Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x$ đủ lớn, chi phí tiến tới giới hạn $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2000x+1500}{35x+5}=\frac{2000}{35}=\frac{400}{7}\approx 57,142857$$ (triệu đồng). Làm tròn đến 1 chữ số thập phân: $57,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-9}{x-3}=5$ hữu hạn nên tử số phải tiến tới 0, suy ra $f(3)=9$. Khi đó $K={\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)+x-5}{x-2}=\frac{f(3)+3-5}{3-2}=\frac{9+3-5}{1}=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^3$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-1}{2-x^3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2}{x^3}-1}=\frac{0}{-1}=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn trái: với $x\le 1$, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=\frac{1}{1-2}=-1$. Xét giới hạn phải: với $x>1$, $\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+x+1}{x+1}\to \frac{3}{2}$ khi $x\to 1^{+}$. Vì $-1\ne \frac{3}{2}$ nên $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ không tồn tại. Đáp án D.

Gọi chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là:

$$\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{6x^3-2x^2+15x+1}{2x^3+5x}$$

Lấy giới hạn khi $x\to +\infty$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x^3-2x^2+15x+1}{2x^3+5x}=\frac{6}{2}=3.$$

Vậy khi số lượng sản phẩm rất lớn, chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm tiến đến 3 triệu đồng/sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số đồ chơi sản xuất ($x>0$). Tổng chi phí: $F(x)=70000+40x$ (nghìn đồng). Chi phí trung bình: $f(x)=\frac{F(x)}{x}=40+\frac{70000}{x}$. Khi $x$ càng lớn, $\frac{70000}{x}\to 0$ nên $f(x)\to 40$ và $f(x)>40$ với mọi $x$. Vậy chi phí trung bình không dưới 40 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì với $k$ nguyên dương, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$. B đúng vì hằng số $c$ có giới hạn bằng chính nó: $\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$. C đúng vì $\underset{x\to x_0}{\lim }x=x_0$. D SAI: khi $x\to -\infty$, nếu $k$ chẵn thì $x^k\to +\infty$ (ví dụ $k=2$: $x^2\to +\infty$), chỉ khi $k$ lẻ thì $x^k\to -\infty$. Vậy mệnh đề D không đúng với mọi $k$ nguyên dương. Đáp án cần tìm (mệnh đề SAI) là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 14: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1-4x^2}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x+1)}{x+3}$ với $x\ne \frac{1}{2}$, $x\ne -3$.

1) $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f(x)=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{-(2x+1)}{x+3}=\frac{-2}{\frac{7}{2}}=-\frac{4}{7}$.

2) Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$.

3) Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$.

4) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+3}=-2$ (cả hai giới hạn bằng $-2$).

5) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot f(x)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)x}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2-x}{x+3}=-\infty$.

6) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x^2+3x}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7 (trang 9): Cho f(x)=x-2 khi x<-1 và f(x)=√(x²+1) khi x≥-1.
a) Cả hai mảnh đều xác định trên toàn trục số (x²+1>0 với mọi x), nên D=ℝ — đúng.
b) Với x<-1, f(x)=x-2 nên lim_{x→-1⁻}f(x)=-1-2=-3 — đúng.
c) Với x≥-1, f(x)=√(x²+1) nên lim_{x→-1⁺}f(x)=√((-1)²+1)=√2 — đúng.
d) f(-1)=√2, nhưng lim_{x→-1⁻}f(x)=-3 ≠ √2=lim_{x→-1⁺}f(x). Vì giới hạn trái khác giới hạn phải, hàm số KHÔNG liên tục tại x=-1 — mệnh đề d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mảnh của hàm số đều xác định trên toàn trục số (x²+1>0 với mọi x), nên D=ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x<-1, f(x)=x-2 nên lim_{x→-1⁻}f(x)=-1-2=-3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x≥-1, f(x)=√(x²+1) nên lim_{x→-1⁺}f(x)=√((-1)²+1)=√2.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(-1)=√2, lim_{x→-1⁻}f(x)=-3 ≠ √2=lim_{x→-1⁺}f(x). Vì giới hạn trái khác giới hạn phải, hàm số KHÔNG liên tục tại x=-1, mệnh đề SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $f(x)=\frac{(3x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x+1}$ với $x\ne 1$, $x\ne -1$.
a) ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\lim \frac{3x-1}{x+1}=3$ → đúng.
b) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{3(1)-1}{1+1}=1$ → đúng.
c) ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\frac{-6-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$ → đúng.
d) Hàm số không xác định tại $x=-1\in (-\infty ;1)$ nên không liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$ (chỉ liên tục trên $(-\infty ;-1)$, $(-1;1)$, $(1;+\infty )$) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử và mẫu bằng nhau, hệ số cao nhất đều là 3 nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi rút gọn $f(x)=\frac{3x-1}{x+1}$ (với $x\ne 1$), thay $x=1$: $\frac{2}{2}=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=\frac{3(-2)-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ thuộc khoảng $(-\infty ;1)$, nên không liên tục trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1-4x^2}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x+1)}{x+3}$ với $x\ne \frac{1}{2}$, $x\ne -3$.

1. $\underset{x\to 1/2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{-(2x+1)}{x+3}=\frac{-(1+1)}{\frac{1}{2}+3}=\frac{-2}{7/2}=-\frac{4}{7}$.

2. Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$.

3. Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$.

4. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+3}=-2$ (cả hai giới hạn bằng $-2$).

5. $\underset{x\to +\infty }{\lim }[x\cdot f(x)]=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \left(-2+\frac{5}{x+3}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(-2x+5)=-\infty$.

6. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x^2+3x}=0$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16: Tính từng giới hạn.
1. Hàm đa thức liên tục: ${\lim }_{x\to 3}(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.
2. Thay trực tiếp (mẫu khác 0 tại $x=-1$): $\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
3. ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{+}}(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.
4. $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2-2x=x(x-2)$; với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $\lim =\frac{x+1}{x}=\frac{3}{2}$.
5. Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(1-x)(4x+1)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.
6. $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$; khi $x\to (3/2{)}^{-}$ thì $|2x-3|=3-2x=-(2x-3)$, nên biểu thức $=\frac{(2x-3)(x+1)}{-(2x-3)}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}$.
7. ${\lim }_{x\to -\infty }(x^2-7x-3)=+\infty$ (bậc chẵn, hệ số dương).
8. Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-1/x+7/x^2}=-x\sqrt{1-1/x+7/x^2}$, nên $\lim =\frac{3x}{-x}=-3$.
9. Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu $\sim -x-x=-2x$, nên $\lim =\frac{6x}{-2x}=-3$.
10. Khi $x\to 2^{+}$: tử $\to 11>0$, mẫu $\to 0^{+}$ nên $\lim =+\infty$.
11. Khi $x\to 5^{-}$: tử $1-8x\to -39<0$, mẫu $x-5\to 0^{-}$ nên $\lim =+\infty$.
12. $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$, tử $7x+2\to -5<0$ nên $\lim =-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x-1)(2x+1)$, nên với $x\ne \frac{1}{2}$: $$f(x)=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x+1)}{x+3}.$$

1) $\underset{x\to 1/2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{-(2x+1)}{x+3}=\frac{-2}{7/2}=-\frac{4}{7}.$

2) Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to -(-6+1)=5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$, nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$

3) Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$, nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty .$

4) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+3}=-2$ (cả hai phía).

5) Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-2<0$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot f(x)\right]=+\infty \cdot (-2)=-\infty .$

6) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2/x-1/x^2}{1+3/x}=0.$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x^2-8x+5}{(x-1)(x+2)}$ với $3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1)$.
a) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{3}{1}=3\ne \frac{3}{2}$.
b) Đúng: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(3x-5)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x-5}{x+2}=\frac{-2}{3}$.
c) Đúng: hàm liên tục tại $x=0$, $f(0)=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
d) Sai: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 3>0$ và $x^3\to -\infty$, nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{3}f(x)=-\infty$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tử và mẫu cùng bậc 2, hệ số cao nhất $3/1=3$, nên lim bằng 3 chứ không phải $3/2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phân tích $3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1)$, rút gọn $(x-1)$ rồi thay $x=1$: $(3-5)/(1+2)=-2/3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=0$: $f(0)=5/(-2)=-5/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$: $f(x)\to 3$ và $x^3\to -\infty$ nên tích tiến tới $-\infty$, không phải $+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Tính ${\lim }_{x\to -\infty }\left(-4x^5-3x^3+x+1\right)$. Khi $x\to -\infty$, $x^5\to -\infty$ nên $-4x^5\to +\infty$; các thành phần còn lại ($-3x^3\to +\infty$, $x\to -\infty$, hằng số 1) không làm đổi dấu kết quả. Bậc cao nhất $-4x^5$ chi phối tổng, do đó giới hạn bằng $+\infty$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23: Biết ${\lim }_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{a}{b^2}$ với $\frac{a}{b^2}$ là phân số tối giản. Tính giới hạn bằng nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\to \frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{a}{b^2}=\frac{1}{4}$ tối giản, tức $a=1,b=2$. Khi đó $\sqrt{a}+b+2018=1+2+2018=2021$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16 — Tính các giới hạn:

1. $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.

2. Hàm số liên tục tại $x=-1$: $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+7}{x-1}=\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

3. $\underset{x\to (1/2{)}^{+}}{\lim }(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.

4. $\frac{x^2-x-2}{x^2-2x}=\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)}=\frac{x+1}{x}$ với $x\ne 2$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{x}=\frac{3}{2}$.

5. Dạng $\frac{0}{0}$. Nhân liên hợp:
$$\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(4x+1)(1-x)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}.$$
Vậy giới hạn bằng $\frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

6. Với $x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}$ thì $2x-3<0$ nên $|2x-3|=3-2x$. Mà $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$, do đó
$$\frac{(2x-3)(x+1)}{3-2x}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}.$$

7. $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-7x-3)=+\infty$ (bậc chẵn, hệ số dương).

8. Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}$, nên
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-5}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}=\frac{3}{-1}=-3.$$

9. Nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}=\frac{6x-2}{-x\sqrt{1+\frac{6}{x}-\frac{2}{x^2}}-x}\to \frac{6x}{-2x}=-3.$$

10. Khi $x\to 2^{+}$: tử số $\to 11>0$, mẫu số $x-2\to 0^{+}$, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{5x+1}{x-2}=+\infty$.

11. Khi $x\to 5^{-}$: tử số $1-8x\to -39<0$, mẫu số $x-5\to 0^{-}$, nên giới hạn bằng $+\infty$.

12. $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to -1$, tử số $7x+2\to -5<0$, nên $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{7x+2}{(x+1{)}^2}=-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x-1)(2x+1)$, nên với $x\ne \frac{1}{2}$:
$$f(x)=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=-\frac{2x+1}{x+3}.$$

1) $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f(x)=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\left(-\frac{2x+1}{x+3}\right)=-\frac{2}{\frac{7}{2}}=-\frac{4}{7}.$

2) Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$

3) Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty .$

4) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(-\frac{2x+1}{x+3}\right)=-2$ (cả hai giới hạn đều bằng $-2$).

5) Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-2<0$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot f(x)\right]=+\infty \cdot (-2)=-\infty .$

6) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\frac{2x+1}{x+3}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x^2+3x}=0$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu).