Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

Giá trị trung bình và phương sai dãy số liệu điểm của bạn Anh là
$$\overline{x}=\frac{9,5+8,5+8,8+8,7+9,2+8,6+9,3+7,8+9,8}{9}=\frac{80,2}{9}\approx 8,91$$
$$s^2=\frac{(9,5-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,5-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,8-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,7-\frac{80,2}{9}{)}^2+(9,2-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,6-\frac{80,2}{9}{)}^2+(9,3-\frac{80,2}{9}{)}^2+(7,8-\frac{80,2}{9}{)}^2+(9,8-\frac{80,2}{9}{)}^2}{9}=\frac{659}{2025}\approx 0,325$$

Giá trị trung bình và phương sai dãy số liệu điểm của bạn Bích là
$$\overline{x}=\frac{9,2+8,9+8,5+8,5+8,8+9,4+9,4+8,5+9,0}{9}=\frac{80,2}{9}\approx 8,91$$
$$s^2=\frac{(9,2-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,9-\frac{80,2}{9}{)}^2+3(8,5-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,8-\frac{80,2}{9}{)}^2+2(9,4-\frac{80,2}{9}{)}^2+(9,0-\frac{80,2}{9}{)}^2}{9}=\frac{49}{405}\approx 0,121$$

Giá trị trung bình và phương sai dãy số liệu điểm của bạn Khánh là
$$\overline{x}=\frac{9,3+8,5+9,5+8,8+8,3+9,1+9,1+8,4+9,2}{9}=\frac{80,2}{9}\approx 8,91$$
$$s^2=\frac{(9,3-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,5-\frac{80,2}{9}{)}^2+(9,5-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,8-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,3-\frac{80,2}{9}{)}^2+2(9,1-\frac{80,2}{9}{)}^2+(8,4-\frac{80,2}{9}{)}^2+(9,2-\frac{80,2}{9}{)}^2}{9}=\frac{661}{4050}\approx 0,163$$

Dựa vào kết quả trên ta thấy mức độ phân tán điểm các môn của bạn Bích là ít nhất, tức là Bích học đều các môn nhất nên chọn bạn Bích tham gia cuộc thi. (0,25 | 0,25 điểm)

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 155, 157, 160, 165, 170, 170, 172.
a) Khoảng biến thiên R = 172 - 155 = 17. Đúng.
b) Giá trị 170 xuất hiện 2 lần nên mốt là 170, không phải 172. Sai.
c) Tổng = 155+157+160+165+170+170+172 = 1149; trung bình = 1149/7 ≈ 164,14 ≈ 164 (làm tròn đến hàng đơn vị). Đúng.
d) Với n = 7: Q1 là giá trị thứ 0,25·(7+1) = 2 (tức 157); Q3 là giá trị thứ 0,75·(7+1) = 6 (tức 170). Khoảng tứ phân vị = 170 - 157 = 13. Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1111: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 172 - 155 = 17.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mốt là 170 vì 170 xuất hiện 2 lần.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 1149/7 ≈ 164,14 ≈ 164.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 157, Q3 = 170 nên IQR = 13.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ trang 3, mẫu số liệu tốc độ tăng trưởng GDP 2012–2019 là: 5,25; 5,42; 5,98; 6,68; 6,21; 6,81; 7,08; 7,02 (n = 8).

Tổng: $\sum x_i=5,25+5,42+5,98+6,68+6,21+6,81+7,08+7,02=50,45$, nên $\bar{x}=\frac{50,45}{8}=6,30625$.

Tổng bình phương độ lệch:
$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=(5,25-6,30625{)}^2+(5,42-6,30625{)}^2+(5,98-6,30625{)}^2+(6,68-6,30625{)}^2+(6,21-6,30625{)}^2+(6,81-6,30625{)}^2+(7,08-6,30625{)}^2+(7,02-6,30625{)}^2$
$\approx 1,11566+0,78544+0,10644+0,13969+0,00926+0,25376+0,59869+0,50944=3,51839$.

Phương sai: $s^2=\frac{3,51839}{8}\approx 0,4398\approx 0,44$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,44 (bảng đáp án mã đề 1111, câu 4 Phần III).

