Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;-3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2;-1)$ có phương trình: $2(x-1)-(y+3)=0\iff 2x-y-5=0$. So với dạng $ax-by+c=0$ ta có $a=2$, $b=1$, $c=-5$. Khi đó $a^2-b+2c=4-1+2(-5)=4-1-10=-7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-7, mã đề 102, Phần III câu 3).

Lời giải

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $x-3y-6=0$ và $3x+4y-1=0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}x-3y-6=0\\ 3x+4y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-3y=6\\ 3x+4y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{27}{13}\\ y=-\frac{17}{13}\end{array}$$

Vậy tọa độ giao điểm là $\left(\frac{27}{13};-\frac{17}{13}\right)$.

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f3]

Khi đó để tận dụng tối đa chiều cao có thể khi kê tủ lạnh thì bố mẹ bạn Nam sẽ kê tủ sát vào trục $Oy$. Do đó để kê được một chiếc tủ lạnh 2 cánh với bề ngang 90 cm thì chiều cao của tủ phải nhỏ hơn tung độ của điểm E thuộc đường thẳng $BC$ với hoành độ điểm $E$ bằng 90.

Ta có $B(150;150),C(0;250)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(-150;100)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(100;150)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là:
$100(x-0)+150(y-250)=0\iff 2x+3y-750=0$.

Điểm $E$ thuộc $BC$ có hoành độ bằng 90 nên tung độ của $E$ tính theo công thức $2\cdot 90+3y_E-750=0\Rightarrow y_E=190$.

Do $183cm<190cm$ nên bố mẹ bạn Nam có thể kê chiếc tủ lạnh có bề ngang là $90cm$ và chiều cao $183cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x+y+15=0$ và $d_2:-4x-2y+3=0$ có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$, nhưng $\frac{c_1}{c_2}=\frac{15}{3}=5\ne -\frac{1}{2}$. Vậy $d_1\parallel d_2$ (không trùng nhau). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Δ: x−y+2=0 có VTCP u_Δ=(1;1); d: 2x−y+1=0 có VTCP u_d=(2;−1). Hai VTCP không cùng phương (1·(−1)−1·2=−3≠0) nên d không vuông góc với Δ. Cách khác: n_Δ=(1;−1), n_d=(2;−1), tích vô hướng 1·2+(−1)(−1)=3≠0 nên không vuông góc.
b) Đúng. Δ có VTCP u=(1;1) và đi qua A(0;2), nên phương trình tham số x=t, y=2+t; kiểm tra: t−(2+t)+2=0 thỏa mãn phương trình Δ.
c) Đúng. Từ phương trình tổng quát x−y+2=0, một vectơ pháp tuyến là n=(1;−1).
d) Sai. OA=√(0²+2²)=2 nên đường tròn tâm O bán kính OA là x²+y²=4, không phải x²+y²=2.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án mã đề 101 (SDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Δ có VTCP u=(1;1), d có VTCP (2;−1); hai VTCP không cùng phương nên d không vuông góc với Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Δ: y=x+2 đi qua A(0;2), VTCP u=(1;1) nên x=t, y=2+t là phương trình tham số của Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ phương trình tổng quát x−y+2=0, một vectơ pháp tuyến của Δ là n=(1;−1).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) OA=2 nên đường tròn là x²+y²=4, không phải x²+y²=2.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;-3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}(2;-1)$ có phương trình: $2(x-1)-1(y+3)=0\iff 2x-y-5=0$. So với dạng $ax-by+c=0$ ta có $a=2$, $-b=-1\Rightarrow b=1$, $c=-5$. Khi đó $a^2-b+2c=4-1+2(-5)=4-1-10=-7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-7$.

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f3]

Khi đó để tận dụng tối đa chiều cao có thể khi kê tủ lạnh thì bố mẹ bạn Nam sẽ kê tủ sát vào trục $Oy$. Do đó để kê được một chiếc tủ lạnh 2 cánh với bề ngang 90 cm thì chiều cao của tủ phải nhỏ hơn tung độ của điểm E thuộc đường thẳng $BC$ với hoành độ điểm $E$ bằng 90.

Ta có $B(150;150),C(0;250)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(-150;100)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(100;150)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là:
$100(x-0)+150(y-250)=0\iff 2x+3y-750=0$.

Điểm $E$ thuộc $BC$ có hoành độ bằng 90 nên tung độ của $E$ tính theo công thức $2\cdot 90+3y_E-750=0\Rightarrow y_E=190$.

Do $183cm<190cm$ nên bố mẹ bạn Nam có thể kê chiếc tủ lạnh có bề ngang là $90cm$ và chiều cao $183cm$.

Lời giải

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $x-3y-6=0$ và $3x+4y-1=0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}x-3y-6=0\\ 3x+4y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-3y=6\\ 3x+4y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{27}{13}\\ y=-\frac{17}{13}\end{array}$$

Vậy tọa độ giao điểm là $\left(\frac{27}{13};-\frac{17}{13}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x+y+15=0$ và $d_2:-4x-2y+3=0$ có các hệ số tương ứng tỉ lệ: $\frac{-4}{2}=\frac{-2}{1}=-2$, nhưng $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\ne -2$. Do đó $d_1$ và $d_2$ song song và không trùng nhau. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-4t\\ y=-2+3t\end{array}$ có dạng $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(a;b)$. Ở đây $a=-4$, $b=3$, nên một vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(-4;3)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Δ₂ có phương trình tham số x=1+2t, y=-1+t nên vectơ chỉ phương là u₂=(2;1). Đúng.
b) Thay x=1+2t, y=-1+t vào Δ₁: 2(1+2t)+(-1+t)+15=0 ⟺ 5t+16=0 ⟺ t=-16/5. Khi đó x=1+2(-16/5)=-27/5, y=-1-16/5=-21/5. Vậy giao điểm là (-27/5; -21/5). Đúng.
c) Điểm (0;-15) thuộc Δ₁ vì 2·0+(-15)+15=0, và vectơ chỉ phương (2;1) của phương trình tham số này thỏa y=-15+t' ⟹ 2x+y+15=2(2t')+(-15+t')+15=5t'=0 khi t'=0... kiểm tra: với điểm bất kỳ (2t'; -15+t') ta có 2(2t')+(-15+t')+15=5t', chỉ bằng 0 khi t'=0, nên cần kiểm tra lại: thực tế 2x+y+15 = 4t' + t' - 15 + 15 = 5t'. Hmm, điều này cho thấy phương trình tham số này KHÔNG biểu diễn đúng Δ₁ trừ khi hệ số khác. Xét lại: đường thẳng x=2t', y=-15+t' có vectơ chỉ phương (2;1) và đi qua (0;-15). Vectơ pháp tuyến của nó là (1;-2), còn Δ₁ có pháp tuyến (2;1). Hai đường này KHÔNG trùng nhau vì pháp tuyến khác tỉ lệ. Kiểm tra điểm (2;-14) (t'=1): 2·2+(-14)+15=5≠0, không thuộc Δ₁. Vậy c) SAI.
d) Δ₁ có vectơ chỉ phương u₁=(1;-2) (vì pháp tuyến (2;1)), Δ₂ có u₂=(2;1). Tích vô hướng u₁·u₂=2-2=0 nên hai đường vuông góc. Đúng.

Tóm lại: a đúng, b đúng, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ₂: x=1+2t, y=-1+t, vectơ chỉ phương là u₂=(2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=1+2t, y=-1+t vào 2x+y+15=0: 2+4t-1+t+15=0 ⟺ 5t+16=0 ⟺ t=-16/5. Suy ra x=1-32/5=-27/5, y=-1-16/5=-21/5. Giao điểm (-27/5; -21/5).
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình x=2t', y=-15+t' có vectơ chỉ phương (2;1), đi qua (0;-15). Nhưng với t'=1 ta được điểm (2;-14) và 2·2+(-14)+15=5≠0, không thuộc Δ₁. Thực tế vectơ chỉ phương của Δ₁ là (1;-2) (pháp tuyến (2;1)), không tỉ lệ với (2;1), nên phương trình tham số đã cho không mô tả Δ₁.
d) (AI giải đề cho tôi)
u₁=(1;-2) (VTCP của Δ₁), u₂=(2;1). u₁·u₂=1·2+(-2)·1=0 nên Δ₁ vuông góc Δ₂.

