Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay bay trên đường thẳng qua $A(-500;-250;150)$ và $B(-200;-200;100)$, vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(300;50;-50)$, lấy $\vec{u}=(6;1;-1)$. Vị trí gần $O$ nhất là hình chiếu $H$ của $O$ trên đường thẳng: $H=A+t\vec{u}$ với $t=-\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \vec{u}}{|\vec{u}{|}^2}$. Ta có $\overrightarrow{OA}\cdot \vec{u}=-500\cdot 6-250\cdot 1+150\cdot (-1)=-3400$, $|\vec{u}{|}^2=38$, nên $t=\frac{3400}{38}=\frac{1700}{19}$. Suy ra $a=-500+\frac{10200}{19}=\frac{700}{19}\approx 36,842$; $b=-250+\frac{1700}{19}=\frac{-3050}{19}\approx -160,526$; $c=150-\frac{1700}{19}=\frac{1150}{19}\approx 60,526$. Khi đó $-3a-b-c=\frac{-2100+3050-1150}{19}=\frac{-200}{19}\approx -10,526\approx -11$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $M(4;3;20)$ và $N(4;1000;20)$. Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{MN}=(4-4;1000-3;20-20)=(0;997;0)$, có thể lấy $\vec{u}=(0;1;0)$. Lấy điểm $M(4;3;20)$ làm điểm đi qua, phương trình tham số của $d$ là: $x=4;y=3+t;z=20$ với $t\in \mathbb{R}$. (Tương đương dạng $x=4;y=3+997t;z=20$.) Kiểm tra: với $t=997$ ta được $N(4;1000;20)$ — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ với $(x_0;y_0;z_0)$ là tọa độ điểm và $(a;b;c)$ là tọa độ vectơ chỉ phương, các mẫu số phải là hằng số khác 0. Xét các phương án: A có mẫu $z$ (biến) ở phân thức $\frac{y-1}{z}$ nên sai; C có mẫu $z$ ở $\frac{z-5}{z}$ nên sai; D có mẫu $y$ ở $\frac{x-1}{y}$ nên sai. Phương án B: $\frac{x-9}{7}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-6}{-2}$ có điểm $(9;8;6)$ và vectơ chỉ phương $(7;-1;-2)$, các mẫu đều là hằng số khác 0, đây là phương trình chính tắc hợp lệ.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(3-1;2-0;-1-1)=(2;2;-2)$, có thể rút gọn thành $(1;1;-1)$. Đường thẳng đi qua $M(1;0;1)$ nên phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=1-t\end{array}$. Kiểm tra: với $t=1$ ta được $(2;1;0)$, với $t=2$ ta được $(3;2;-1)=N$, đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}$ có vecto chỉ phương là các hệ số trong mẫu: $\vec{u}=(-1;2;1)$. So với các đáp án, ${\vec{u}}_3=(-1;2;1)$ trùng khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+3}{2}$ đi qua điểm $M(2;-1;-3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-1;2)$. Do đó điểm $M(2;-1;-3)$ thuộc $d$. Kiểm tra các điểm khác: $N(-2;1;3)$: $\frac{-2-2}{3}=-\frac{4}{3}\ne \frac{1+1}{-1}=-2$, loại. $P(5;-2;1)$: $\frac{5-2}{3}=1\ne \frac{-2+1}{-1}=1$ bằng nhau nhưng $\frac{1+3}{2}=2\ne 1$, loại. $Q(-1;0;5)$: $\frac{-1-2}{3}=-1\ne \frac{0+1}{-1}=-1$ bằng nhau nhưng $\frac{5+3}{2}=4\ne -1$, loại. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;-1)$. Vecto $(-2;-1;1)$ không cùng phương với $(2;-1;-1)$ (nhân $-1$ được $(-2;1;1)\ne (-2;-1;1)$) → SAI.
b) Đường thẳng qua $A(0;-1;0)$ song song $d_1$ có VTCP $(2;-1;-1)$: $x=2t,y=-1-t,z=-t$ → ĐÚNG.
c) $(P)$ qua $A$ vuông góc $d_2$ có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{u_2}=(4;4;1)$, qua $A(0;-1;0)$: $4x+4y+z+4=0$. Mặt phẳng $2x-y-z+1=0$ có VTPT $(2;-1;-1)$ không cùng phương với $(4;4;1)$ → SAI.
