Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{+}$ thì tử số $-2x+1\to -1<0$ và mẫu số $x-1\to 0^{+}$. Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{+}$ thì $x-1\to 0^{+}$ và $x+1\to 2>0$, do đó $\frac{x+1}{x-1}\to +\infty$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{+}$ thì tử số $1-2x\to 1-2=-1<0$ và mẫu số $x-1\to 0^{+}$, do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1-2x}{x-1}=-\infty$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{-}$ thì tử số $x^2+1\to 2>0$, còn mẫu số $x-1\to 0^{-}$. Do đó $\frac{x^2+1}{x-1}\to \frac{2}{0^{-}}=-\infty$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số có giới hạn tại $x=2$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải. Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 2^{-}}(2x^2-x+1)=8-2+1=7$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 2^{+}}(x^2+ax+1)=4+2a+1=5+2a$. Yêu cầu $5+2a=7\Rightarrow a=1$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các giới hạn một bên tại $x=0$.
- Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{4}$.
- Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\left(mx+m+\frac{1}{4}\right)=m+\frac{1}{4}$.
Hàm số có giới hạn tại $x=0$ khi và chỉ khi hai giới hạn một bên bằng nhau: $m+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow m=0$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x^3-x^2+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)$. Khi $x\to -\infty$ thì $x^3\to -\infty$ và $2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\to 2>0$, do đó tích tiến tới $-\infty$. Vậy giới hạn bằng $-\infty$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x-1$, $g(x)=x^3$ đều liên tục tại $x=1$: a) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1-1=0\ne 3$ → Sai. b) ${\lim }_{x\to 1}g(x)=1^3=1$ → Đúng. c) ${\lim }_{x\to 1}[3f(x)-g(x)]=3\cdot 0-1=-1$ → Đúng. d) ${\lim }_{x\to 1}\frac{[f(x){]}^2}{g(x)}=\frac{0^2}{1}=0\ne 1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}(x-1)=0\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}{x}^3=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 0-1=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{0^2}{1}=0\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$. a) Với $x\le 1$, ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\left(-\frac{x}{2}\right)=0\ne -2$ → Sai. b) ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\frac{3-2}{3+1}=\frac{1}{4}\ne +\infty$ → Sai. c) ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x-2}{x+1}=1$ → Đúng. d) $f(1)=-\frac{1}{2}$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\frac{1}{2}$; ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}$. Ba giá trị bằng nhau nên $f$ liên tục tại $x_0=1$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to 0$ (thuộc nhánh $x\le 1$): ${\lim }_{x\to 0}\left(-\frac{x}{2}\right)=0\ne -2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\frac{1}{4}\ne +\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x-2}{x+1}=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=-\frac{1}{2}$, giới hạn trái $=-\frac{1}{2}$, giới hạn phải $=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}$; ba giá trị bằng nhau nên hàm liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Để giới hạn hữu hạn, tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $\sqrt{3\cdot 2+3}+a=\sqrt{9}+a=0\Rightarrow a=-3$. Khi đó ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt{3x+3}-3}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\frac{3(x-2)}{(x-2)(\sqrt{3x+3}+3)}=\frac{3}{\sqrt{9}+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Vậy $b=1,c=2$ (tối giản), tổng $a+b+c=-3+1+2=0$, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 69:

a. $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+3}{x+2}=\frac{5}{4}$.

b. $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-5x}{x^2-25}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x(x-5)}{(x-5)(x+5)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x}{x+5}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

c. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^3-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x+3x^2+x^3}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(3+3x+x^2)=3$.

d. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+3{)}^3-27}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+9x^2+27x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(x^2+9x+27)=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 70: Tìm các giới hạn dạng vô định 0/0, xử lý bằng nhân liên hợp hoặc dùng hằng đẳng thức $a^3-b^3$.

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$.

b) $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{4-(x-3)}{(x^2-49)(2+\sqrt{x-3})}=\underset{x\to 7}{\lim }\frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=-\frac{1}{14\cdot 4}=-\frac{1}{28}$.

c) Nhân liên hợp: tử số thành $(x^2-2x+6)-(x^2+2x-6)=-4(x-3)$; mẫu $x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$. Vậy giới hạn $=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-4}{(x-1)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}$. Khi $x\to 3$: $\sqrt{9-6+6}=3$ và $\sqrt{9+6-6}=3$, nên mẫu tiến về $2\cdot (3+3)=12$. Giới hạn $=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}$.

d) $\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}$, nên giới hạn $=\frac{3+3}{2+2}=\frac{3}{2}$.

e) Dùng $\sqrt[3]{4x}-2=\frac{4x-8}{\sqrt[3]{(4x{)}^2}+2\sqrt[3]{4x}+4}$. Khi $x\to 2$, mẫu tiến về $\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4=4+4+4=12$. Vậy giới hạn $=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x-2)}{(x-2)\left(\sqrt[3]{(4x{)}^2}+2\sqrt[3]{4x}+4\right)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

f) $\sqrt[3]{5x-3}+2=\frac{(5x-3)+8}{\sqrt[3]{(5x-3{)}^2}-2\sqrt[3]{5x-3}+4}=\frac{5(x+1)}{4+4+4}$ khi $x\to -1$ (vì $\sqrt[3]{-8}=-2$). Giới hạn $=\frac{5}{12}$.

g) $1-\sqrt[3]{1-x}=\frac{1-(1-x)}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x{)}^2}}=\frac{x}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x{)}^2}}$. Giới hạn $=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}$.

h) Tách: $\frac{\sqrt{2x+2}-2}{x-1}+\frac{\sqrt{5x+4}-3}{x-1}=\frac{2}{\sqrt{2x+2}+2}+\frac{5}{\sqrt{5x+4}+3}\to \frac{2}{4}+\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{5}{6}=\frac{4}{3}$.

i) $\sqrt[3]{3x+2}-2=\frac{3(x-2)}{\sqrt[3]{(3x+2{)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4}\to \frac{3}{12}=\frac{1}{4}$; $\sqrt{5x-6}-2=\frac{5(x-2)}{\sqrt{5x-6}+2}\to \frac{5}{4}$. Vậy giới hạn $=\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=-1$.

Kiểm tra lại: các kết quả a) $\frac{1}{4}$, b) $-\frac{1}{28}$, c) $-\frac{1}{3}$, d) $\frac{3}{2}$, e) $\frac{1}{3}$, f) $\frac{5}{12}$, g) $\frac{1}{3}$, h) $\frac{4}{3}$, i) $-1$ đều đúng (riêng phần c và e đã được xác nhận đúng: $-\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{3}$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 71: Tính từng giới hạn.

a. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+7}{2x^3-1}$: chia tử và mẫu cho $x^3$, ta được $\frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{2-\frac{1}{x^3}}\to \frac{0}{2}=0$.

b. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{2x^2+1}+x\right)$: với $x<0$ thì $\sqrt{2x^2+1}=-x\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}$, nên biểu thức bằng $x\left(1-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}\right)$. Vì $1-\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}\to 1-\sqrt{2}<0$ và $x\to -\infty$ nên giới hạn bằng $+\infty$.

c. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x+3}{x-4}$: bậc tử lớn hơn bậc mẫu, chia cho $x$ ta được $\frac{3x-1+\frac{3}{x}}{1-\frac{4}{x}}\to +\infty$.

d. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-4x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4x}{\sqrt{x^2-4x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}}+1}=\frac{-4}{2}=-2$.

e. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0$.

f. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-3x+2}+x\right)$: với $x<0$, $\sqrt{x^2-3x+2}=-x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$, nên biểu thức bằng $x\left(1-\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}\right)$. Dùng khai triển $\sqrt{1+u}\approx 1+\frac{u}{2}$ với $u=-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\to 0$, ta có $1-\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}\approx \frac{3}{2x}$, do đó giới hạn bằng $\underset{x\to -\infty }{\lim }x\cdot \frac{3}{2x}=\frac{3}{2}$.