(AI giải đề cho tôi)
A và B cùng phía so với Δ (x−y+1=0): A(2;1) cho 2−1+1=2>0, B(9;6) cho 9−6+1=4>0. Lấy A' là điểm đối xứng của A qua Δ. Vecto pháp tuyến n=(1;−1), A−A' = 2·(A·n/|n|²)·n với A·n=1, nên A' = A − (1;−1) = (1;2)... kiểm tra lại: công thức đối xứng qua ax+by+c=0: A' = A − 2(ax₀+by₀+c)/(a²+b²)·(a;b) = (2;1) − 2·2/2·(1;−1) = (2;1) − (2;−2) = (0;3). Đường thẳng A'B qua (0;3) và (9;6) có hệ số góc (6−3)/9 = 1/3, phương trình y = x/3 + 3. Giao với Δ: y = x+1, ta có x/3 + 3 = x + 1 ⟹ 2 = 2x/3 ⟹ x = 3, y = 4. Vậy M(3;4), a+b = 7.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $x-y+2=0$ ta có pháp tuyến $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$. b) Đúng: ${\Delta }_1:y=x+2$ đi qua $(0;2)$ với VTCP $\vec{u}(1;1)$, nên PT tham số $x=t^{\prime },y=2+t^{\prime }$. c) Đúng: ${\Delta }_1$ có VTCP $(1;1)$, ${\Delta }_2$ có VTCP $(3;1)$, hai VTCP không cùng phương nên hai đường thẳng cắt nhau. d) Sai: $\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+1\cdot 1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.894$, suy ra góc $\phi \approx 26.57^{\circ }\ne 60^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của ${\Delta }_1:x-y+2=0$ là $\vec{n}(1;-1)$, không phải $(1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_1:y=x+2$ đi qua điểm $(0;2)$, VTCP $\vec{u}(1;1)$, nên $x=t^{\prime },y=2+t^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $(1;1)$, của ${\Delta }_2$ là $(3;1)$; chúng không cùng phương nên hai đường thẳng cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|3+1|}{\sqrt{2}\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.894\Rightarrow \phi \approx 26.57^{\circ }\ne 60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 2: $A(-5;4)$, $B(4;3)$, $C(3;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và $C$ có hệ số góc $k=\frac{-2-4}{3-(-5)}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$, nên phương trình: $y-4=-\frac{3}{4}(x+5)\iff 3x+4y-1=0$. Đoạn đường ngắn nhất để tàu số 2 từ $B$ gặp tàu số 1 (đi trên $\Delta$) chính là khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$: $d(B,\Delta )=\frac{|3\cdot 4+4\cdot 3-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{23}{5}=4,6$ km. Kết quả khớp với đáp án 4.6.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án chính thức: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường đi của tàu $A$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_A}=(-33;25)$, đường đi của tàu $B$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_B}=(-30;-40)$.

$$\cos (\overrightarrow{u_A},\overrightarrow{u_B})=\frac{(-33)(-30)+25(-40)}{\sqrt{33^2+25^2}\cdot \sqrt{30^2+40^2}}=\frac{990-1000}{\sqrt{1714}\cdot 50}=\frac{-10}{50\sqrt{1714}}\approx -0,004831.$$

Góc giữa hai vectơ $\approx 90,28^{\circ }$, nên góc giữa hai đường thẳng (góc nhọn) là $180^{\circ }-90,28^{\circ }\approx 89,72^{\circ }\approx 89,7^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn 89,7.

- Pt đường thẳng d có dạng $3x-2y+m=0$, $(m\ne 1)$. - Vì $A(1;-2)\in d\Rightarrow m=-7$. - Vậy phương trình đường thẳng d là $3x-2y-7=0$.