Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan a$ ($t\ne 0$), khi đó $\cot a=\frac{1}{t}$. Giả thiết: $t-\frac{1}{t}=3$.

a) $A={\tan }^{2}a+{\cot }^{2}a={\left(\tan a-\cot a\right)}^2+2\tan a\cot a=3^2+2=11$.

b) $B=\tan a+\cot a$. Ta có $B^2={\tan }^{2}a+{\cot }^{2}a+2\tan a\cot a=11+2=13$, suy ra $B=\pm \sqrt{13}$. (Cả hai giá trị đều có thể xảy ra vì dấu của $\tan a+\cot a=\frac{1}{\sin a\cos a}$ không được xác định bởi giả thiết.)

c) $C={\tan }^{4}a-{\cot }^{4}a=\left({\tan }^{2}a-{\cot }^{2}a\right)\left({\tan }^{2}a+{\cot }^{2}a\right)=\left(\tan a-\cot a\right)\left(\tan a+\cot a\right)\cdot 11=3\cdot B\cdot 11=33B=\pm 33\sqrt{13}$.

Vậy: a) $A=11$; b) $B=\pm \sqrt{13}$; c) $C=\pm 33\sqrt{13}$ (cùng dấu với $B$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 119:

a) Với $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (góc phần ba), ta có $\sin \alpha <0$:
$$\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

Áp dụng công thức nhân đôi:
$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{25}{169}-1=\frac{50-169}{169}=-\frac{119}{169}.$$
$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{120}{169}.$$
$$\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{120/169}{-119/169}=-\frac{120}{119}.$$

b) Với $\tan \alpha =2$, dùng công thức theo $\tan \alpha$:
$$\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}.$$
$$\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{5}.$$
$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{1-4}=-\frac{4}{3}.$$

Kiểm tra: ${\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha =\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ (đúng ở cả hai câu).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{89\pi }{6}=14\pi +\frac{5\pi }{6}$, do đó $\cot \frac{89\pi }{6}=\cot \frac{5\pi }{6}=\cot \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\cot \frac{\pi }{6}=-\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các đẳng thức: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ (đúng); $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$ (đúng); $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$ (đúng); còn $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\cot x$ (vì $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x$). Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha \ne 0$: $A=\frac{3\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}=\frac{3\cdot 2+1}{2-1}=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $A+B+C=\pi$. Khi đó $\frac{A+C}{2}=\frac{\pi -B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}$, nên $\sin \frac{A+C}{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{B}{2}$ (A đúng) và $\cos \frac{A+C}{2}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}\right)=\sin \frac{B}{2}$ (B đúng). Với $A+B=\pi -C$: $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$ (C đúng); còn $\cos (A+B)=\cos (\pi -C)=-\cos C\ne \cos C$, nên mệnh đề D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$ (cos là hàm chẵn). Và $\sin (\alpha -\pi )=-\sin (\pi -\alpha )=-\sin \alpha$. Vậy $A=\sin \alpha -\sin \alpha =0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$ và $\tan \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}$. Vậy $\sin \alpha =\frac{5}{13}$ và $\tan \alpha =-\frac{5}{12}$, tương ứng với phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$ và $\cos \alpha >0$. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+\frac{16}{25}}=\frac{25}{41}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}}$ (dương). Suy ra $\sin \alpha =\tan \alpha \cdot \cos \alpha =-\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{41}}=-\frac{4}{\sqrt{41}}$. Vậy $\sin \alpha =-\frac{4}{\sqrt{41}},\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức hiệu hai góc: $\sin x\cos y-\cos x\sin y=\sin (x-y)$ với $x=a-17^{\circ }$, $y=a+13^{\circ }$.
Biểu thức $\sin (a-17^{\circ })\cos (a+13^{\circ })-\sin (a+13^{\circ })\cos (a-17^{\circ })=\sin ((a-17^{\circ })-(a+13^{\circ }))=\sin (-30^{\circ })=-\frac{1}{2}$.
Vậy đáp án là C.

Lời giải. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\tan a=\frac{1}{7}$, $\tan b=\frac{3}{4}$, áp dụng công thức:
$$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1.$$
Vì $a,b$ nhọn nên $0<a+b<\pi$; hơn nữa $\tan a<1$ và $\tan b<1$ nên $a<\frac{\pi }{4}$, $b<\frac{\pi }{4}$, suy ra $a+b<\frac{\pi }{2}$. Do đó $\tan (a+b)=1$ với $a+b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cho $a+b=\frac{\pi }{4}$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=\pi$ nên $A+B=\pi -C$.
- A: $\sin \frac{A+B+3C}{2}=\sin \frac{\pi +2C}{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}+C\right)=\cos C$ — đúng.
- B: $\cos (A+B-C)=\cos (\pi -2C)=-\cos 2C$ — đúng.
- C: $\tan \frac{A+B-2C}{2}=\tan \frac{\pi -3C}{2}=\cot \frac{3C}{2}$ — đúng.
- D: $\cot \frac{A+B+2C}{2}=\cot \frac{\pi +C}{2}=\cot \left(\frac{\pi }{2}+\frac{C}{2}\right)=-\tan \frac{C}{2}\ne \tan \frac{C}{2}$ — sai.
Vậy hệ thức SAI là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=\pi$ nên $A+B=\pi -C$, $A+C=\pi -B$. Kiểm tra từng hệ thức: A) $\cos \frac{A+B}{2}=\cos \frac{\pi -C}{2}=\sin \frac{C}{2}$ — đúng. B) $A+B+2C=\pi +C$ nên $\cos (A+B+2C)=\cos (\pi +C)=-\cos C$ — đúng. C) $\sin (A+C)=\sin (\pi -B)=\sin B$, do đó $\sin (A+C)=-\sin B$ là SAI. D) $\cos (A+B)=\cos (\pi -C)=-\cos C$ — đúng. Vậy hệ thức SAI là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin a=\frac{3}{5}>0$ và $\cos a<0$ nên $\cos a=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vì $\cos b=\frac{3}{4}>0$ và $\sin b>0$ nên $\sin b=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Áp dụng công thức: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{4}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{9}{20}+\frac{\sqrt{7}}{5}=\frac{1}{5}\left(\sqrt{7}+\frac{9}{4}\right)$. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin \alpha =\frac{3}{5},\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ thì $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}$.

