Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục, thay trực tiếp $x=1$: $\underset{x\to 1}{\lim }(2x^2-3x+1)=2(1{)}^2-3(1)+1=2-3+1=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x-3}{x+3}$ liên tục tại $x=3$ vì mẫu $3+3=6\ne 0$. Do đó thay trực tiếp: $L=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x+3}=\frac{3-3}{3+3}=\frac{0}{6}=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục, thay trực tiếp: $\underset{x\to 1}{\lim }(3x^2-2x+1)=3(1{)}^2-2(1)+1=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục, thay trực tiếp $x=-1$: $(-1{)}^2-(-1)+7=1+1+7=9$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -2$ thì $x+1<0$ nên $|x+1|=-(x+1)$, do đó $2|x+1|=-2x-2$. Hàm số liên tục tại $x=-2$ (mẫu khác 0), nên thế trực tiếp: tử số $=2|-2+1|-5\sqrt{4-3}=2\cdot 1-5\cdot 1=-3$; mẫu số $=2(-2)+3=-1$. Vậy giới hạn $=\frac{-3}{-1}=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1$ thì $(x-1{)}^2\to 0^{+}$ (luôn dương). Xét tử số của từng giới hạn:
- A: $x-3\to -2$, nên $\lim \frac{x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$.
- B: $x-2\to -1$, nên $\lim \frac{x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$.
- C: $-x-1\to -2$, nên $\lim \frac{-x-1}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$.
- D: $x+1\to 2$, nên $\lim \frac{x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{2}{0^{+}}=+\infty$.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án D bằng $+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\frac{x+x^2+\dots +x^{50}-50}{x-1}$, tử số triệt tiêu tại $x=1$ nên $x+x^2+\dots +x^{50}-50$ phân tích được theo $(x-1)$. Giới hạn bằng tổng giới hạn ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^k-1}{x-1}=k$ với $k=1,2,\dots ,50$ (chú ý $x-1=x^1-1$). Vậy $A=1+2+3+\dots +50=\frac{50\cdot 51}{2}=1275$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{-3x+4}{x-2}$. Tại $x=2$: tử số $=-6+4=-2<0$.
- A: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x+4}{x-2}=\frac{-3}{1}=-3$.
- B: khi $x\to 2^{-}$ thì $x-2\to 0^{-}$, nên $\frac{-2}{0^{-}}=+\infty$.
- C: khi $x\to 2^{+}$ thì $x-2\to 0^{+}$, nên $\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$. Đúng.
- D: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3x+4}{x-2}=-3$.
Vậy giới hạn bằng $-\infty$ là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{+}$ thì tử số $-2x+1\to -1$ và mẫu số $x-1\to 0^{+}$ (dương). Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề. Mệnh đề A: nhân liên hợp, $\sqrt{x^2-x+1}+x-2=\frac{(x^2-x+1)-(x-2{)}^2}{\sqrt{x^2-x+1}-(x-2)}=\frac{3x-3}{\sqrt{x^2-x+1}-x+2}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu $\sim -x-x+2=-2x\to +\infty$, tử $\to -\infty$, nên giới hạn $=\frac{3x}{-2x}=-\frac{3}{2}$. Vậy A đúng. Mệnh đề B: khi $x\to -1^{-}$ thì $3x+2\to -1$ và $x+1\to 0^{-}$, nên $\frac{3x+2}{x+1}\to +\infty$, không phải $-\infty$. Vậy B sai. Mệnh đề C: khi $x\to +\infty$, $\sqrt{x^2-x+1}\sim x$ nên biểu thức $\sim 2x-2\to +\infty$, C đúng. Mệnh đề D: khi $x\to -1^{+}$ thì $x+1\to 0^{+}$, tử $\to -1$, nên giới hạn $=-\infty$, D đúng. Mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Giới hạn phải khi $x\to -2^{+}$: ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=-2+1=-1$. Để giới hạn trái ${\lim }_{x\to -2^{-}}\frac{x^2+ax+b}{x^2-4}$ hữu hạn, mẫu số $x^2-4\to 0$ nên tử số phải triệt tiêu tại $x=-2$: $4-2a+b=0\Rightarrow b=2a-4$. Khi đó tử và mẫu cùng chia hết cho $(x+2)$, giới hạn trái tính bằng quy tắc: ${\lim }_{x\to -2}\frac{2x+a}{2x}=\frac{-4+a}{-4}=\frac{4-a}{4}$. Cho bằng $-1$: $\frac{4-a}{4}=-1\Rightarrow a=8$, suy ra $b=2\cdot 8-4=12$. Vậy $3a-b=24-12=12$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm đa thức, thay x=0: -5·0-4·0+2=2 → đúng. b) Thay x=-1: tử 2(-1)-3(-1)²=-2-3=-5; mẫu 4(-1)+1=-3; giới hạn = (-5)/(-3)=5/3 ≠ -3/4 → sai. c) x²+2x-15=(x+5)(x-3), với x→-5, x≠-5 nên biểu thức = x-3 → -8, không phải +∞ → sai. d) x²+3x-4=(x+4)(x-1), x²+4x=x(x+4); với x→-4, x≠-4, x≠0 nên biểu thức = (x-1)/x → (-5)/(-4)=5/4 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục, thay x=0 được -5·0-4·0+2=2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=-1: (2(-1)-3(-1)²)/(4(-1)+1)=(-5)/(-3)=5/3 ≠ -3/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
x²+2x-15=(x+5)(x-3); với x≠-5 biểu thức bằng x-3, giới hạn bằng -8, không tồn tại +∞.
d) (AI giải đề cho tôi)
(x+4)(x-1)/(x(x+4))=(x-1)/x → (-4-1)/(-4)=5/4.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-2,& x<-1\\ \sqrt{x^2+1},& x\ge -1\end{array}$:
a) Khi $x\to -2$ (thuộc miền $x<-1$), ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$ → Sai.
b) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-1-2=-3$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$. Vì giới hạn trái $\ne$ giới hạn phải nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, không thể bằng $-3$ → Sai.
c) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → Đúng.
d) Vì giới hạn trái $(-3)$ khác giới hạn phải $(\sqrt{2})$ nên hàm số không tồn tại giới hạn khi $x\to -1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to -2$ thuộc miền $x<-1$ nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái bằng $-3$, giới hạn phải bằng $\sqrt{2}$, hai vế khác nhau nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ge -1$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=-3\ne \sqrt{2}={\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)$ nên hàm số không tồn tại giới hạn khi $x\to -1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15:
a) Hàm số $x^2-x+3$ liên tục tại $x=-2$, nên $\underset{x\to -2}{\lim }(x^2-x+3)=(-2{)}^2-(-2)+3=4+2+3=9$.

