Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

Dựa vào bảng số liệu, các nhóm có điểm của lớp 12A trải từ $[2;4)$ đến $[8;10]$ nên $R_A=10-2=8$. Các nhóm có điểm của lớp 12B trải từ $[0;2)$ đến $[8;10]$ nên $R_B=10-0=10$. Vậy $R_A+R_B=8+10=18$.

Cỡ mẫu $n=20$. Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $2,85;3,15;3,45;3,75;4,05$. Số trung bình là $\overline{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=3,39$. Phương sai là $s^2=\frac{1}{20}[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2]\approx 0,13$.

- a) Số phụ nữ khu vực A: $10+27+31+25+7=100$. Số phụ nữ khu vực B: $47+40+11+2+0=100$. Mệnh đề Đúng.
- b) Với khu vực B, các nhóm có tần số lớn hơn 0 là $[19;22),[22;25),[25;28),[28;31)$. Khoảng biến thiên là $31-19=12$ tuổi. Mệnh đề Sai.
- c) Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là $20,5;23,5;26,5;29,5;32,5$.
Độ tuổi kết hôn trung bình khu vực A: ${\overline{x}}_A=\frac{10\cdot 20,5+27\cdot 23,5+31\cdot 26,5+25\cdot 29,5+7\cdot 32,5}{100}=26,26$.
Độ tuổi kết hôn trung bình khu vực B: ${\overline{x}}_B=\frac{47\cdot 20,5+40\cdot 23,5+11\cdot 26,5+2\cdot 29,5}{100}=22,54$.
Vì ${\overline{x}}_A>{\overline{x}}_B$ nên phụ nữ khu vực A kết hôn muộn hơn phụ nữ khu vực B. Mệnh đề Sai.
- d) Phương sai và độ lệch chuẩn:
$s_A^2=\frac{10(20,5-26,26{)}^2+27(23,5-26,26{)}^2+31(26,5-26,26{)}^2+25(29,5-26,26{)}^2+7(32,5-26,26{)}^2}{100}=10,7424\Rightarrow s_A\approx 3,28$.
$s_B^2=\frac{47(20,5-22,54{)}^2+40(23,5-22,54{)}^2+11(26,5-22,54{)}^2+2(29,5-22,54{)}^2}{100}=5,0184\Rightarrow s_B\approx 2,24$.
Vì $s_B<s_A$ nên độ tuổi kết hôn của phụ nữ khu vực B đồng đều hơn khu vực A. Mệnh đề Đúng.

Các giá trị đại diện là $45,75,105,135,165$ với cỡ mẫu $n=40$. Trung bình mẫu $\bar{x}=118,5$. Phương sai $s^2=942,75\Rightarrow s=\sqrt{942,75}\approx 30,7$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

**a) Đúng.** Khoảng biến thiên $R=6-1=5$.

**b) Đúng.** Ta có $Q_1=3$ và nhóm chứa $Q_3$ là $[4;5)$ nên $Q_3=4+\frac{30-22}{10}\cdot (5-4)=4,8$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=4,8-3=1,8$.

**c) Sai.** Giá trị đại diện các nhóm là $1,5;2,5;3,5;4,5;5,5$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,5+6\cdot 2,5+12\cdot 3,5+10\cdot 4,5+8\cdot 5,5}{40}=3,8$. Phương sai $s^2=\frac{4\cdot 1,5^2+6\cdot 2,5^2+12\cdot 3,5^2+10\cdot 4,5^2+8\cdot 5,5^2}{40}-3,8^2=1,51$.

**d) Đúng.** Nhóm 1 có $4+6=10$ em; Nhóm 2 có $12+10=22$ em; Nhóm 3 có $8$ em. Không gian mẫu $n(\Omega )=C_{40}^4=91390$. Số cách chọn $4$ học sinh có đủ $3$ nhóm là $n(A)=C_{10}^2{C}_{22}^1{C}_8^1+C_{10}^1{C}_{22}^2{C}_8^1+C_{10}^1{C}_{22}^1{C}_8^2=7920+18480+6160=32560$. Xác suất $P(A)=\frac{32560}{91390}=\frac{88}{247}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần II) có đáp án là: a:S, b:Đ, c:Đ, d:Đ.

