Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: O=D₁(0;0;0), C₁(1;0;0), A₁(0;1;0), D(0;0;x). Hộp là hình hộp chữ nhật đáy A₁B₁C₁D₁ trong mặt phẳng z=0 với B₁(1;1;0), mặt trên ABCD trong mặt phẳng z=x với B(1;1;x), C(1;0;x).

a) Mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) là z=0, vectơ pháp tuyến là (0;0;1). Vectơ (1;0;−1) không vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng (ví dụ C₁A₁=(−1;1;0) có tích vô hướng 1·(−1)+0+0=−1≠0). → Sai.

b) Với x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ = |3|/√(1+1+9)=3/√11≈0,9045 nên θ≈64,8°≠60°. → Sai.

c) Mặt (CB₁D₁): CB₁=(0;1;−x), CD₁=(−1;0;−x), pháp tuyến n=(−x;x;1). Góc với (A₁B₁C₁D₁) (pháp tuyến (0;0;1)): cosφ = 1/√(2x²+1). Với x=√2/2: 2x²=1 nên cosφ=1/√2, φ=45°. → Đúng.

d) sinθ = x/√(x²+2) là hàm đồng biến theo x>0, nên góc không đạt giá trị lớn nhất tại x=4 (góc tiệm cận 90° khi x→∞). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(A₁B₁C₁D₁) là mặt phẳng z=0 với pháp tuyến (0;0;1); (1;0;−1) không vuông góc với vectơ C₁A₁=(−1;1;0) nên không phải pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ=3/√11≈0,9045, θ≈64,8°≠60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (CB₁D₁) là (−x;x;1); cosφ=1/√(2x²+1)=1/√2 khi x=√2/2 nên φ=45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinθ=x/√(x²+2) đồng biến, góc không đạt max tại x=4; chỉ tiệm cận 90° khi x→∞.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay $AB$ có $\overrightarrow{AB}=(0;7,5;-0,4)$, phương trình tham số: $(3,5;-2+7,5t;0,4-0,4t)$, $t\in [0;1]$.

a) $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{7,5^2+0,4^2}=\sqrt{56,41}\approx 7,5107$. $\sin \theta =\frac{0,4}{7,5107}\approx 0,05326\Rightarrow \theta \approx 3,05^{\circ }$, nằm trong $[2,5^{\circ };3,5^{\circ }]$. → Đúng.

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M(5;0;0)$, $N(0;-5;0)$, $P(0;0;0,5)$: $\frac{x}{5}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{0,5}=1\iff x-y+10z=5$. Thay phương trình đường bay: $3,5-(-2+7,5t)+10(0,4-0,4t)=9,5-11,5t=5\Rightarrow t=\frac{9}{23}$. Khi đó $C=\left(3,5;-2+7,5\cdot \frac{9}{23};0,4-0,4\cdot \frac{9}{23}\right)\approx (3,5;0,93;0,24)$, khác $C(3,5;-6,5;-0,5)$ (điểm này còn có $z<0$, dưới mặt đất). → Sai.

c) Độ cao $120m=0,12$ km: $0,4-0,4t=0,12\Rightarrow t=0,7\Rightarrow y=-2+7,5\cdot 0,7=3,25$. Vậy $D(3,5;3,25;0,12)$. → Đúng.