b) Hàm $\sqrt{\frac{1}{x+3}}$ liên tục tại $x=6$ (vì $6+3=9>0$), nên $\underset{x\to 6}{\lim }\sqrt{\frac{1}{x+3}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$.

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x-1)=1$.

d) $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x^2+3x+1}{x^2-1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(2x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=\frac{-2+1}{-1-1}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to -1^{+}$ thì $x>-1$ nên dùng nhánh $f(x)=3-2x^2$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=3-2(-1{)}^2=3-2=1$. Với $x\to -1^{-}$ thì $x\le -1$ nên dùng nhánh $f(x)=3x+4$: ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=3(-1)+4=1$. Vì hai giới hạn một bên bằng nhau (đều bằng $1$) nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2>0$ và $(x-1{)}^2>0$ với mọi $x\ne 1$, ta xét: khi $x\to 1$ thì $f(x)\to 2$ nên với $x$ đủ gần $1$ ($x\ne 1$) ta có $f(x)>1>0$. Do đó $\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}>\frac{1}{(x-1{)}^2}$. Mà $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(x-1{)}^2}=+\infty$ (vì $(x-1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to 1$). Vậy theo định lý so sánh, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}=+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-x^2=(1-x)(1+x)$. Khi $x\to 1^{-}$ thì $x-1=-(1-x)$ với $1-x>0$, nên
$$(x-1)\sqrt{\frac{x+2}{1-x^2}}=-(1-x)\sqrt{\frac{x+2}{(1-x)(1+x)}}=-\sqrt{\frac{(1-x{)}^2(x+2)}{(1-x)(1+x)}}=-\sqrt{\frac{(1-x)(x+2)}{1+x}}.$$
Khi $x\to 1^{-}$, ta có $1-x\to 0^{+}$, $x+2\to 3$, $1+x\to 2$, do đó
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x-1)\sqrt{\frac{x+2}{1-x^2}}=-\sqrt{\frac{0\cdot 3}{2}}=0.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(x^2-1)g(x)=(x-1)(x+1)g(x)$. Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=1$ nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)g(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=(-\infty )\cdot 1=-\infty$. Do đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-1)g(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-1)\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)g(x)=(-\infty )\cdot (-\infty )=+\infty$. Vậy $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-1)g(x)=+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x$: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{x+7}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{7}{x}}=\frac{2-0}{1+0}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1008, câu 5: C).