Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Trong tam giác vuông $SAC$ (vuông tại $A$): $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$), $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Suy ra $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, vậy $\widehat{SCA}=30^{\circ }$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên $(ABCD)$ là $AC$ với $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=5\sqrt{2}$. Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là $\angle A^{\prime }CA$. Ta có $\tan \angle A^{\prime }CA=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=1$, suy ra góc bằng $45^{\circ }$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
A'C cắt (ABCD) tại C, hình chiếu của A' lên (ABCD) là A. Góc giữa A'C và (ABCD) là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$; theo giả thiết $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, suy ra góc bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên: A đúng — hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$ là $BA$, góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$. B đúng — hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$ là $CA$ (vì $AC$ là đường chéo hình vuông), góc là $\widehat{SCA}$. Với mặt phẳng $(SAD)$: ta có $AB\perp AD$ (hình vuông) và $AB\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), suy ra $AB\perp (SAD)$, tức hình chiếu của $B$ lên $(SAD)$ là $A$, hình chiếu của $SB$ lên $(SAD)$ là $SA$. Vậy góc giữa $SB$ và $(SAD)$ là $\widehat{BSA}$, do đó C đúng. Lưu ý $BD$ không vuông góc với $AD$ (góc $\widehat{ADB}=45^{\circ }$) nên $BD$ không vuông góc với $(SAD)$, do đó khẳng định D (góc là $\widehat{BSD}$) là sai. Chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $AB=\sqrt{S{B}^2-S{A}^2}=\sqrt{4a^2-3a^2}=a$. Do đó $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$. Vậy chọn A.

[Hình cần kiểm tra lại: p22_f2] Xét hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có chiều cao $100m$ và cạnh hình vuông đáy $180m$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ thì $SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO\perp AB$. Có $AO$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Suy ra $\left(SA,(ABCD)\right)=\widehat{SAO}$. $$\tan \widehat{SAO}=\frac{SO}{OA}=\frac{100}{180\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{9}\Rightarrow \left(\widehat{SA,(ABCD)}\right)=\widehat{SAO}=38^{\circ }$$ Vậy góc giữa cạnh bên và mặt đáy của kim tự tháp là $38^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt đáy, do đó góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9a^2+3a^2}=2\sqrt{3}a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{2\sqrt{3}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\widehat{SCA}=30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B (Mã đề 102, trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=2$ nên $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $C{A}^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là $CA$, do đó góc giữa $C{A}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông tại $A$ có $A^{\prime }C=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{C}^2}=\sqrt{8+8}=4$, nên $\sin \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án A trong mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SN\perp (MNP)$ nên $N$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(MNP)$, còn $P$ nằm trong $(MNP)$ nên hình chiếu của $P$ là chính nó. Do đó hình chiếu của $SP$ lên $(MNP)$ là $NP$. Góc giữa $SP$ và $(MNP)$ là góc giữa $SP$ và hình chiếu của nó, tức là góc giữa $SP$ và $NP$ (góc $SPN$). Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SN\perp (MNP)$ nên $N$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(MNP)$, tức $PN$ là hình chiếu của $SP$ trên $(MNP)$. Góc giữa đường thẳng $SP$ và mặt phẳng $(MNP)$ là góc giữa $SP$ và hình chiếu $PN$ của nó, tức góc giữa $SP$ và $NP$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Đề 1012, Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Đường thẳng $SB$ cắt $(ABC)$ tại $B$, do đó hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$ là $AB$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là $\widehat{SBA}$ (góc tại đỉnh $B$ trong tam giác $SAB$ với $\widehat{SAB}=90^{\circ }$). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 7 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$, do đó $AD$ là hình chiếu của $SD$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SD$ và $AD$, tức $\widehat{SDA}$ (tam giác $SAD$ vuông tại $A$). Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = 2a.
a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S lên (ABCD); D ∈ (ABCD) nên góc giữa SD và (ABCD) là góc giữa SD và hình chiếu DA, tức là $\widehat{SDA}$.
b) Đúng. Khoảng cách từ S đến (ABCD) chính là SA = 2a.
c) Sai. Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}\ne 2a^3$.
d) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAC) nên $(SAC)\perp (ABCD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S trên (ABCD); góc giữa SD và (ABCD) là $\widehat{SDA}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì SA ⊥ (ABCD) nên d(S, (ABCD)) = SA = 2a.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}$, không bằng $2a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊂ (SAC) và SA ⊥ (ABCD) nên $(SAC)\perp (ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, tức $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức góc $SBA$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1004, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là góc $SAO$. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $\sin (SAO)=\frac{SO}{SA}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên góc $SAO=45^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy. Hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp (ABCD)$ với $SO=3\mathrm{cm}$ là chiều cao, cạnh bên $SA=3\sqrt{2}\mathrm{cm}$. Trong tam giác vuông $SOA$ vuông tại $O$: $OA=\sqrt{S{A}^2-S{O}^2}=\sqrt{18-9}=3\mathrm{cm}$. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là $\widehat{SAO}$, nên $\tan \widehat{SAO}=\frac{SO}{OA}=\frac{3}{3}=1\Rightarrow \widehat{SAO}=45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là $\widehat{SAO}$. Trong tam giác vuông $SOA$ có $SO=3\sqrt{3}$, $SA=6$, nên $\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\widehat{SAO}=60^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, tức $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là góc $SBA$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy. Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là $\widehat{SAO}$. Trong tam giác vuông $SOA$ có $\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}=\frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{SAO}=30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, tức $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$, tức là góc $SBA$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 9 = A).