d) Tại độ cao $120$m (điểm $D$, $t=0,7$), khoảng cách tới $E(3,5;4,5;0)$: $DE=\sqrt{(3,25-4,5{)}^2+(0,12{)}^2}=\sqrt{1,5625+0,0144}\approx 1,256$ km $=1256$ m $>900$ m. Xét điều kiện $DE\le 0,9$: $(7,5t-6,5{)}^2+(0,4-0,4t{)}^2\le 0,81\Rightarrow 56,41t^2-97,82t+41,6\le 0\Rightarrow t\in [0,748;0,988]$, khi đó độ cao $z=0,4(1-t)\le 0,4(1-0,748)\approx 0,101$ km $\approx 101$ m $<120$ m. Vậy trong tầm nhìn $900$m thì độ cao chưa đạt $120$m, còn ở độ cao $\ge 120$m thì $E$ cách xa hơn $900$m — phi công chưa đạt quy định an toàn bay. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin \theta =\frac{0,4}{\sqrt{56,41}}\approx 0,0533\Rightarrow \theta \approx 3,05^{\circ }\in [2,5^{\circ };3,5^{\circ }]$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(\alpha ):x-y+10z=5$; giao với $AB$ tại $t=\frac{9}{23}$ cho $C\approx (3,5;0,93;0,24)$, không phải $(3,5;-6,5;-0,5)$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$z=0,12\Rightarrow t=0,7\Rightarrow y=3,25$, được $D(3,5;3,25;0,12)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tại độ cao $120$m, $DE\approx 1256$ m $>900$ m; còn khi $DE\le 900$ m thì độ cao chỉ khoảng $\le 101$ m $<120$ m, nên phi công chưa đạt quy định an toàn bay. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường nhìn từ mắt $A(1;2;3)$ đến bông hoa $M(-2;1;1)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AM}=(-3;-1;-2)$. Phương trình tham số: $x=1-3t,y=2-t,z=3-2t$. Giao với mặt phẳng $(Oyz)$ (tức $x=0$): $1-3t=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$, suy ra giao điểm $P\left(0;\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)$. Kiểm tra $P$ có nằm trong khung cửa tròn tâm $O$ bán kính 2 không: $O{P}^2={\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(\frac{7}{3}\right)}^2=\frac{25+49}{9}=\frac{74}{9}\approx 8,22>4=2^2$. Vậy $P$ nằm ngoài khung tròn, tức đường nhìn bị chặn bởi tường (chỉ phần trong hình tròn là cửa sổ). Kết luận: người đó KHÔNG nhìn thấy bông hoa $M$ qua khung cửa sổ.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Thay M(1;-3;4) vào d: x=t=1 ⇒ y=-t=-1≠-3, nên M không thuộc d. b) Sai. Δ vuông góc (P) nên có VTCP u=(1;2;-2) và qua M(1;-3;4): x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác phương trình đã cho. c) Sai. u_d=(1;-1;2), n_P=(1;2;-2), u_d·n_P=1-2-4=-5≠0 nên d không song song (P) (cũng không vuông góc). d) Sai. sinα=|u_d·n_P|/(|u_d||n_P|)=5/(√6·3)=5/(3√6)≈0,6804 ⇒ α≈42°51'≠7°49'.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với t=1 trên d ta có điểm (1;-1;3)≠M, nên M không thuộc d: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ phải có VTCP trùng pháp tuyến (1;2;-2) của (P) và đi qua M(1;-3;4): x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t. Phương trình trong đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
u_d·n_P=1·1+(-1)·2+2·(-2)=-5≠0 nên d không song song với (P).
d) (AI giải đề cho tôi)
sinα=5/(3√6)≈0,6804 ⇒ α≈42°51', không bằng 7°49'.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4, mã đề 1122 (đáp án chính thức ĐSĐS).
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=(2;-1;1) → Đúng.
b) Thay A(1;-1;-2) vào d: (x-1)/2=0, (y+1)/(-1)=0, nhưng (z-2)/1=(-2-2)/1=-4≠0 → A không thuộc d → Sai.
c) sinθ = |u·n|/(|u||n|) với n=(-1;2;1): |(-2)+(-2)+1|/(√6·√6)=3/6=1/2 → θ=30° → Đúng.
d) Điểm N trên d: N(1+2t; -1-t; 2+t). Vectơ MN=(4+2t; -2-t; t). Δ song song (P) nên MN·n=0: -(4+2t)+2(-2-t)+t = -8-3t=0 → t=-8/3. Khi đó N=(-13/3; 5/3; -2/3), a+b+c = -10/3 ≠ 3 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của d đọc trực tiếp từ phương trình tham số là u=(2;-1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1;-2): (x-1)/2=0, (y+1)/(-1)=0 nhưng (z-2)/1=-4, không thỏa mãn nên A không thuộc d.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = |u·n|/(|u||n|) = |(-1)(2)+2(-1)+1(1)|/(√6·√6) = 3/6 = 1/2, suy ra θ=30°.
d) (AI giải đề cho tôi)
N(1+2t;-1-t;2+t), MN=(4+2t;-2-t;t). Điều kiện MN·n=0: -8-3t=0 → t=-8/3, N=(-13/3;5/3;-2/3), a+b+c=-10/3≠3.

