Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu từ đạo hàm hoặc bảng dấu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2: hàm số $y=f(x)$ có dạng chữ W với hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $-2$) và một điểm cực đại tại $x=0$ (giá trị $-1$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các khoảng A, B, C, D, chỉ có khoảng $(-1;0)$ là khoảng đồng biến. Đáp án C, trùng với bảng đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có D nêu đúng một khoảng đồng biến là $(-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$. Lưu ý: hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ riêng biệt; đáp án D là lựa chọn đúng theo cách trình bày của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tập xác định của $g$ là $[-2;+\infty )$ (khoảng trước $-2$ bị gạch chéo), $g(-2)=0$, $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$ trên $(-2;0)$ (khi $x\to 0^{-}$ thì $g(x)\to +\infty$), $g(0)=1$ và $g$ nghịch biến từ $1$ xuống $-\infty$ trên $(0;+\infty )$.

a) Trên $(0;+\infty )$ ta có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$: ĐÚNG.

b) Trên $(-2;0)$: $g(-2)=0$ và $g$ đồng biến, $g(x)\ge 0$, đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cắt tại điểm này). Trên $(0;+\infty )$: $g$ liên tục, giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm. Vậy đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm: ĐÚNG.

c) Tại $x=0$, do ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$ nên hàm số không liên tục tại $x=0$, không thể đạt cực đại tại đó (cực đại yêu cầu hàm liên tục và đổi dấu đạo hàm từ $+$ sang $-$ quanh điểm đó với giá trị hữu hạn): SAI.

d) Xét $y=\frac{1}{g(x)-1}$:
- Tiệm cận đứng: $g(x)=1$ xảy ra tại đúng một điểm trên $(-2;0)$ (vì $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$) và tại $x=0$ (vì $g(0)=1$, mẫu số bằng $0$). Vậy $a=2$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{g(x)-1}=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{g(x)-1}=0$ nên có $b=1$ đường tiệm cận ngang $y=0$.
Khi đó $a^2+b^2=4+1=5\ne 10$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(-2)=0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$; trên $(0;+\infty )$ hàm liên tục giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên còn cắt trục hoành thêm một điểm. Vậy luôn cắt trục hoành ít nhất một điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, hàm số không liên tục tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có đúng một nghiệm trên $(-2;0)$ và tại $x=0$ nên $a=2$; hàm số có $b=1$ tiệm cận ngang $y=0$. Suy ra $a^2+b^2=5\ne 10$.

Ta có $f^{\prime }(x)<0\iff (x+4)(x-3)<0\iff -4<x<3$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;3)$. Chọn A.

Chọn B.
Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$.
$y^{\prime }<0⟺x\in (-\infty ;-1)\cup (0;1)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$ nên đồng biến trên khoảng con $(-\infty ;-2)$.

Chọn D.
Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.
Từ bảng xét dấu, khi $x\to +\infty$ thì $y^{\prime }>0$, suy ra $3a>0\Rightarrow a>0$.
Phương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1<x_2<0$.
Theo định lý Vi-ét ta có:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0\\ x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0\end{array}$.
Vì $a>0$ nên suy ra $b>0$ và $c>0$.
Hơn nữa $y^{\prime }(0)=c>0$.
Vậy $a>0,b>0,c>0$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x-3{)}^2}<0,\forall x\in D$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Đặt $t=e^x$. Với $x\in (0;1)\Rightarrow t\in (1;e)$. Bất phương trình trở thành $f(t)-t<m$ đúng với mọi $t\in (1;e)$.
Xét $g(t)=f(t)-t$, $g^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)-1$. Từ bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$, với $t\in (1;e)$ ta có $f^{\prime }(t)<1\Rightarrow g^{\prime }(t)<0$, do đó hàm số $g(t)$ nghịch biến trên $[1;e]$.
Để $g(t)<m,\forall t\in (1;e)$ thì $m\ge {\max }_{[1;e]}g(t)=g(1)=f(1)-1$. Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-7;-6)$ ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-7;-6)$.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=0\iff x\in \{-1;0;1\}$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nên nghịch biến trên $(-\infty ;-2)\subset (-\infty ;-1)$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+2x-5$. Giải phương trình $y^{\prime }=0\iff (x-1)(3x+5)=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{5}{3}$.
Bảng xét dấu $y^{\prime }$ cho thấy $y^{\prime }>0$ trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{5}{3}\right)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Chọn đáp án B.

Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Từ đồ thị ta thấy trên khoảng $(0;1)$ đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.

Trên khoảng $(1;2)$ ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

Lời giải chi tiết:

- Ý a: ĐÚNG. $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
- Ý b: SAI. $f^{\prime }(x)<0\iff x\in (0;1)\cup (1;2)$. Hàm số gián đoạn tại $x=1$ nên không nghịch biến trên $(0;2)$.
- Ý c: ĐÚNG. $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=2$, $f(2)=1$. Điểm cực tiểu của đồ thị là $(2;1)$.
- Ý d: SAI. Trên $[-2;0]$, $x\le 0\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0$, hàm số đồng biến. Do đó ${\max }_{[-2;0]}f(x)=f(0)=-3\ne 0$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 5), Câu 3 (Phần I) chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên ta có:

- $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$.
- $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;2)$.
- $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(2;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$.

Do đó khẳng định đúng là: hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;2)$.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án D.

Quan sát đồ thị hàm số, trên khoảng $(-1;0)$ đồ thị đi xuống từ trái sang phải, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án B.

Từ đồ thị, trên khoảng $(1;+\infty )$ đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$.