Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $BC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{BC}=(4;1)\Rightarrow \vec{n}=(1;-4)$. (0,25 điểm)
PT: $1(x-1)-4(y-1)=0\iff x-4y+3=0$. (0,25 điểm)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $AC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{AC}=(3;2)\Rightarrow \vec{n}=(2;-3)$. (0,25 điểm)
PT: $2(x-0)-3(y-2)=0\iff 2x-3y+6=0$. (0,25 điểm)
3) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho độ dài đoạn $BM$ nhỏ nhất. (0,5 điểm)
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng AC. Theo tính toán, $H\left(\frac{10}{13};\frac{11}{13}\right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left(-\frac{3}{13};-\frac{2}{13}\right)$ và $\overrightarrow{AC}=(3;2)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=-\frac{1}{13}\overrightarrow{AC}$. Vì $k=-\frac{1}{13}<0$ nên $A$ nằm giữa $H$ và $C$. (0,25 điểm)
Với mọi $M$ thuộc đoạn AC, ta có $BM=\sqrt{B{H}^2+H{M}^2}$. BM nhỏ nhất khi HM nhỏ nhất. Vì $M$ chạy từ $A$ đến $C$ và $H$ nằm ngoài đoạn về phía $A$, nên HM nhỏ nhất khi $M\equiv A$. Kết luận: Điểm cần tìm là $M(1;1)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(3-2;1-3)=(1;-2)$, nên vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;1)$. Phương trình đường thẳng $AB$: $2(x-2)+1(y-3)=0\iff 2x+y-7=0$. Kiểm tra: $A(2;3)$: $4+3-7=0$; $B(3;1)$: $6+1-7=0$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Cosin của góc giữa hai đường thẳng bằng cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến (lấy giá trị dương vì góc giữa hai đường thẳng thuộc $[0^{\circ };90^{\circ }]$): $$\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ Đây chính là công thức ở phương án A. Phương án B sai tử số ($a{b}_1+a_2{b}_2$); C sai mẫu (tổng thay tích); D thiếu giá trị tuyệt đối nên có thể âm. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(4;1). b) Đúng: với t=0 ta được x=3, y=-2 nên Δ đi qua M(3;-2). c) Sai: đường tròn đường kính OA có tâm I là trung điểm OA: I(-1;1), bán kính R=OA/2=√8/2=√2, phương trình là (x+1)²+(y-1)²=2 chứ không phải =8. d) Đúng: u·n = 4·(-1)+1·4 = 0 nên n=(-1;4) là vectơ pháp tuyến của Δ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số x=3+4t, y=-2+t, vectơ chỉ phương là u=(4;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với t=0: x=3, y=-2, nên M(3;-2) thuộc Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(-1;1), R=OA/2=√8/2=√2, phương trình đúng là (x+1)²+(y-1)²=2, không phải =8.
d) (AI giải đề cho tôi)
u·n = 4·(-1)+1·4 = 0 nên n=(-1;4) vuông góc với u, là vectơ pháp tuyến của Δ.

Đường thẳng $MN$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=(3;5)$ và đi qua $M(1;-2)$.
Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng $MN$ là $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2+5t\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc bù của nó), nên $\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo cosin của góc giữa hai đường thẳng không âm. So sánh với các phương án: A sai vì mẫu là tổng hai căn; C sai vì thiếu giá trị tuyệt đối; D sai vì tử số $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ không phải tích vô hướng của hai pháp tuyến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 0115, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(4;1). b) Đúng: vectơ pháp tuyến n=(-1;4) vì u·n = 4·(-1)+1·4 = 0. c) Sai: đường tròn đường kính OA có tâm I là trung điểm OA: I(-1;1), bán kính R = OA/2 = √8/2 = √2 nên R² = 2, phương trình là (x+1)²+(y-1)²=2 chứ không phải =8. d) Đúng: với t=0, Δ đi qua điểm (3;-2) = M(3;-2). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số x=3+4t, y=-2+t, vectơ chỉ phương là u=(4;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
n=(-1;4) vuông góc với u=(4;1) vì u·n = -4+4 = 0, nên n là vectơ pháp tuyến của Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I là trung điểm OA: I(-1;1). Bán kính R = OA/2 = √((-2)²+2²)/2 = √8/2 = √2, nên R²=2. Phương trình đúng là (x+1)²+(y-1)²=2, không phải =8.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay t=0 vào phương trình tham số của Δ ta được điểm (3;-2), đúng bằng M(3;-2).

Đường thẳng $MN$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=(3;5)$ và đi qua $M(1;-2)$.
Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng $MN$ là $\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2+5t\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ: $d_1:2x-5y=-3$ và $d_2:x-3y=7$. Từ $d_2$: $x=7+3y$. Thay vào $d_1$: $2(7+3y)-5y=-3\Rightarrow 14+y=-3\Rightarrow y=-17$. Suy ra $x=7+3(-17)=-44$. Vậy giao điểm là $M(-44;-17)$, khớp với đáp án B trong đề.

