_1=-\frac{7}{3}$, $x_2=2$. Vì hệ số $a=3>0$, bất phương trình nghiệm khi $-\frac{7}{3}<x<2$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{-2,-1,0,1\}$, gồm 4 nghiệm. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 5: D).