(AI giải đề cho tôi)
a) u=(2;-1;1), n=(-1;2;1). sin góc = |u·n|/(|u||n|) = |-2-2+1|/(√6·√6) = 3/6 = 1/2 nên góc = 30°. Đúng. b) Thay A(1;-1;-2) vào d: x-1/2=0, y+1/-1=0 nhưng (z-2)/1 = -4 ≠ 0, nên A không thuộc d. Sai. c) N trên d: N(1+2t; -1-t; 2+t). Vì Δ song song (P) nên MN·n = 0 với n=(-1;2;1): -(4+2t)+2(-2-t)+t = -8-3t = 0 → t = -8/3. Khi đó N = (-13/3; 5/3; -2/3), a+b+c = -10/3 ≠ 3. Sai. d) Vec tơ chỉ phương của d là u=(2;-1;1). Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = |u·n|/(|u||n|) = |-2-2+1|/(√6·√6) = 1/2 nên θ = 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A vào phương trình d: (z-2)/1 = -4 ≠ 0 nên A không thuộc d.
c) (AI giải đề cho tôi)
N(1+2t;-1-t;2+t), điều kiện MN·n=0 cho t=-8/3, N=(-13/3;5/3;-2/3), a+b+c = -10/3 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d, vec tơ chỉ phương là u=(2;-1;1).

(AI giải đề cho tôi)
Nóc nhà là giao tuyến của hai mái: $(P):x-y=0$ và $(Q):x+y-2z=0$. Từ $x=y$ và $x+y=2z$ suy ra $z=x$, nên giao tuyến là đường thẳng $d:(t,t,t)$ với vectơ chỉ phương $(1,1,1)$. Thay điểm $(t,t,t)$ vào mặt phẳng sàn $(\alpha ):2x+y-3z+18=0$ ta được $2t+t-3t+18=18$, không phụ thuộc $t$, tức $d$ song song với $(\alpha )$. Chiều cao từ sàn đến nóc là khoảng cách từ $d$ đến $(\alpha )$: $h=\frac{|18|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3{)}^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $4,8$ m, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 405, Câu 4 = 4,8).

Ptts của $(d):\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=3-2t\end{array}$. Gọi $I(2+2t;-t;3-2t)$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Ta có phương trình: $2(2+2t)-3+2t+5=0\iff t=-1\Rightarrow I(0;1;5)$. VTPT của mp ${\vec{n}}_{(P)}=(2;0;-1)$ và VTCP của đường thẳng ${\vec{u}}_d=(2;-1;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ cần tìm có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ vuông góc với ${\vec{n}}_{(P)}$ và ${\vec{u}}_d$ nên chọn: ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_{(P)},{\vec{u}}_d]=(-1;2;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ qua $I$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ có phương trình tham số: $$\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+2t\\ z=5-2t\end{array},(t\in \mathbb{R}).$$ LƯU Ý: Nếu học sinh làm cách khác và đúng yêu cầu thì cho điểm tối đa ý, câu đó.

a) Đúng. b) Sai. c) Ta có ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$. Suy ra c) ĐÚNG. d) Ta có $(d)$ qua $M(-1;2;-1)$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;-1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Ta có $(Q)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(Q)}=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{(P)}]=(2;-2;-3)$ và $(Q)$ qua $M(-1;2;-1)$ (do $(Q)$ chứa $(d)$). Phương trình $(Q)$: $2(x+1)-2(y-2)-3(z+1)=0\iff 2x-2y-3z+3=0$. Ta có $d(I,(Q))=\frac{|2+9+3|}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. Suy ra d) Sai.
a) a) Đúng.
b) b) Sai.
c) c) Ta có ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$. Suy ra c) ĐÚNG.
d) d) Ta có $(d)$ qua $M(-1;2;-1)$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;-1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Ta có $(Q)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(Q)}=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{(P)}]=(2;-2;-3)$ và $(Q)$ qua $M(-1;2;-1)$ (do $(Q)$ chứa $(d)$). Phương trình $(Q)$: $2(x+1)-2(y-2)-3(z+1)=0\iff 2x-2y-3z+3=0$. Ta có $d(I,(Q))=\frac{|2+9+3|}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. Suy ra d) Sai.

Ptts của $(d):\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=3-2t\end{array}$. Gọi $I(2+2t;-t;3-2t)$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Ta có phương trình: $2(2+2t)-3+2t+5=0\iff t=-1\Rightarrow I(0;1;5)$. VTPT của mp ${\vec{n}}_{(P)}=(2;0;-1)$ và VTCP của đường thẳng ${\vec{u}}_d=(2;-1;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ cần tìm có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ vuông góc với ${\vec{n}}_{(P)}$ và ${\vec{u}}_d$ nên chọn: ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_{(P)},{\vec{u}}_d]=(-1;2;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ qua $I$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ có phương trình tham số: $$\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+2t\\ z=5-2t\end{array},(t\in \mathbb{R}).$$ LƯU Ý: Nếu học sinh làm cách khác và đúng yêu cầu thì cho điểm tối đa ý, câu đó.

(AI giải đề cho tôi)
Sườn núi là mặt phẳng (OAB) qua O(0;0;0), A(3;-4;2), B(-5;-2;1). Vecto pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(0;-13;-26)\parallel (0;1;2)$, nên $(OAB):y+2z=0$. Điểm buộc dây $C(0;0;5)$.

Dây CA: $\overrightarrow{CA}=(3;-4;-3)$, $|CA|=\sqrt{34}$. $\sin \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{CA}|}{|\vec{n}||CA|}=\frac{|-4-6|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{34}}=\frac{10}{\sqrt{170}}\approx 0,7669\Rightarrow \alpha \approx 50,07^{\circ }$.

Dây CB: $\overrightarrow{CB}=(-5;-2;-4)$, $|CB|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. $\sin \beta =\frac{|-2-8|}{\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow \beta \approx 41,81^{\circ }$.

Tổng $\alpha +\beta \approx 91,88^{\circ }\approx 92^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng sườn núi đi qua O, A, B. VTCP pháp tuyến: n = OA×OB = (3;-4;2)×(-5;-2;1) = (0;-13;-26) ∝ (0;1;2), |n|=√5. Hai dây neo từ C(0;0;5): CA = (3;-4;-3), |CA|=√34; CB = (-5;-2;-4), |CB|=√45. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sinθ = |n·v|/(|n||v|). Dây CA: sinθ₁ = 10/(√5·√34) = 10/√170 ≈ 0,7670 → θ₁ ≈ 50,07°. Dây CB: sinθ₂ = 10/(√5·√45) = 10/15 = 2/3 → θ₂ ≈ 41,81°. Tổng ≈ 91,88° ≈ 92°.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay AB là $\overrightarrow{AB}=(7;6;-3)$. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(Oxy)$ có $\sin \alpha =\frac{|-3|}{\sqrt{7^2+6^2+(-3{)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{94}}\approx 0,3094$. Suy ra $\alpha \approx 18,02^{\circ }\approx 18^{\circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 18.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay AB là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(8-1;8-2;0-3)=(7;6;-3)$, với $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{7^2+6^2+3^2}=\sqrt{94}$. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng sân bay $(Oxy)$ là $\vec{n}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{94}}\approx 0,3094$. Suy ra $\alpha =\arcsin (0,3094)\approx 18,02^{\circ }\approx 18^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (18).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu của Câu 4 (Phần II):

a) $\overrightarrow{MA}=A-M=(0-1;1-(-1);3-6)=(-1;2;-3)\ne (1;-2;3)$ → sai.

b) $\overrightarrow{AB}=(2-0;-2-1;3-3)=(2;-3;0)$ có thành phần $z=0$ nên $AB$ song song với mặt phẳng $(Oxy)$, góc tạo với mặt sàn bằng $0^{\circ }$ → đúng.

c) Tia sáng qua $M(1;-1;6)$ và $B(2;-2;3)$ có vtcp $\overrightarrow{MB}=(1;-1;-3)$. Phương trình đề cho có vtcp $(-1;2;-3)$ không cùng phương với $\overrightarrow{MB}$ (tỉ số $1/(-1)\ne -1/2$), và tại $t=0$ điểm $(1;-1;6)=M$ nhưng với $t$ bất kỳ không đạt được $B$ (hệ $1-t=2,-1+2t=-2$ cho $t=-1$ và $t=-1/2$, mâu thuẫn) → sai. Phương trình đúng: $x=1+t,y=-1-t,z=6-3t$.