+) Tìm được: $Q_1=\frac{x_{12}+x_{13}}{2}=8$; $Q_3=\frac{x_{36}+x_{37}}{2}=9$; ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9-8=1$ (0,25 đ)
+) Giá trị bất thường $x_0$ thỏa mãn: $\{\begin{array}{l}{x}_0<Q_1-1,5{\Delta }_Q=6,5\\ x_0>Q_3+1,5{\Delta }_Q=10,5\end{array}$. Vậy giá trị bất thường của mẫu số liệu đã cho là: $x_0=5$ (0,25 đ)

a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Lời giải: Đúng.
b) Lời giải: Đúng.
c) Lời giải: Đúng.
d) Lời giải: Sai.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Lời giải: (a) Sai.
b) Lời giải: (b) Đúng.
c) Lời giải: (c) Đúng.
d) Lời giải: (d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số xe: $45+28+31+34+32+35+37+33+33+35+34+37=414$, nên số trung bình $\bar{x}=\frac{414}{12}=34,5$. Tổng bình phương độ lệch: $(45-34,5{)}^2=110,25$; $(-6,5{)}^2=42,25$; $(-3,5{)}^2=12,25$; $(-0,5{)}^2=0,25$; $(-2,5{)}^2=6,25$; $(0,5{)}^2=0,25$; $(2,5{)}^2=6,25$; $(-1,5{)}^2=2,25$; $2,25$; $0,25$; $0,25$; $6,25$, tổng bằng $189$. Phương sai mẫu (khi số liệu là toàn bộ 12 tháng, dùng mẫu số liệu theo công thức $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$): $s^2=\frac{189}{12}=15,75$, nên $s=\sqrt{15,75}\approx 3,9686\approx 3,97$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $3,97$.

(Đáp án chính thức của đề, trang đáp án)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 29, 32.

$Q_1=24$, $Q_3=26$.

$\Rightarrow \Delta Q=Q_3-Q_1=26-24=2$ (°C).

(Ghi chú: đáp án chính thức của đề lấy $Q_3=26$; nếu tính $Q_3$ theo cách trung bình của hai phần tử thứ 8 và 9 thì $Q_3=\frac{26+29}{2}=27,5$ và $\Delta Q=3,5$. Ở đây giữ nguyên theo đáp án chính thức.)

Sắp xếp: 23 23 24 24 24 25 25 26 29 32
$Q_1=24,Q_3=26$
$\Rightarrow \Delta Q=2$

Đáp án mã đề 4101 (SĐSD): a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: khoảng tứ phân vị (kèm quy tắc 1,5·IQR) giúp phát hiện các giá trị bất thường của mẫu số liệu. b) Đúng: khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. c) Sai: phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của mẫu số liệu (độ lệch chuẩn mới cùng đơn vị). d) Đúng: độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ đo độ phân tán của mẫu số liệu quanh giá trị trung bình. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị giúp xác định các giá trị bất thường (outliers) của mẫu số liệu, ví dụ theo quy tắc 1,5 lần IQR.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của mẫu số liệu; độ lệch chuẩn mới có cùng đơn vị với mẫu số liệu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Đáp án: 3,7.
Ta có: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_7}{7}=\frac{15+9+12+14+10+18+20}{7}=14$.
Phương sai: $s^2=\frac{{\left(\overline{x}-x_1\right)}^2+{\left(\overline{x}-x_2\right)}^2+...+{\left(\overline{x}-x_7\right)}^2}{7}$
$\Rightarrow s^2=\frac{{\left(14-15\right)}^2+{\left(14-9\right)}^2+{\left(14-12\right)}^2+{\left(14-14\right)}^2+{\left(14-10\right)}^2+{\left(14-18\right)}^2+{\left(14-20\right)}^2}{7}=14$.
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{14}\approx 3,7$.