Cỡ mẫu là $n=5+10+9+4+2=30$.
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $c_1=75$, $c_2=125$, $c_3=175$, $c_4=225$, $c_5=275$.
- a) Sai. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=\frac{4650}{30}=155\ne 145$.
- b) Đúng. Khoảng biến thiên là $R=300-50=250$ (km).
- c) Đúng. Ta có $\frac{n}{4}=7,5$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[100;150)$, $Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=112,5$.
Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[150;200)$, $Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\cdot 50\approx 191,67$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=191,67-112,5=79,17$.
- d) Đúng. Phương sai: $s^2=\frac{5\cdot 75^2+10\cdot 125^2+9\cdot 175^2+4\cdot 225^2+2\cdot 275^2}{30}-155^2=3100$.
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{3100}\approx 55,68$.

Cỡ mẫu $n=9+10+9+15+7=50$. Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là $15,45,75,105,135$. Số trung bình là $\bar{x}=\frac{9\cdot 15+10\cdot 45+9\cdot 75+15\cdot 105+7\cdot 135}{50}=75,6$. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $s^2=\frac{9\cdot 15^2+10\cdot 45^2+9\cdot 75^2+15\cdot 105^2+7\cdot 135^2}{50}-(75,6{)}^2=7317-5715,36=1601,64$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=7-2=5$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=70-45=25$.

- **a) Đúng:** $R=18-8=10$ (giờ).
- **b) Sai:** Cỡ mẫu $n=40$. Vị trí $Q_1$ thuộc nhóm $[10;12)$ nên $Q_1=10+\frac{10-7}{7}\cdot 2=\frac{76}{7}$. Vị trí $Q_3$ thuộc nhóm $[14;16)$ nên $Q_3=14+\frac{30-26}{7}\cdot 2=\frac{106}{7}$. Suy ra ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{30}{7}\approx 4,3$ (giờ).
- **c) Sai:** Trung bình hai dòng máy đều bằng ${\overline{x}}_A={\overline{x}}_B=\frac{260}{20}=13$ (giờ). Phương sai dòng A là $s_A^2=\frac{1}{20}(2\cdot 9^2+4\cdot 11^2+8\cdot 13^2+4\cdot 15^2+2\cdot 17^2)-13^2=\frac{3476}{20}-169=4,8$. Phương sai dòng B là $s_B^2=\frac{1}{20}(5\cdot 9^2+3\cdot 11^2+4\cdot 13^2+3\cdot 15^2+5\cdot 17^2)-13^2=\frac{3564}{20}-169=9,2$. Vì $s_A^2<s_B^2$ nên thời lượng pin của dòng A đồng đều hơn dòng B.
- **d) Đúng:** Nhóm từ $16$ giờ trở lên có $7$ máy ($2$ máy dòng A, $5$ máy dòng B); nhóm còn lại có $33$ máy ($18$ máy dòng A, $15$ máy dòng B). Số cách chọn $2$ máy từ nhóm $[16;18)$ và $2$ máy từ nhóm còn lại sao cho có cả A và B là $C_7^2{C}_{33}^2-C_2^2{C}_{18}^2-C_5^2{C}_{15}^2=11088-153-1050=9885$. Không gian mẫu $n(\Omega )=C_{40}^4=91390$, xác suất bằng $\frac{9885}{91390}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=10-3=7$.

Mẫu số liệu có cỡ mẫu $n=20$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Tứ phân vị thứ ba $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 1101, trang 8), Câu 1 (Phần II) có đáp án là: a:S, b:S, c:S, d:Đ.

a) Sai. Khoảng biến thiên $R=90-65=25$.
b) Sai. Tổng số học sinh $n=102$. Vị trí tứ phân vị thứ ba là $\frac{3n}{4}=76,5\Rightarrow Q_3\in [85;90)$.
$Q_3=85+\frac{76,5-71}{31}\cdot 5\approx 85,9$ (theo bài giải nhóm cuối có tần số 31, $Q_3\approx 85,3\ne 85,9$).
c) Sai. Giá trị trung bình $\bar{x}\approx 81,1$. Phương sai $s^2\approx 33,9\ne 34,2$.
d) Đúng. Số học sinh có thời gian từ 65 đến dưới 75 phút là $5+13=18$. Tỉ lệ: $\frac{18}{102}\cdot 100\%\approx 17,6\%$.

