Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}=(2;2\sqrt{3})$, của $d_2:y-6=0$ là $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$. $\cos \phi =\frac{|2\cdot 0+2\sqrt{3}\cdot 1|}{\sqrt{4+12}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $30^{\circ }$.

Hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;1),{\vec{n}}_2=(2;m)$.

Ta có: $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\right|}{\left|{\vec{n}}_1\right|\cdot \left|{\vec{n}}_2\right|}=\frac{\left|1\cdot 2+1\cdot m\right|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{4+m^2}}=\cos 45^{\circ }\iff \frac{\left|1\cdot 2+1\cdot m\right|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow 4+m^2=4+4m+m^2\Rightarrow m=0$. Vậy $m=0$ thỏa mãn đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(2;-1)$ và vuông góc với $BC$. Vectơ $\overrightarrow{BC}=(-3-4;2-5)=(-7;-3)$, nên vectơ pháp tuyến của $AH$ là $\vec{n}=(-7;-3)$ (tương đương $(7;3)$). Phương trình: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x+3y-11=0$. Khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(2;2\sqrt{3})$ và $n_2=(0;1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{4+12}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, Câu 11: C).

Đáp án chính thức (theo thứ tự a, b, c, d): S, Đ, S, Đ.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ (vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;1)$) và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$ (vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(2;m)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa $$\cos 45^{\circ }=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Suy ra $\frac{|m+2|}{\sqrt{4+m^2}}=1$, bình phương hai vế: $(m+2{)}^2=m^2+4\Rightarrow m^2+4m+4=m^2+4\Rightarrow 4m=0\Rightarrow m=0$. Kiểm tra: với $m=0$, ${\vec{n}}_2=(2;0)$, $\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng góc $45^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 3267: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-8y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-8)$ và $d_2:8x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(8;3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 8+(-8)\cdot 3=24-24=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $d_1\perp d_2$. Vậy khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $A(3;-1)$, $B(4;3)$ là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1;4)$. Đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát: qua $A$ với hệ số góc $k=4/1=4$: $y+1=4(x-3)\iff y=4x-13$. Kiểm tra các phương án: phương án D cho $x=5+t,y=7+4t$ có vecto chỉ phương $(1;4)$ đúng, và điểm tương ứng $t=0$ là $(5;7)$, thỏa mãn $7=4\cdot 5-13$. Vậy phương án D đúng (đường thẳng này đi qua điểm $(5;7)$ thuộc $d$ và có cùng vecto chỉ phương). Các phương án A, C có vecto chỉ phương $(4;-1)$ sai; phương án B đi qua $(3;1)$ không thuộc đường thẳng (vì $1\ne 4\cdot 3-13=-1$). Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(2;-1)$ và vuông góc với $BC$. Ta có $\overrightarrow{BC}=C-B=(-3-4;2-5)=(-7;-3)$. Vì $AH\perp BC$ nên vectơ pháp tuyến của $AH$ song song với $\overrightarrow{BC}$, chọn ${\vec{n}}_{AH}=(7;3)$ (vì $(7;3)=-(-7;-3)$ nên song song với $\overrightarrow{BC}$). Phương trình $AH$: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x-14+3y+3=0\iff 7x+3y-11=0$. Thử lại với $A(2;-1)$: $7\cdot 2+3\cdot (-1)-11=14-3-11=0$ (đúng). Vậy đáp án D, khớp bảng đáp án mã đề 3267.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng qua A(3;-1), B(4;3) là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1;4)$. Đường thẳng qua A có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1+4t\end{array}$. Xét các phương án: A có VTCP $(1;4)$ và điểm $(5;7)$ thuộc đường thẳng (với $t=2$: $x=3+2=5$, $y=-1+8=7$) nên A đúng. B có điểm $(3;1)$ không thuộc đường thẳng (với $x=3$ thì $y=-1$). C và D có VTCP $(4;-1)$ không cùng phương với $(1;4)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1354, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$) và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;m)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa $$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}.$$ Với $\theta =45^{\circ }$ thì $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó $$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟺|2+m|=\sqrt{4+m^2}.$$ Bình phương hai vế: $(2+m{)}^2=4+m^2⟺4+4m+m^2=4+m^2⟺4m=0⟺m=0.$ Thử lại: với $m=0$, ${\Delta }_2:2x+2026=0$ là đường thẳng đứng, ${\Delta }_1$ có hệ số góc $-1$ (nghiêng $135^{\circ }$), góc giữa chúng đúng bằng $45^{\circ }$. Vậy $m=0$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1354: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x+2\sqrt{3}y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;2\sqrt{3})$, và $d_2:y-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+2\sqrt{3}|}{\sqrt{4+12}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1354: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $AH$ đi qua $A(2;-1)$ và vuông góc với $BC$. Vectơ $\overrightarrow{BC}=(-3-4;2-5)=(-7;-3)$. Vì $AH\perp BC$ nên $AH$ nhận $\vec{n}=(-7;-3)$ làm vectơ pháp tuyến (tương đương $(7;3)$). Phương trình: $7(x-2)+3(y+1)=0\iff 7x+3y-11=0$. Kiểm tra: $A(2;-1)$: $14-3-11=0$ đúng. Khớp với đáp án nguồn là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-4y-2=0$ có một vec tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_0=(3;-4)$.
a) Vec tơ $\vec{n}(-4;3)$ không cùng phương với $(3;-4)$ (vì $\frac{-4}{3}\ne \frac{3}{-4}$) nên không phải pháp tuyến của $\Delta$ → Sai.
b) Thay $N(2;1)$ vào phương trình: $3\cdot 2-4\cdot 1-2=0$, thỏa mãn → $\Delta$ đi qua $N$, Đúng.
c) $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 4-4\cdot 2-2|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|12-8-2|}{5}=\frac{2}{5}$ → Đúng.
d) Đường tròn tâm $M(4;2)$ tiếp xúc $\Delta$ có bán kính $R=d(M,\Delta )=\frac{2}{5}$, phương trình đúng là $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{4}{25}$, khác với $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ → Sai.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án nguồn (Mã chẵn, Câu 2: S, Đ, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vec tơ pháp tuyến của $\Delta :3x-4y-2=0$ là ${\vec{n}}_0=(3;-4)$. Vec tơ $(-4;3)$ không cùng phương với $(3;-4)$ nên không phải pháp tuyến của $\Delta$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $N(2;1)$ vào phương trình $\Delta$: $3(2)-4(1)-2=0$, thỏa mãn → $\Delta$ đi qua $N$, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$d(M,\Delta )=\frac{|3(4)-4(2)-2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|12-8-2|}{5}=\frac{2}{5}$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $M(4;2)$ tiếp xúc $\Delta$ có bán kính $R=d(M,\Delta )=\frac{2}{5}$, phương trình đúng là $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{4}{25}$, khác với $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1:y+2=0$ là đường thẳng song song với trục $Ox$. Đường thẳng ${\Delta }_2:x+\sqrt{3}y-4=0$ có hệ số góc $m=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên góc tạo bởi ${\Delta }_2$ với trục $Ox$ thỏa $\tan \phi =\left|-\frac{1}{\sqrt{3}}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Vì ${\Delta }_1$ song song với trục $Ox$ nên góc giữa ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng $30^{\circ }$. Vậy $a=30$, khớp với đáp án nguồn (Mã chẵn, Câu 3: 30).