Đáp án: 14.
Ta có: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_7}{7}=\frac{15+9+12+14+10+18+20}{7}=14$.
Phương sai: $s^2=\frac{{\left(\overline{x}-x_1\right)}^2+{\left(\overline{x}-x_2\right)}^2+...+{\left(\overline{x}-x_7\right)}^2}{7}$
$\Rightarrow s^2=\frac{(14-15{)}^2+(14-9{)}^2+(14-12{)}^2+(14-14{)}^2+(14-10{)}^2+(14-18{)}^2+(14-20{)}^2}{7}=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số vận động viên $N=3+4+3+5+1=16$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 4+4\cdot 5+3\cdot 6+5\cdot 7+1\cdot 8}{16}=\frac{12+20+18+35+8}{16}=\frac{93}{16}=5,8125$ (phút). Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=3\cdot 16+4\cdot 25+3\cdot 36+5\cdot 49+1\cdot 64=48+100+108+245+64=565$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{565}{16}-{\left(\frac{93}{16}\right)}^2=35,3125-33,78515625=1,52734375$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{1,52734375}\approx 1,2359\approx 1,24$ (phút). Kết quả trùng với đáp án nguồn 1,24.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=20$ giá trị đã sắp xếp. Tứ phân vị: $Q_1$ là trung bình của giá trị thứ 5 và 6: $Q_1=\frac{9+11}{2}=10$; $Q_3$ là trung bình của giá trị thứ 15 và 16: $Q_3=\frac{31+33}{2}=32$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=32-10=22$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh $n=2+5+6+8+3+1=25$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{5\cdot 2+6\cdot 5+7\cdot 6+8\cdot 8+9\cdot 3+10\cdot 1}{25}=\frac{183}{25}=7,32$. Tổng bình phương $\sum x_i^2=25\cdot 2+36\cdot 5+49\cdot 6+64\cdot 8+81\cdot 3+100\cdot 1=1379$, nên phương sai $s^2=\frac{1379}{25}-7,32^2=55,16-53,5824=1,5776$, độ lệch chuẩn $s\approx 1,26>1$ → ý a SAI. Khoảng tứ phân vị: $\frac{n}{4}=6,25$ nên $Q_1$ là giá trị thứ 7 của dãy (cộng dồn: điểm 5 có 2, điểm 6 có 7) tức $Q_1=6$; $\frac{3n}{4}=18,75$ nên $Q_3$ là giá trị thứ 19 (cộng dồn: điểm 7 có 13, điểm 8 có 21) tức $Q_3=8$; ${\Delta }_Q=8-6=2$ → ý b ĐÚNG. Khoảng biến thiên $R=10-5=5$ → ý c ĐÚNG. Trung vị là giá trị thứ 13 của dãy, theo cộng dồn đó là điểm 7, không phải 6 → ý d SAI. Kết quả S-Đ-Đ-S khớp với đáp án chính thức (mã đề 0101, PHẦN II Câu 2: SĐĐS).
a) Tổng số học sinh $n=25$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{5\cdot 2+6\cdot 5+7\cdot 6+8\cdot 8+9\cdot 3+10\cdot 1}{25}=\frac{183}{25}=7,32$. Phương sai $s^2=\frac{5^2\cdot 2+6^2\cdot 5+7^2\cdot 6+8^2\cdot 8+9^2\cdot 3+10^2\cdot 1}{25}-7,32^2=\frac{1379}{25}-53,5824=1,5776$, nên $s\approx 1,26>1$. Đáp án: SAI.
b) Với $n=25$: $\frac{n}{4}=6,25$ nên $Q_1$ là giá trị thứ 7 của dãy dữ liệu, tức $Q_1=6$; $\frac{3n}{4}=18,75$ nên $Q_3$ là giá trị thứ 19 của dãy dữ liệu, tức $Q_3=8$. Vậy ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=8-6=2$. Đáp án: ĐÚNG.
c) Giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 5, nên $R=10-5=5$. Đáp án: ĐÚNG.
d) Với $n=25$, trung vị là giá trị thứ $\frac{25+1}{2}=13$ của dãy dữ liệu. Cộng dồn tần số: điểm 5 có 2 học sinh, điểm 6 có 7 học sinh, điểm 7 có 13 học sinh, nên giá trị thứ 13 là 7. Vậy trung vị là 7, không phải 6. Đáp án: SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1\cdot 2+2\cdot 7+3\cdot 6+4\cdot 4+5\cdot 3+6\cdot 4+7\cdot 4}{30}=\frac{117}{30}=3,9$. Tổng bình phương: $\sum n_i{x}_i^2=2+28+54+64+75+144+196=563$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{563}{30}-3,9^2\approx 18,7667-15,21=3,5567$. Độ lệch chuẩn $s\approx \sqrt{3,5567}\approx 1,886\approx 1,89$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần gồm $n=20$ giá trị: $4;5;6;8;9;11;13;16;16;18;20;21;25;30;31;33;36;37;40;41$. Xác định tứ phân vị: $Q_1=11$, $Q_3=33$. Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=33-11=22$. Vậy đáp án đúng là B, phù hợp với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+8+12+9+11+3=46$. Tứ phân vị thứ nhất: $rac464=11,5$ nên $Q_1$ là giá trị thứ $12$. Cộng dồn: giá trị $1$ có $3$ học sinh, giá trị $2$ có $11$ (tổng $11$), giá trị $3$ có $12$ (tổng $23$). Vậy giá trị thứ $12$ là $3$, tức $Q_1=3$. Tứ phân vị thứ ba: $rac3imes464=34,5$ nên $Q_3$ là giá trị thứ $35$. Cộng dồn tiếp: giá trị $4$ có $9$ (tổng $32$), giá trị $5$ có $11$ (tổng $43$). Vậy giá trị thứ $35$ là $5$, tức $Q_3=5$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=5-3=2$ (giờ).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=7$): 24, 25, 27, 28, 30, 33, 34. Theo cách tính trong SGK Toán 10, tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ ở vị trí $(n+1)/4=2$ nên $Q_1=25$; tứ phân vị thứ ba $Q_3$ ở vị trí $3(n+1)/4=6$ nên $Q_3=33$. Khoảng tứ phân vị $IQR=Q_3-Q_1=33-25=8$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 22 = 8).