Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d^{\prime })$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{d^{\prime }}=(3;-4)$ và vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{d^{\prime }}=(4;3)$. Vì $(d)$ vuông góc với $(d^{\prime })$ nên vectơ chỉ phương của $(d)$ phải thỏa ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{d^{\prime }}=0$, tức ${\vec{u}}_d$ song song với ${\vec{n}}_{d^{\prime }}=(3;-4)$. Đường thẳng $(d)$ đi qua $M(-2;3)$ nên có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=3-4t\end{array}$. Kiểm tra: ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{d^{\prime }}=3\cdot 4+(-4)\cdot 3=0$, đúng vuông góc. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Δ₁: x−2y+15=0 có VTCP u₁=(2;1). Δ₂ có VTCP u₂=(−1;2). Tích vô hướng u₁·u₂ = 2·(−1)+1·2 = 0, nên hai VTCP vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng 90°. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $(3;4)$, đi qua điểm $(1;2)$. Phương trình tổng quát: $4x-3y+2=0$. Khoảng cách từ $M(2;0)$: $d=\frac{|4\cdot 2-3\cdot 0+2|}{\sqrt{16+9}}=\frac{10}{5}=2$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ song song với d: 3x−4y+1=0 có dạng 3x−4y+c=0 (c≠1). Khoảng cách giữa hai đường thẳng là d(d,Δ)=|c−1|/√(3²+4²)=|c−1|/5=1, suy ra |c−1|=5, tức c=6 hoặc c=−4. Vậy Δ: 3x−4y+6=0 hoặc 3x−4y−4=0, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;-1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y-17=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-1)-17|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3+4-17|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_1:x+2y-2=0$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(-b;a)=(2;-1)$ (hoặc bất kỳ vectơ cùng phương). Đường thẳng $d_2$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1+t\end{array}$ nên một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=(1;1)$.

Cosin của góc $\theta$ tạo bởi hai đường thẳng:
$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|\cdot |\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)\cdot 1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|2-1|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$$

Vậy giá trị cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng là $\frac{\sqrt{10}}{10}$, chọn đáp án D. (Lưu ý: cosin góc giữa hai đường thẳng luôn không âm, nên loại phương án C.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: a) Sai - từ $x-y+2=0$ ta có vecto pháp tuyến $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$. b) Đúng - ${\Delta }_2$ có vecto chỉ phương $\vec{u}(3;1)$ nên vecto pháp tuyến $\vec{n}(1;-3)$ vì $\vec{n}\cdot \vec{u}=3-3=0$. c) Sai - thay $A(4;-2)$: $4-(-2)+2=8\ne 0$ nên $A\notin {\Delta }_1$. d) Đúng - với $B(7;0)$: $7=1+3t\Rightarrow t=2$, khi đó $y=-2+2=0$ khớp, nên $B\in {\Delta }_2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tổng quát $x-y+2=0$, hệ số của $x,y$ là $(1;-1)$ nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_2$ có vecto chỉ phương $\vec{u}(3;1)$. Vecto $\vec{n}(1;-3)$ có $\vec{n}\cdot \vec{u}=1\cdot 3+(-3)\cdot 1=0$, nên $\vec{n}(1;-3)$ là vecto pháp tuyến của ${\Delta }_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $A(4;-2)$ vào $x-y+2=0$: $4-(-2)+2=8\ne 0$, nên $A$ không thuộc ${\Delta }_1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $7=1+3t\Rightarrow t=2$; khi đó $y=-2+2=0$ trùng tung độ của $B(7;0)$, nên $B\in {\Delta }_2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(2;-1)$ và $n_2=(1;-3)$.
a) Vì $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-3}$ nên hai đường thẳng không song song → sai.
b) $n_1\cdot n_2=2\cdot 1+(-1)\cdot (-3)=2+3=5\ne 0$ nên hai đường thẳng không vuông góc → sai.
c) $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$ → đúng.
d) Góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$ → sai.
Vậy a) sai, b) sai, c) đúng, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-3}$ nên hai đường thẳng không song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $n_1=(2;-1)$, $n_2=(1;-3)$ ta có $n_1\cdot n_2=2\cdot 1+(-1)\cdot (-3)=5\ne 0$, nên hai đường thẳng không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta =45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là $45^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB=\sqrt{(0-4{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=5\ne 5\sqrt{2}$ → Sai.
b) Đường thẳng qua $A(4;0)$, $B(0;3)$ có dạng $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+4y-12=0\ne 3x+4y+12=0$ → Sai.
c) Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $k_{AB}=\frac{3-0}{0-4}=-\frac{3}{4}$. Đường thẳng $\Delta :mx+2y-5=0$ có hệ số góc $k_{\Delta }=-\frac{m}{2}$. Vuông góc: $\left(-\frac{m}{2}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\iff \frac{3m}{8}=-1\iff m=-\frac{8}{3}\ne \frac{8}{3}$ → Sai.
d) $M(a;b)$ trên trục $Ox$ nên $b=0$, $M(a;0)$. Diện tích tam giác $MAB$: $\frac{1}{2}\cdot |a|\cdot 3=6\iff |a|=4\iff a=\pm 4$. Khi đó $a+b^2=4$ hoặc $a+b^2=-4$, không phải $8$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{4^2+3^2}=5\ne 5\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $3x+4y-12=0$, không phải $3x+4y+12=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện vuông góc cho $m=-\frac{8}{3}$, không phải $\frac{8}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$b=0$, $|a|=4$ nên $a+b^2=4$ hoặc $-4$, không phải $8$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $BC$ đi qua $B(4;5)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(-7;-3)$, nên vectơ pháp tuyến là $(3;7)$. Phương trình $BC$: $3(x-4)+7(y-5)=0\iff 3x+7y-47=0$. Khoảng cách từ $A(2;-1)$: $d(A,BC)=\frac{|3\cdot 2+7\cdot (-1)-47|}{\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{|6-7-47|}{\sqrt{58}}=\frac{48}{\sqrt{58}}=\frac{24\sqrt{58}}{29}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:4x-y+11=0$ có hệ số góc $k_d=4$, nên $\Delta$ vuông góc với $d$ có hệ số góc $k_{\Delta }=-\frac{1}{4}$, do đó $\Delta$ có dạng $x+4y+c=0$.