a) $A=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin (\pi +\alpha )=\cos \alpha -\sin \alpha$ → đúng. Giá trị: $A=-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$.

b) $B=\cos (\pi -\alpha )+\cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha +\tan \alpha$, không phải $\cos \alpha +\tan \alpha$ → sai. Giá trị: $B=\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{1}{20}$.

c) $A+B=-\frac{7}{5}+\frac{1}{20}=-\frac{27}{20}\ne \frac{27}{20}$ → sai.

d) $A-B=-\frac{7}{5}-\frac{1}{20}=-\frac{29}{20}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$ và $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ nên $A=\cos \alpha -\sin \alpha$ (đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ và $\cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha$ nên $B=-\cos \alpha +\tan \alpha \ne \cos \alpha +\tan \alpha$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A=-\frac{7}{5},B=\frac{1}{20}$ nên $A+B=-\frac{27}{20}$, không phải $\frac{27}{20}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A-B=-\frac{7}{5}-\frac{1}{20}=-\frac{29}{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\cos x<0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$. Ta có $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-3/5}{-4/5}=\frac{3}{4}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{4}{3}$. Vậy: a) Sai vì $\cos x<0$; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x$ thuộc góc phần tư thứ III ($\pi <x<\frac{3\pi }{2}$) nên $\cos x<0$, do đó khẳng định $\cos x>0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$ (lấy dấu âm vì $\cos x<0$ ở góc phần tư thứ III).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-3/5}{-4/5}=\frac{3}{4}>0$ đúng ở góc phần tư thứ III.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{4}{3}>0$ đúng ở góc phần tư thứ III.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ thì $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$, $\tan \alpha >0$, $\cot \alpha >0$.
a) $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$, nên mệnh đề $\sin \alpha \cdot \cos \alpha <0$ sai.
b) $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha >0$ và $\sin \alpha >0$ nên tích $>0$, mệnh đề sai.
c) $\tan (\alpha -3\pi )=\tan \alpha$ và $\cot (\alpha +3\pi )=\cot \alpha$ (chu kỳ $\pi$), nên $\tan (\alpha -3\pi )\cdot \cot (\alpha +3\pi )=\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$, mệnh đề đúng.
d) $3\alpha \in (0;\frac{3\pi }{2})$, ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{6}$ thì $\cos 3\alpha =\cos \frac{\pi }{2}=0$, còn $\alpha =\frac{\pi }{12}$ thì $\cos \frac{\pi }{4}>0$; do đó không thể khẳng định $\cos 3\alpha <0$, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha >0$, do đó $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$, không phải $<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha >0$ và $\sin \alpha >0$ nên $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)\cdot \sin \alpha >0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan (\alpha -3\pi )=\tan \alpha$, $\cot (\alpha +3\pi )=\cot \alpha$, nên tích bằng $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\alpha \in \left(0;\frac{3\pi }{2}\right)$ nên $\cos 3\alpha$ có thể dương, bằng 0 hoặc âm (ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{12}$ cho $\cos \frac{\pi }{4}>0$), không luôn $<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\in \left[0;\frac{1}{4}\right]$. Do đó $f(x)=3-\frac{1}{5}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ đạt GTNN $=3-\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}=3-\frac{1}{20}=\frac{59}{20}$ và GTLN $=3$. Tổng $=3+\frac{59}{20}=\frac{119}{20}=5,95$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<\frac{\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ I, do đó $\sin x>0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$. Ta có $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{15}$ và $\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\sqrt{15}}$. a) Sai vì $\sin x>0$; b) Sai vì $\sin x=\frac{\sqrt{15}}{4}>0$; c) Đúng; d) Sai vì $\cot x=\frac{1}{\sqrt{15}}>0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<x<\frac{\pi }{2}$ nên $x$ ở góc phần tư thứ I, do đó $\sin x>0$. Khẳng định $\sin x<0$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}>0$, không phải $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\sqrt{15}}>0$, không phải $-\frac{1}{\sqrt{15}}$.