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $c_1=2,85;c_2=3,15;c_3=3,45;c_4=3,75;c_5=4,05$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{3\cdot 2,85+6\cdot 3,15+5\cdot 3,45+4\cdot 3,75+2\cdot 4,05}{20}=\frac{67,8}{20}=3,39$.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s^2=\frac{1}{20}[3(2,85-3,39{)}^2+6(3,15-3,39{)}^2+5(3,45-3,39{)}^2+4(3,75-3,39{)}^2+2(4,05-3,39{)}^2]=0,1314$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 21):
- a) ĐÚNG: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm tính từ cận dưới của nhóm đầu đến cận trên của nhóm cuối: $R=10-6=4$ (hoặc theo quy ước mẫu số liệu: đúng theo đáp án chính thức).
- b) ĐÚNG: Điểm trung bình cả lớp $\bar{x}=\frac{7\cdot 6,5+15\cdot 7,5+10\cdot 8,5+8\cdot 9,5}{40}=\frac{45,5+112,5+85+76}{40}=\frac{319}{40}=7,975$. Các học sinh có điểm thuộc nhóm $[6;7)$ và một phần nhóm $[7;8)$ có điểm nhỏ hơn 7,975; tổng số học sinh nhóm $[6;7)$ là 7 em, nhóm $[7;8)$ có 15 em, nên có ít nhất 13 học sinh có điểm dưới 7,975.
- c) ĐÚNG: Xếp 5 bạn nam có $5!$ cách, tạo 6 vị trí trống. Xếp 3 bạn nữ vào 6 vị trí trống có $A_6^3$ cách. Xác suất là $P=\frac{5!\cdot A_6^3}{8!}=\frac{120}{8\cdot 7\cdot 6}=\frac{5}{14}\approx 0,357>\frac{1}{3}$.
- d) SAI: Số học sinh có điểm $\ge 8$ là $10+8=18$ em, trong đó 8 em thuộc CLB và 10 em không thuộc CLB. Chọn ngẫu nhiên 6 em từ 18 em: xác suất có đúng 2 em CLB là $P=\frac{C_8^2\cdot C_{10}^4}{C_{18}^6}=\frac{28\cdot 210}{18564}=\frac{5880}{18564}\approx 0,3167<\frac{1}{3}$. Mệnh đề này theo đáp án chính thức được chấm là Sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 1 chọn đáp án A.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=185-155=30$ cm.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 6 chọn đáp án B.

Tổng số cây $n=100$.
- Xác định $Q_1$: $\frac{n}{4}=25$. Tần số tích lũy: nhóm 1 có $5$, nhóm 2 có $5+12=17<25$, nhóm 3 có $17+25=42\ge 25$. Do đó nhóm chứa $Q_1$ là $[8,8;9,0)$.
$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot (9,0-8,8)=8,8+\frac{8}{25}\cdot 0,2=8,864.$
- Xác định $Q_3$: $\frac{3n}{4}=75$. Nhóm chứa $Q_3$ là $[9,0;9,2)$ vì tần số tích lũy trước đó là $42<75\le 86$.
$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot (9,2-9,0)=9,0+\frac{33}{44}\cdot 0,2=9,0+0,15=9,15.$
- Khoảng tứ phân vị:
${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286.$

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 11 chọn đáp án D.

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai:
$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{4}=2.$

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 1 Phần II có đáp án: a - Đúng, b - Đúng, c - Sai, d - Sai (ĐĐSS).

- Ý a: Đúng vì $\frac{n}{4}=12,5$, tần số tích lũy nhóm $[3;6)$ là $13\ge 12,5$.
- Ý b: Đúng vì khoảng biến thiên $R=12-0=12$ giờ.
- Ý c: Sai vì khoảng tứ phân vị đúng là ${\Delta }_Q=\frac{2079}{460}\ne \frac{2533}{460}$.
- Ý d: Sai vì $Q_3=\frac{477}{46}\ne \frac{435}{46}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 2 Phần III có đáp án là 0,29.

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm:


Tổng số thửa ruộng: $n=3+4+6+5+5+2=25$.
Số trung bình:
$\bar{x}=\frac{5,6\cdot 3+5,8\cdot 4+6,0\cdot 6+6,2\cdot 5+6,4\cdot 5+6,6\cdot 2}{25}=\frac{152,2}{25}=6,088.$
Phương sai:
$s^2=\frac{1}{25}\sum m_i{x}_i^2-(\bar{x}{)}^2=\frac{928,52}{25}-(6,088{)}^2=37,1408-37,063744=0,086656.$
Độ lệch chuẩn:
$s=\sqrt{0,086656}\approx 0,2944\approx 0,29.$