d) Tia $MA$: $(1-t;-1+2t;6-3t)$, $z=0$ khi $t=2$ → $A^{\prime }(-1;3;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$. Tia $MB$: $(1+t;-1-t;6-3t)$, $z=0$ khi $t=2$ → $B^{\prime }(3;-3;0)$, $O{B}^{\prime }=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ có vtcp $(4;-6;0)$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng là $\frac{|(-1)(-6)-3\cdot 4|}{\sqrt{52}}=\frac{6}{\sqrt{52}}\approx 0,83$, chân đường vuông góc nằm trong đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (tham số $t=22/52\in [0;1]$). Do đó điểm trên bóng râm xa $O$ nhất là $B^{\prime }$ với $O{B}^{\prime }=3\sqrt{2}$, bán kính tối thiểu của thảm là $3\sqrt{2}$ m → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}=(-1;2;-3)\ne (1;-2;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;-3;0)$ song song $(Oxy)$ nên góc bằng $0^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vtcp đúng là $\overrightarrow{MB}=(1;-1;-3)$, không cùng phương với $(-1;2;-3)$ và đường thẳng đề cho không đi qua $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }(-1;3;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$; $B^{\prime }(3;-3;0)$, $O{B}^{\prime }=3\sqrt{2}$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }\approx 0,83$ nên điểm xa nhất là $B^{\prime }$, bán kính tối thiểu $3\sqrt{2}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(8-1;8-2;0-3)=(7;6;-3)$, độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{49+36+9}=\sqrt{94}$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$ có $\sin \alpha =\frac{|-3|}{\sqrt{94}}=\frac{3}{\sqrt{94}}$, nên $\alpha =\arcsin \frac{3}{\sqrt{94}}\approx 18,06^{\circ }\approx 18^{\circ }$. Vậy $\alpha =18$, khớp với đáp án nguồn (đề 101/103, Câu 4 = 18).

(AI giải đề cho tôi)
a) Với t=0, d đi qua điểm (1;2;-2), nên khẳng định Đúng. b) (Q) song song (P) nên có VTPT (1;2;-2); qua O(0;0;0) nên (Q): x+2y-2z=0, Đúng. c) Bán kính mặt cầu tâm O tiếp xúc (P) là R = d(O,(P)) = 4/√(1+4+4) = 4/3, nên R² = 16/9 ≠ 3; mặt cầu đúng là x²+y²+z²=16/9, khẳng định Sai. d) u_d=(2;-1;-2), n_P=(1;2;-2); sinθ = |2-2+4|/(3·3) = 4/9, θ ≈ 26° (làm tròn hàng đơn vị) ≠ 30°, khẳng định Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay t=0 vào phương trình d được điểm (1;2;-2) = A, nên d qua A.
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có VTPT (1;2;-2), qua O(0;0;0) nên (Q): x+2y-2z=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = d(O,(P)) = |4|/√9 = 4/3, nên R² = 16/9 ≠ 3. Mặt cầu đúng: x²+y²+z²=16/9.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = |u·n|/(|u||n|) = |2-2+4|/(3·3) = 4/9, nên θ ≈ 26° ≠ 30°.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\Delta$ đi qua A, B nên vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{AB}=(a-4;b+1;1-3)=(a-4;b+1;-2)$.

$\Delta$ vuông góc với $d$ có chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(3;2;1)$:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u_d}=0\Rightarrow 3(a-4)+2(b+1)+1\cdot (-2)=0\Rightarrow 3a+2b=12.$$

$\Delta$ song song với $(P)$ có pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;3)$:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=0\Rightarrow 2(a-4)-(b+1)+3(-2)=0\Rightarrow 2a-b=15.$$

Giải hệ $\{\begin{array}{l}3a+2b=12\\ 2a-b=15\end{array}$: từ phương trình thứ hai $b=2a-15$, thay vào: $3a+4a-30=12\Rightarrow 7a=42\Rightarrow a=6$, suy ra $b=2\cdot 6-15=-3$.

Vậy $a-b=6-(-3)=9$, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 3: 9).

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A(-3;1;2)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $$\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=1+t\\ z=2+3t\end{array}$$ (0,25)

Ta có $P$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $mp(\alpha )$ nên tọa độ $P(-3+2t;1+t;2+3t)$ (0,25)

Thay tọa độ điểm $P$ vào phương trình $mp(\alpha )$ giải tìm được $t=2$. Suy ra tọa độ điểm $P(1;3;8)$ (0,25)

Tính được $AP\approx 7,5$ (m (0,25) — (giữ nguyên theo nguồn: thiếu dấu đóng ngoặc trong '(m')

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{AB}=(a-1;5;c-3)$. Vì $\Delta \perp d$ với $\overrightarrow{u_d}=(3;2;1)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u_d}=0$: $3(a-1)+2\cdot 5+(c-3)=0\iff 3a+c+4=0$. Vì $\Delta \parallel (P)$ với $\overrightarrow{n_P}=(1;-3;2)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_P}=0$: $(a-1)-3\cdot 5+2(c-3)=0\iff a+2c-22=0$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}3a+c=-4\\ a+2c=22\end{array}$ ta được $a=-6,c=14$. Vậy $a+c=8$, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 3 = 8).