Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số giảm từ $-\infty$ đến $x=-1$ (đạt cực tiểu tại $x=-1$), tăng trên $(-1;1)$ (đạt cực đại tại $x=1$), rồi giảm trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$, tương ứng phương án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 122: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ mang dấu $+$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ (và trên $(1;+\infty )$). Trong các phương án, chỉ có $(-1;0)$ thỏa mãn: A đúng; B sai vì trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến; C sai vì trên $(0;1)$ hàm nghịch biến; D sai vì trên $(0;1)$ hàm nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-2x^2-4x=-2x(x+2)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff -2x(x+2)<0\iff x(x+2)>0\iff x<-2$ hoặc $x>0$. Trong các đáp án, khoảng nghịch biến là $(-\infty ;-2)$, tương ứng đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(5;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-\infty ;-2)$ thỏa mãn, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$. Khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm trùng phương dạng bậc bốn với cực đại tại $(0;-1)$ và hai cực tiểu tại $(-1;-2)$, $(1;-2)$. Xét tính đơn điệu: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;0)$, đồng biến... cụ thể: từ $-\infty$ đến $x=-1$ hàm giảm (đi xuống tới cực tiểu), từ $-1$ đến $0$ hàm tăng (lên cực đại $(0;-1)$), từ $0$ đến $1$ hàm giảm (xuống cực tiểu $(1;-2)$), từ $1$ đến $+\infty$ hàm tăng. Vậy hàm số nghịch biến trên $(0;1)$, tương ứng đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 2346: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (dạng chữ W): hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, một điểm cực đại tại $x=0$. Do đó hàm nghịch biến trên $(0;1)$ (và $(-\infty ;-1)$), đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ $(0;1)$ là khoảng nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đồng biến trên khoảng từ điểm cực tiểu (khoảng $x=0$) đến điểm cực đại tại $x=2$, và nghịch biến khi $x>2$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(2;3)$ nằm hoàn toàn trong miền nghịch biến ($x>2$). Các khoảng $(-1;2)$, $(-2;2)$, $(1;+\infty )$ đều chứa cả phần đồng biến nên không thỏa mãn. Vậy hàm số nghịch biến trên $(2;3)$, đáp án B, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;3)$ và $(8;+\infty )$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;4)$ và $(4;8)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;3)$, chọn B. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, hàm số không xác định tại $x=0$ (tiệm cận đứng), $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$ → C đúng. A sai vì trên $(-1;1)$ hàm không xác định tại $x=0$. B sai vì hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ chứ không phải $(-\infty ;-\frac{1}{2})$. D sai vì hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Kết quả khớp đáp án nguồn (đề 2025, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, hàm số không xác định tại $x=0$ (tiệm cận đứng), $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Xét các mệnh đề: A sai vì hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ chứ không phải $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$. B đúng vì $y^{\prime }<0$ trên cả hai khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$. C sai vì hàm nghịch biến trên $(0;1)$. D sai vì hàm không nghịch biến trên toàn $(-1;1)$ do có tiệm cận đứng tại $x=0$ (không liên tục). Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 1025, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $T(x)=50000+5x$, nên $M(x)=\frac{T(x)}{x}=5+\frac{50000}{x}$ với tập xác định $D=[1;+\infty )$ (a đúng). Vì $M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$, hàm số nghịch biến trên $[1;+\infty )$ (b sai). Do nghịch biến nên $M(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD (c đúng). Khi $x\to +\infty$, $\frac{50000}{x}\to 0$ nên $M(x)\to 5$, tức chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(x)=50000+5x$ nên $M(x)=5+\frac{50000}{x}$, xác định với $x\ge 1$, tức $D=[1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$, nên $M(x)$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M(x)$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }M(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(5+\frac{50000}{x}\right)=5$, nên khi $x$ đủ lớn chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;1)$ thỏa mãn (khoảng $(-1;1)$ không thỏa vì hàm đồng biến trên $(-1;0)$; $(-1;0)$ là khoảng đồng biến; $(0;+\infty )$ không thỏa vì hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$). Đáp án khớp với mã đề 102, câu 10: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ khoảng $(0;1)$ thỏa mãn, nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số không có cực trị (loại A, B) và không nghịch biến (loại D). Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên cả hai khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng đó. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$ (khẳng định C đúng). Các khẳng định A, D sai vì $(0;3)$ chứa điểm $x=1$ mà hàm không xác định; B sai vì hàm nghịch biến (không đồng biến) trên $(-\infty ;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ ($y=1$), cực tiểu tại $x=2$ ($y=-2$), cực đại tại $x=4$ ($y=3$). Do đó hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;4)$, nghịch biến trên $(0;2)$ và $(4;+\infty )$. Xét các khẳng định: A sai vì trên $(-2;1)$ hàm đồng biến trên $(-2;0)$ nhưng nghịch biến trên $(0;1)$. B sai vì trên $(0;3)$ hàm nghịch biến trên $(0;2)$ rồi đồng biến trên $(2;3)$. C sai vì trên $(2;3)$ hàm đồng biến. D đúng vì trên $(1;2)$ hàm nghịch biến (nằm trong khoảng nghịch biến $(0;2)$).

Chọn C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ khi $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff (x-1)(x-m)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff x^2-(m+1)x+m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff \{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta =(m+1{)}^2-4m\le 0\end{array}$ $\iff m^2-2m+1\le 0$ $\iff (m-1{)}^2\le 0\iff m-1=0\iff m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;3)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$, tương ứng đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-2{)}^2(1-x)$. Vì $(x-2{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(1-x)$ quyết định: với $x<1$ thì $1-x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ (trừ $x=2$ không thuộc miền này), hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$. Với $x>1$ thì $f^{\prime }(x)<0$ (trừ $x=2$), hàm số nghịch biến. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-2{)}^2(1-x)$. Vì $(x-2{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(1-x)$ quyết định (tại $x=2$ thì $f^{\prime }(2)=0$ nhưng hàm vẫn không nghịch biến). Xét $x=0<1$: $f^{\prime }(0)=4>0$; xét $x=2$: $f^{\prime }(2)=0$; xét $x=3>1$: $f^{\prime }(3)=1\cdot (1-3)=-2<0$. Vậy $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1$, tức hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Đề 1061, Câu 8: B).