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 209: SSDD)
a) Sai. Đường thẳng $\Delta :2x-y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$, không phải $(1;2)$. (Theo bảng đáp án mã đề 209: S)
b) Sai. Thay $M(-1;2)$ vào $\Delta$: $2(-1)-2-10=-14\ne 0$, nên $M$ không nằm trên $\Delta$. (Theo bảng đáp án mã đề 209: S)
c) Đúng. Vectơ chỉ phương của $AB$ là ${\vec{u}}_1=(3;1)$, vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\vec{u}}_2=(1;2)$; $\cos ({\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2)=\frac{|3+2|}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc bằng $45^o$. (Theo bảng đáp án mã đề 209: Đ)
d) Đúng. Bán kính $R=AB=\sqrt{(5-2{)}^2+(0+1{)}^2}=\sqrt{10}$, phương trình $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=10\iff x^2+y^2-4x+2y-5=0$. (Theo bảng đáp án mã đề 209: Đ)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $M(-3;2)$ đến đường thẳng $3x-y+1=0$: $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot (-3)-2+1|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-9-2+1|}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\approx 3,16$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $3,16$.

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn hóa $d_2:2x-4y-4=0$ chia cho 2 được $x-2y-2=0$. Hai đường thẳng song song với $d_1:x-2y+3=0$. Khoảng cách $d(d_1,d_2)=\frac{|3-(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (mã 209, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song: $d_2:2x-4y-4=0\iff x-2y-2=0$. Khoảng cách $d(d_1,d_2)=\frac{|3-(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng Δ: x−y+1=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−1) → Đúng.
b) Thay M(−1;2) vào phương trình: −1−2+1=−2≠0, nên M không nằm trên Δ → Sai.
c) AB=(−1;0) là vectơ nằm ngang; vectơ chỉ phương của Δ là u=(1;1). cos góc = |AB·u|/(|AB||u|) = 1/√2, suy ra góc bằng 45° → Đúng.
d) Đường tròn tâm A(2;−1) đi qua B có bán kính R=AB=1, phương trình (x−2)²+(y+1)²=1 ⇔ x²+y²−4x+2y+4=0, khác phương trình x²+y²−4x+2y−4=0 → Sai.
Kết quả Đ–S–Đ–S khớp bảng đáp án mã đề 132 (DSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ phương trình x−y+1=0, hệ số của x và y cho vectơ pháp tuyến n=(1;−1).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay M(−1;2): −1−2+1=−2≠0, nên M không nằm trên Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) AB=(−1;0) nằm ngang; vectơ chỉ phương của Δ là u=(1;1). cos góc = |AB·u|/(|AB||u|)=1/√2, suy ra góc bằng 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) R=AB=1, tâm A(2;−1): (x−2)²+(y+1)²=1 ⇔ x²+y²−4x+2y+4=0, khác phương trình x²+y²−4x+2y−4=0.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(5;-1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+2y+13=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 5+2\cdot (-1)+13|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|15-2+13|}{\sqrt{13}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}\approx 7,21$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,21.

a. Ta có $E(5;12)$, $F(15;6)$.

$\overrightarrow{EF}=(10;-6)\Rightarrow \overrightarrow{n_{EF}}=(3;5)$.

Phương trình tổng quát của $EF$ là

$3(x-5)+5(y-12)=0\iff 3x+5y-75=0$ (1)

(Điểm: 0,25 / 0,25)

b. Gọi H là điểm cần tìm. Để đường đi ngắn nhất thì $HB\perp EF$. Giả sử $H(a;b)\in EF$ khi đó $3a+5b-75=0$.

lại có $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{EF}=0\iff 5a-3b=0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $H\left(\frac{225}{34};\frac{375}{34}\right)$

(Điểm: 0,25đ / 0,25)

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $2(x-1)-3(y+1)=0$ $\Rightarrow 2x-2-3y-3=0\Rightarrow 2x-3y-5=0$.
b) $d(A;\Delta )=\frac{\left|3.1-4.(-1)-21\right|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{14}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $\Delta :2x-y+9=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$ → Đúng. b) Vectơ chỉ phương phải vuông góc với $\vec{n}$, ví dụ $\vec{u}=(1;2)$; $\vec{u}=(2;1)$ có $\vec{n}\cdot \vec{u}=4-1=3\ne 0$ → Sai. c) $(C):(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có tâm $I(1;-3)$, bán kính $R=5$ → Đúng. d) Đường tròn tâm $M(3;-4)$, bán kính $R=7$ phải có dạng $(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=49$ (bình phương bán kính), không phải $=7$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $2x-y+9=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(2;1)$ có $\vec{n}\cdot \vec{u}=2\cdot 2+(-1)\cdot 1=3\ne 0$ nên không vuông góc với pháp tuyến, không phải vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương đúng dạng $\vec{u}=(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=25$ cho tâm $I(1;-3)$, $R=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $M(3;-4)$ bán kính $R=7$ có phương trình $(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=49$, không phải $=7$.

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $2(x-1)-3(y+1)=0$ $\Rightarrow 2x-2-3y-3=0\Rightarrow 2x-3y-5=0$.
b) $d(A;\Delta )=\frac{\left|3.1-4.(-1)-21\right|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{14}{5}$.

(AI giải đề cho tôi) ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(3;-4)$. ${\Delta }_2$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;4)=-1\cdot (3;-4)$, tức $\overrightarrow{n_2}$ song song với $\overrightarrow{u_1}$. Do đó $\overrightarrow{u_1}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ${\Delta }_2$ (là $(4;3)$), nên hai đường thẳng vuông góc nhau, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.