Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tích thành hiệu: $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^{2}a-{\sin }^2\frac{\pi }{4}={\sin }^{2}a-\frac{1}{2}$. Mặt khác ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}=\frac{1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$. Suy ra $K=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$. Vậy $K=-\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) Ta có $\sin (3\pi -\alpha )=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ (do $\sin (k\pi +\beta )=\pm \sin \beta$ với $k$ nguyên, cụ thể $\sin (3\pi -\alpha )=\sin \alpha$). Tương tự $\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$. Do đó:
$$A={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$$

b) Áp dụng công thức cung liên kết:
- $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$
- $\sin (\pi -x)=\sin x$
- $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$
- $\cos (\pi -x)=-\cos x$

Suy ra:
$$B=\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot (-\cos x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$, suy ra $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=-\frac{8}{15}$.

$\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{\pi }{6}+\cos a\sin \frac{\pi }{6}=\frac{8}{17}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{8\sqrt{3}-15}{34}$.

Vì $\frac{\pi }{2}<b<\pi$ nên $\cos b<0$: $\cos b=-\frac{12}{13}$, $\sin b=\frac{5}{13}$ (kiểm tra $\tan b=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}$... thực tế đề cho $\tan b=\frac{5}{12}>0$ mâu thuẫn với $b$ ở góc phần tư thứ II; nếu theo đúng dữ kiện $\tan b=\frac{5}{12}$ thì $b$ phải ở góc phần tư thứ III, khi đó $\sin b=-\frac{5}{13}$, $\cos b=-\frac{12}{13}$). Tính theo dữ kiện $\tan b=\frac{5}{12}$:
$$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{-\frac{8}{15}+\frac{5}{12}}{1-\left(-\frac{8}{15}\right)\cdot \frac{5}{12}}=\frac{-\frac{7}{60}}{1+\frac{2}{9}}=\frac{-\frac{7}{60}}{\frac{11}{9}}=-\frac{21}{220}.$$