$\Delta$ cách đều $P(-3;3)$ và $Q(5;-1)$. Vectơ $\overrightarrow{PQ}=(8;-4)$ có hệ số góc $-\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{4}$, nên $PQ$ không song song với $\Delta$; do đó $\Delta$ phải đi qua trung điểm $M$ của $PQ$: $M\left(\frac{-3+5}{2};\frac{3-1}{2}\right)=M(1;1)$.

Thay $M(1;1)$ vào $x+4y+c=0$: $1+4+c=0\Rightarrow c=-5$.

Vậy $\Delta :x+4y-5=0$ với $a=1,b=4,c=-5$, nên $T=a+b+c=1+4-5=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đã cho có VTCP $\vec{u}=(-1;5)$, nên $d$ song song với nó cũng có VTCP $(-1;5)$, do đó VTPT là $\vec{n}=(5;1)$. Phương trình $d$: $5x+y+c=0$. Vì $d$ qua $A(0;1)$: $5\cdot 0+1+c=0\Rightarrow c=-1$. Vậy $d:5x+y-1=0$ với $a=5,b=1,c=-1$. Tổng $a^2+b^2+c^2=25+1+1=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1-5t\\ y=-3+4t\end{array}$ nên VTCP $\vec{u}=(-5;4)$, suy ra một VTPT của $d$ là $\vec{n}=(4;5)$.

a) Đường thẳng đi qua $A(2;-1)$ và song song với $d$ có VTPT $\vec{n}=(4;5)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$

b) Đường thẳng đi qua $B(-3;3)$ và vuông góc với $d$ có VTCP chính là VTPT của $d$, tức ${\vec{u}}_1=(4;5)$, nên VTPT là ${\vec{n}}_1=(5;-4)$:
$$5(x+3)-4(y-3)=0\iff 5x-4y+27=0.$$
Kiểm tra: $5(-3)-4(3)+27=-15-12+27=0$ ✓.

c) $\overrightarrow{AB}=(-3-2;3+1)=(-5;4)$ trùng VTCP của $d$, nên VTPT của $AB$ là $\vec{n}=(4;5)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;-1)$:
$$4(x-2)+5(y+1)=0\iff 4x+5y-3=0.$$
Kiểm tra với $B(-3;3)$: $4(-3)+5(3)-3=-12+15-3=0$ ✓.