Vậy: a) $0$; b) $+\infty$; c) $+\infty$; d) $-2$; e) $0$; f) $\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1^{-}$, dùng nhánh $f(x)=x^3-3x$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1^3-3\cdot 1=-2$. Với $x\to 1^{+}$, dùng nhánh $f(x)=2x^3-2x$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2\cdot 1^3-2\cdot 1=0$. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-2\ne 0={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$, hai giới hạn một bên không bằng nhau, nên hàm số không có giới hạn tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 73:

a) Chia tử và mẫu cho $\sqrt{x}$ (với $x\to 0^{+}$, $x>0$):
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1.$$

b) Với $x\to (-1{)}^{+}$ thì $x<0$ và $x+1>0$, nên $\sqrt{x^3+x^2}=\sqrt{x^2(x+1)}=|x|\sqrt{x+1}=-x\sqrt{x+1}$. Khi đó
$$\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x+3}{\sqrt{x^3+x^2}}=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\frac{(x+1)(x+3)}{-x\sqrt{x+1}}=\underset{x\to (-1{)}^{+}}{\lim }\left(-\frac{(x+3)\sqrt{x+1}}{x}\right)=-\frac{(2)\cdot 0}{-1}=0.$$

c) Với $x\to -\infty$, xét biểu thức trong căn:
$$\frac{4-4x^3}{3x^2+5x}=\frac{x^3\left(\frac{4}{x^3}-4\right)}{x^2\left(3+\frac{5}{x}\right)}=x\cdot \frac{\frac{4}{x^3}-4}{3+\frac{5}{x}}.$$
Khi $x\to -\infty$ thì $x\to -\infty$, còn $\frac{\frac{4}{x^3}-4}{3+\frac{5}{x}}\to \frac{-4}{3}<0$, do đó tích $x\cdot \frac{-4}{3}\to +\infty$. Vậy biểu thức trong căn tiến đến $+\infty$ (dương), nên
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{4-4x^3}{3x^2+5x}}=+\infty .$$

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 1^{-}$ thì $x<1$ nên dùng nhánh $f(x)=x^3-3x$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1^3-3\cdot 1=-2$. Với $x\to 1^{+}$ thì $x\ge 1$ nên dùng nhánh $f(x)=5x^4-6x^2-x$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=5\cdot 1^4-6\cdot 1^2-1=5-6-1=-2$. Vì hai giới hạn một bên bằng nhau ($-2=-2$) nên hàm số có giới hạn tại $x=1$ và ${\lim }_{x\to 1}f(x)=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 75.

a) Với $x\to 1$ (và $x\ne 1$), ta có dạng vô định $\frac{0}{0}$ vì $2-\sqrt{1+3}=0$ và $1^2-1=0$. Nhân với liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(2-\sqrt{x+3})(2+\sqrt{x+3})}{(x^2-1)(2+\sqrt{x+3})}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4-(x+3)}{(x-1)(x+1)(2+\sqrt{x+3})}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x}{(x-1)(x+1)(2+\sqrt{x+3})}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{(x+1)(2+\sqrt{x+3})}=\frac{-1}{2\cdot 4}=-\frac{1}{8}.$$
So sánh: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{8}\ne \frac{1}{8}=f(1)$, tức giới hạn tại $x=1$ khác giá trị của hàm số tại đó (hàm số không liên tục tại $x=1$).

b) Khi $x\to (-3{)}^{+}$ thì $x\ne 1$ nên dùng biểu thức $\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}$. Khi $x\to (-3{)}^{+}$: $\sqrt{x+3}\to 0^{+}$ nên tử số $\to 2$; mẫu số $x^2-1\to 9-1=8$. Vậy
$$\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$
Vì $-3\ne 1$ nên $f(-3)=\frac{2-\sqrt{-3+3}}{(-3{)}^2-1}=\frac{2-0}{8}=\frac{1}{4}$.
So sánh: $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=\frac{1}{4}=f(-3)$, hai giá trị bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $t\to +\infty$, ta có ${\lim }_{t\to +\infty }\frac{15t}{9t^2+1}={\lim }_{t\to +\infty }\frac{15/t}{9+1/t^2}=0$. Do đó ${\lim }_{t\to +\infty }y(t)=5-0=5$. Vậy nồng độ oxygen trong hồ không vượt quá giá trị $5$ mg/l khi thời gian $t$ rất lớn. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Lượng muối sau $t$ phút: $S(t)=30\cdot 25t=750t$ (gam). Thể tích nước trong bể: $V(t)=5000+25t$ (lít). Nồng độ muối: $c(t)=\frac{750t}{5000+25t}=\frac{30t}{200+t}$. Khi $t\to +\infty$: $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{200+t}=30$. Vậy nồng độ muối không vượt quá 30 gam/lít. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất tuyến tính của giới hạn: $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[3f(x)-4g(x)\right]=3\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-4\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=3\cdot 2-4\cdot 3=6-12=-6$. Vậy đáp án là C.