Kết luận: $\tan a=-\frac{8}{15}$; $\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{8\sqrt{3}-15}{34}$; $\tan (a+b)=-\frac{21}{220}$. Lưu ý: điều kiện $\frac{\pi }{2}<b<\pi$ không tương thích với $\tan b=\frac{5}{12}>0$ (dữ kiện đề có sai lệch nhỏ), nhưng kết quả $\tan (a+b)$ chỉ phụ thuộc $\tan b$ nên vẫn xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$: $\cos a=-\sqrt{1-\frac{1}{16}}=-\frac{\sqrt{15}}{4}$. Suy ra $\tan a=\frac{1/4}{-\sqrt{15}/4}=-\frac{1}{\sqrt{15}}$. Áp dụng công thức $\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}=\frac{-\frac{2}{\sqrt{15}}}{1-\frac{1}{15}}=\frac{-\frac{2}{\sqrt{15}}}{\frac{14}{15}}=-\frac{30}{14\sqrt{15}}=-\frac{15}{7\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{7}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, khi đó $y=t^2-4t-5$. Hàm $f(t)=t^2-4t-5$ có đỉnh $t=2\notin [-1;1]$ và $f^{\prime }(t)=2t-4<0$ trên $[-1;1]$ nên $f$ nghịch biến, giá trị nhỏ nhất đạt tại $t=1$: $y_{\min }=1-4-5=-8$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan \alpha$, $c=\cot \alpha$ thì $tc=1$. Theo đề: $t-c=3$ nên $(t-c{)}^2=9\Rightarrow t^2-2tc+c^2=9\Rightarrow t^2+c^2=9+2=11$. Vậy $A={\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =11$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan (90^{\circ }-x)=\cot x=\frac{1}{\tan x}$, ta ghép các cặp: $\tan 1^{\circ }\cdot \tan 89^{\circ }=1$, $\tan 2^{\circ }\cdot \tan 88^{\circ }=1$, ..., $\tan 44^{\circ }\cdot \tan 46^{\circ }=1$, còn lại $\tan 45^{\circ }=1$. Vậy $A=1^{44}\cdot 1=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ và $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (cos âm vì góc ở góc phần tư thứ II).
a) Sai: với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\cos \alpha <0$, không thể có $0<\cos \alpha <1$.
b) Sai: do $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, không phải dấu cộng.
c) Đúng: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
d) Sai: ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{4/9}{5/9}=\frac{4}{5}$, nên $A=\frac{1}{4/9}+\frac{4}{5}=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$, do đó khẳng định $0<\cos \alpha <1$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ và $\cos \alpha <0$ (góc ở góc phần tư II) ta được $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, không phải $+\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ nên $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{4/9}{5/9}=\frac{4}{5}$; $A=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên cos α < 0: cos α = -√(1-144/169) = -5/13 → a đúng. cos 2α = 1 - 2sin²α = 1 - 288/169 = -119/169 → b đúng. sin(α+π/3) = sinα·(1/2) + cosα·(√3/2) = 6/13 - 5√3/26 = (12-5√3)/26 → c đúng. tan α = sinα/cosα = -12/5; tan(α+π/4) = (tanα+1)/(1-tanα) = (-7/5)/(17/5) = -7/17 ≠ 7/17 → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos α = -√(1-(12/13)²) = -5/13 (vì α ở góc phần II nên cos âm).
b) (AI giải đề cho tôi)
cos 2α = 1 - 2sin²α = 1 - 2·144/169 = -119/169.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin(α+π/3) = (12/13)(1/2) + (-5/13)(√3/2) = (12-5√3)/26.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan α = -12/5, nên tan(α+π/4) = (tanα+1)/(1-tanα) = (-7/5)/(17/5) = -7/17, không bằng 7/17.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0$. Ta có $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Do đó $P=\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-3/5}{4/5}=-\frac{3}{4}=-0,75$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A=\frac{3\sin \alpha -2\cos \alpha }{2\sin \alpha +\cos \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =2$), ta được $A=\frac{3\tan \alpha -2}{2\tan \alpha +1}=\frac{3\cdot 2-2}{2\cdot 2+1}=\frac{4}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ghép các cặp góc phụ nhau: $\tan k^{\circ }\cdot \tan (90^{\circ }-k^{\circ })=\tan k^{\circ }\cdot \cot k^{\circ }=1$. Cụ thể $\tan 1^{\circ }\tan 89^{\circ }=1$, $\tan 2^{\circ }\tan 88^{\circ }=1$, ..., $\tan 44^{\circ }\tan 46^{\circ }=1$, và $\tan 45^{\circ }=1$. Vậy $A=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng gồm các số hạng sin²2°, sin²4°, ..., sin²88°, tức 44 số hạng. Ghép từng cặp: sin²x + sin²(90° − x) = sin²x + cos²x = 1. Có 44/2 = 22 cặp, nên tổng bằng 22.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$ (dương). Do đó (a) đúng, (b) sai, (c) sai. $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-3/4}{\sqrt{7}/4}=-\frac{3}{\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$, nên (d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ (góc ở góc phần tư thứ II) nên $\sin \alpha >0$
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =+\frac{\sqrt{7}}{4}$ vì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-3/4}{\sqrt{7}/4}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \alpha =\frac{1}{3}\ne 0$ nên $\cos \alpha \ne 0$, ta chia cả tử và mẫu của $A$ cho $\cos \alpha$:
$$A=\frac{3\tan \alpha +4}{2\tan \alpha -5}.$$
Mặt khác $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=3$, do đó
$$A=\frac{3\cdot 3+4}{2\cdot 3-5}=\frac{9+4}{6-5}=13.$$
Vậy $A=13$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho ${\cos }^2\alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =3$ nên $\cos \alpha \ne 0$):
$$P=\frac{4{\tan }^2\alpha -3}{{\sec }^2\alpha +2{\tan }^2\alpha }=\frac{4{\tan }^2\alpha -3}{1+{\tan }^2\alpha +2{\tan }^2\alpha }=\frac{4{\tan }^2\alpha -3}{1+3{\tan }^2\alpha }.$$
Thay $\tan \alpha =3$:
$$P=\frac{4\cdot 9-3}{1+3\cdot 9}=\frac{36-3}{1+27}=\frac{33}{28}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha =\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$, suy ra ${\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$ (luôn dương nên không phụ thuộc dấu của $\sin \alpha$).

Chia tử và mẫu của $A$ cho $\tan \alpha$ (hoặc dùng $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$):
$$A=\frac{\tan \alpha -3\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }={\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha .$$

Thay số:
$$A=\frac{7}{8}-3\cdot \frac{1}{8}=\frac{7-3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

Vậy $A=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan \alpha >0$ vì $0^0<\alpha <90^0$. Ta có $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$, $\sin \alpha =\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$. Thay vào điều kiện: $\frac{3-t}{\sqrt{1+t^2}}=1\Rightarrow (3-t{)}^2=1+t^2\Rightarrow 9-6t+t^2=1+t^2\Rightarrow 6t=8\Rightarrow t=\frac{4}{3}$. Kiểm tra: với $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ thì $\sin \alpha =\frac{4}{5},\cos \alpha =\frac{3}{5}$, và $3\cdot \frac{3}{5}-\frac{4}{5}=\frac{5}{5}=1$ đúng. Vậy $\tan \alpha =\frac{4}{3}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $P=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Ta có $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }$. Do đó $P=\frac{\cos \alpha }{\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }}=\sin \alpha {\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}\cdot \frac{15}{16}=\frac{15}{64}$. Vậy chọn đáp án C.