d) VTCP cần tìm $\vec{u}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(3;-6;12)\parallel (1;-2;4)$, nên đường thẳng là $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{4}$, khác với $\frac{z}{3}$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $(2;-1;-1)$; $(-2;-1;1)$ không cùng phương với nó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(0;-1;0)$ với VTCP $(2;-1;-1)$: $x=2t,y=-1-t,z=-t$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải là $4x+4y+z+4=0$ vì VTPT là $(4;4;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(3;-6;12)\parallel (1;-2;4)$, nên mẫu của $z$ phải là 4 chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1+2t,y=3t,z=-2+t$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $(1;0;-2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;1)$. Do đó phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{1}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(x;y;z)$ thuộc $\Delta$ khi tồn tại $t$ sao cho $x=1+2t,y=-1+3t,z=2-t$. Thử từng phương án: A $(2;3;-1)$: $t=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$ nhưng $y=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\ne 3$, loại. B $(-1;-4;3)$: từ $x=-1\Rightarrow t=-1$; khi đó $y=-1+3(-1)=-4$ và $z=2-(-1)=3$, thỏa cả ba phương trình. C $(-1;1;-2)$: $t=-1$ cho $y=-4\ne 1$, loại. D $(2;-2;4)$: $t=\frac{1}{2}$ cho $y=\frac{1}{2}\ne -2$, loại. Vậy điểm thuộc $\Delta$ là $(-1;-4;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-7}{5}$ đi qua điểm $(1;-3;7)$ với $t=0$. Thử từng điểm: $M(1;-3;5)$: $\frac{0}{3}=\frac{0}{-2}=0\ne \frac{5-7}{5}=-\frac{2}{5}$, loại. $N(2;-1;7)$: $\frac{1}{3}\ne \frac{2}{-2}=-1$, loại. $P(1;-3;7)$: $\frac{0}{3}=\frac{0}{-2}=\frac{0}{5}=0$, thỏa mãn. $Q(3;-5;7)$: $\frac{2}{3}\ne \frac{-2}{-2}=1$, loại. Vậy điểm thuộc $\Delta$ là $P(1;-3;7)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $O(0;0;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;2)$ có phương trình tham số: $x=t,y=3t,z=2t$ ($t\in \mathbb{R}$). Kiểm tra: tại $t=0$ điểm là $O$, hệ số tương ứng với $\vec{u}$. Phương án D khớp; A là điểm cố định, B có vectơ chỉ phương $(-1;-2;-3)$, C có vectơ $(0;3;2)$. Khớp đáp án nguồn (mã đề 211: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z+1}{1}$ đi qua điểm $(4;2;-1)$ (từ mẫu số $x-4$, $y-2$, $z+1$). Thử từng điểm: $Q(2;5;1)$ cho $\frac{2-4}{2}=-1$, $\frac{5-2}{-5}=-\frac{3}{5}$, không khớp. $M(4;2;1)$ cho $\frac{1+1}{1}=2\ne 0$, không khớp. $P(2;-5;1)$ không thỏa. $N(4;2;-1)$ cho cả ba tỉ số bằng $0$, nên $N\in d$. Đáp án khớp với mã đề 211: D.

Lời giải (theo biểu điểm và đáp án, trang 12-13): Đường thẳng $MN$ nhận $\overrightarrow{MN}=(2;2;-2)$ hoặc $\vec{u}(1;1;-1)$ là vectơ chỉ phương và đi qua điểm $M(1;0;1)$.
Phương trình đường thẳng cần tìm là
$$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=1-t\end{array}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại phương trình đường thẳng $d:\frac{x-4}{3}=\frac{2-y}{-1}=\frac{z-3}{-2}$. Ta có $\frac{2-y}{-1}=\frac{y-2}{1}$, nên $d:\frac{x-4}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}$. Vậy một vecto chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u_1}=(3;1;-2)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 9: D).

Lời giải: Đường thẳng $MN$ nhận $\overrightarrow{MN}=(2;2;-2)$ hoặc $\vec{u}(1;1;-1)$ là vectơ chỉ phương và đi qua điểm $M(1;0;1)$.
Phương trình đường thẳng cần tìm là
$$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=1-t\end{array}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $O(0;0;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;2)$ có phương trình tham số: $x=0+1t=t,y=0+3t=3t,z=0+2t=2t$. Khớp với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 111, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z+1}{1}$ đi qua điểm $(4;2;-1)$ với vectơ chỉ phương $(2;-5;1)$. Thay tọa độ từng điểm: $N(4;2;-1)$ cho cả ba tỉ số bằng $0$, nên $N\in d$. Các điểm $P(2;-5;1)$, $Q(2;5;1)$, $M(4;2;1)$ không thỏa mãn phương trình (ví dụ $M(4;2;1)$: $\frac{z+1}{1}=2\ne 0$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-4}{3}=\frac{2-y}{-1}=\frac{z-3}{-2}$. Ta có $\frac{2-y}{-1}=\frac{y-2}{1}$, nên $d$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(3;1;-2)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{-1}$ có dạng chính tắc với mẫu số lần lượt là $2;3;-1$, nên vecto chỉ phương là $\vec{u}=(2;3;-1)$. Điều này khớp với đáp án B (và bảng đáp án mã đề 102, câu 4 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $M(2;1;-1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;3)$ có phương trình chính tắc $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-(-1)}{3}$, tức $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{3}$. Khớp với đáp án C (đồng ý với bảng đáp án mã đề 102, câu 8: C).