Vì $d$ song song với $\Delta$ nên gọi phương trình của $d$ là: $x-4y+c=0(c\ne 2)$ (0,25)
$M\in d\Rightarrow 2-4.3+c=0$ (0,25)
$\iff c=10$ (0,25)
Vậy ptdt $d$ là: $x-4y+10=0$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$, $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai pháp tuyến (lấy giá trị trong $[0;90^{\circ }]$), nên $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Khớp với đáp án D (mẫu số là tích hai căn, tử số có giá trị tuyệt đối). Đáp án A sai mẫu số (tổng thay tích), B thiếu giá trị tuyệt đối, C sai biểu thức tử số. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Đường thẳng Δ: 3x + 4y - 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n(3;4), còn vectơ (-4;3) là một vectơ chỉ phương của Δ. b) Đúng. Thay N(-1;1): 3(-1) + 4(1) - 1 = -3 + 4 - 1 = 0, nên N thuộc Δ. c) Đúng. d(M, Δ) = |3·1 + 4·2 - 1| / √(3² + 4²) = |3 + 8 - 1| / 5 = 10/5 = 2. d) Đúng. Đường tròn tâm M tiếp xúc Δ có bán kính R = d(M, Δ) = 2, nên (c): (x-1)² + (y-2)² = 4. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ: 3x + 4y - 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n(3;4); vectơ (-4;3) là vectơ chỉ phương, không phải pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(-1;1) vào phương trình: 3(-1) + 4(1) - 1 = 0, nên N thuộc Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(M, Δ) = |3·1 + 4·2 - 1| / √(9+16) = 10/5 = 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = d(M, Δ) = 2, nên (c): (x-1)² + (y-2)² = 4.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1:x-1=0$ là đường thẳng đứng, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(0;1)$. Đường thẳng ${\Delta }_2:x+\sqrt{3}y-2=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-\sqrt{3};1)$. Góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|0\cdot (-\sqrt{3})+1\cdot 1|}{1\cdot \sqrt{3+1}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\phi =60^{\circ }$. Vậy $a=60$, khớp với đáp án nguồn (Mã lẻ, Câu 3: 60).

Vì $d$ song song với $\Delta$ nên gọi phương trình của $d$ là: $x-3y+c=0(c\ne 5)$ (0,25)
$M\in d\Rightarrow 2-3.1+c=0$ (0,25)
$\iff c=1$ (0,25)
Vậy ptđt $d$ là: $x-3y+1=0$ (0,25)