Vậy: a) $4x+5y-3=0$; b) $5x-4y+27=0$; c) $4x+5y-3=0$ (đường thẳng $AB$ song song với $d$ nên trùng với kết quả câu a).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-y-1=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-1)$ và $d_2:2x+3y+6=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;3)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|1\cdot 2+(-1)\cdot 3|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}=\frac{|2-3|}{\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=2+t$ suy ra $t=x-2$. Thay vào $y=-5+2t$ ta được $y=-5+2(x-2)=2x-9$, tức $2x-y-9=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=5+t\Rightarrow t=x-5$. Thay vào $y=-9-2t=-9-2(x-5)=-9-2x+10=1-2x$. Suy ra $2x+y-1=0$. Kiểm tra điểm $M(5;-9)$: $2\cdot 5+(-9)-1=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }=(-3;5)$. Vì $d\perp \Delta$ nên VTCP của $d$ là ${\vec{u}}_d=(5;3)$ (vì $(-3)(5)+5(3)=0$). Đường thẳng $d$ đi qua $M(-2;1)$ nên có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=-2+5t\\ y=1+3t\end{array}$. Đây chính là đáp án B. Kiểm tra: phương án A có VTCP $(-3;5)$ song song với $\Delta$ (sai); C, D không đi qua $M(-2;1)$ (tại $t=0$ cho điểm $(1;2)$, sai).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

a) d đi qua M(1;-4) và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;3)$ nên phương trình tham số của d là:
$$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-4+3t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

b) d đi qua gốc tọa độ O(0;0) và có vecto chỉ phương $\vec{a}=(1;-2)$ nên phương trình tham số của d là:
$$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

c) Đường thẳng 2x - 5y + 4 = 0 có vecto pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(2;-5)$, do đó vecto chỉ phương của nó là ${\vec{u}}_1=(5;2)$. Vì d vuông góc với đường thẳng này nên d nhận $\vec{u}={\vec{n}}_1=(2;-5)$ làm vecto chỉ phương. d đi qua I(0;3) nên phương trình tham số của d là:
$$\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=3-5t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

d) d đi qua A(1;5) và B(-2;9) nên có vecto chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(-3;4)$. Phương trình tham số của d (qua A):
$$\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=5+4t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

e) d đi qua M(5;-2) và có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(4;-3)$, nên vecto chỉ phương của d là $\vec{u}=(3;4)$ (vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=3\cdot 4+4\cdot (-3)=0$). Phương trình tham số của d:
$$\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2+4t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

Kiểm tra: mỗi đường thẳng đều đi qua điểm cho trước khi t = 0 và có vecto chỉ phương khác $\vec{0}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

a) d đi qua M(3;4) với vtpt $\vec{n}=(-2;1)$:
$$-2(x-3)+1(y-4)=0\iff -2x+y+2=0\iff 2x-y-2=0.$$

b) d đi qua N(2;-3) với vtcp $\vec{a}=(4;6)$. VTPT: $\vec{n}=(6;-4)$, rút gọn $(3;-2)$:
$$3(x-2)-2(y+3)=0\iff 3x-2y-12=0.$$

d) d đi qua A(2;1), B(-4;5). Vtcp $\overrightarrow{AB}=(-6;4)$, nên $\vec{n}=(4;6)$, rút gọn $(2;3)$:
$$2(x-2)+3(y-1)=0\iff 2x+3y-7=0.$$

e) d đi qua M(3;4) với vtpt $\vec{n}=(1;2)$:
$$1(x-3)+2(y-4)=0\iff x+2y-11=0.$$

f) d đi qua B(3;-2) với vtcp $\vec{a}=(4;3)$. VTPT: $\vec{n}=(3;-4)$:
$$3(x-3)-4(y+2)=0\iff 3x-4y-17=0.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3.

a) d đi qua M(2;1), vtcp $\vec{a}=(3;4)$.
- Phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=1+4t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).
- Phương trình tổng quát: từ $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{4}$ suy ra $4(x-2)=3(y-1)\iff 4x-3y-5=0$.

b) d đi qua N(-2;3), vtpt $\vec{n}=(5;1)$, nên vtcp $\vec{a}=(1;-5)$.
- Phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=3-5t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).
- Phương trình tổng quát: $5(x+2)+1(y-3)=0\iff 5x+y+7=0$.

c) d đi qua A(3;5), B(6;2), vtcp $\overrightarrow{AB}=(3;-3)$, có thể lấy $\vec{a}=(1;-1)$.
- Phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=5-t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$).
- Phương trình tổng quát: $1(x-3)+1(y-5)=0\iff x+y-8=0$.

Kiểm tra: B(6;2) thỏa $x+y-8=0$; N(-2;3) thỏa $5(-2)+3+7=0$. Kết quả đúng.