Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$, gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$ (chính là $M,N$). Vì tam giác đều nên $CI\perp AB$ và $DI\perp AB$, do đó $AB\perp (CDI)$, suy ra $AB\perp IJ$, tức $MN\perp AB$ (C đúng). Tương tự, $AJ\perp CD$ và $BJ\perp CD$ nên $CD\perp (ABJ)$, suy ra $CD\perp IJ$, tức $MN\perp CD$ (D đúng), và cũng từ đó $AB\perp CD$ (B đúng). Kiểm tra bằng tọa độ với cạnh $a$: đặt $A=\left(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)$, $B=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$, $C=\left(\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{6},0\right)$, $D=\left(0,\frac{a\sqrt{3}}{3},0\right)$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{6}a}{6}\right)$ và $\overrightarrow{BD}=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, nên $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}\ne 0$. Vậy $MN$ không vuông góc với $BD$ — mệnh đề A sai, khớp đáp án A trong bảng đáp án mã đề 111.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel BA$. Do đó góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $\widehat{AB{A}^{\prime }}$ trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Tam giác $BA{A}^{\prime }$ vuông tại $A$ với $BA=A{A}^{\prime }$ (cạnh hình lập phương) nên là tam giác vuông cân, suy ra $\widehat{AB{A}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B^{\prime }{D}^{\prime }$ là cạnh của mặt trên song song với $BD$ là cạnh của mặt đáy). Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Do đó $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, tức góc giữa $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong không gian với 3 đường thẳng phân biệt $a$, $b$, $c$ và mặt phẳng $(P)$:

- A sai: Nếu $a\perp c$ và $b\perp c$ thì $a$ và $b$ có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba không bắt buộc song song như trong mặt phẳng).

- B đúng: Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau (hoặc chéo nhau) và có góc giữa bằng $90^{\circ }$. Do đó nếu $a\perp b$ thì $a$ và $b$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

- C sai: Nếu $a\perp b$ và $b\perp c$ thì $a$ và $c$ có thể song song, cắt nhau, chéo nhau hoặc vuông góc — không kết luận được $a\perp c$.

- D sai: Nếu $a\perp c$ và $(P)\perp c$ thì $a$ có thể song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$, nên không chắc chắn $a\parallel (P)$.

Vậy mệnh đề đúng là B. Đối chiếu với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4 = B) khớp hoàn toàn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông nên là hình lập phương. Ta có $CD\parallel BA$, do đó góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$. Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là hình vuông, $B{A}^{\prime }$ là đường chéo nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$ bằng $45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ vì $B{B}^{\prime }\perp AB$ và $B{B}^{\prime }\perp BC$. Mà $AC\subset (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AC$. Các đường $A{D}^{\prime }$, $A{C}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }$ đều không vuông góc với $B{B}^{\prime }$ (chúng không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không vuông góc với $B{B}^{\prime }$). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành). Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét mặt đáy trên $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình vuông, tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, nên $\widehat{C^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, tập hợp các đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $d$ chính là các đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ (nếu $A\notin d$) hoặc mặt phẳng vuông góc với $d$ tại chân đường vuông góc hạ từ $A$ (nếu $A\in d$). Mặt phẳng này chứa vô số đường thẳng qua $A$, tất cả đều vuông góc với $d$. Vậy có vô số đường thẳng thỏa mãn. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AD$ bằng góc giữa $CD$ và $AD$, tức là $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$, do đó góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp AB$) và $SA=AB=a\sqrt{2}$ nên tam giác vuông cân, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy $a=45$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 2: 45).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (do $SA\perp (ABC)$) với $SA=AB=a\sqrt{2}$ nên vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy $a=45$, khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III câu 1: 45).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AD$ bằng góc giữa $CD$ và $AD$, tức là $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau: $AC\perp BD$. Mặt khác $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$ nên tứ giác $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành). Từ đó $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Kiểm tra các phương án khác: $AC$ cắt $CD$ tại $C$ với góc $45^{\circ }$ (không vuông góc); $AC$ cắt $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $C$, góc giữa chúng bằng góc giữa $AC$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ với $AC$, khác $90^{\circ }$; $AC$ cắt $AD$ tại $A$ với góc $45^{\circ }$. Vậy chỉ có $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1014: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét mặt đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau ($AC\perp BD$). Mặt khác $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$), suy ra $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Các đáp án còn lại: $CD$ và $AD$ nằm trong đáy và cắt $AC$ tại góc $45^{\circ }$ (không vuông góc); $A^{\prime }{C}^{\prime }$ song song với $AC$ nên không vuông góc với $AC$. Vậy đường thẳng $AC$ vuông góc với $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$. Do đó $(SA,CD)=(SA,AB)=\widehat{SAB}$.

Tam giác $SAB$ đều vì $SA=SB=AB=a\Rightarrow \widehat{SAB}=60^{\circ }$.

Chọn C

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $SDA$ của tam giác $SAD$. Vì tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên tam giác $SAD$ đều (cả $SA$, $AD$, $SD$ đều bằng nhau), suy ra góc $SDA=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SD$ và $BC$ bằng $60^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $\widehat{SDA}$ trong tam giác $SAD$. Mọi cạnh của hình chóp đều bằng nhau nên $SA=SD=AD$, tam giác $SAD$ đều, suy ra $\widehat{SDA}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SD$ và $BC$ bằng $60^{\circ }$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng trong không gian có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau. B sai vì hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau (không cắt). C đúng: do $c//b$ và $a\perp b$ nên $a\perp c$ (tính chất đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song). D sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với $b$ có thể chéo nhau. Vậy mệnh đề đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $SBC$ và $ABC$ đều (tất cả các cạnh bằng nhau) nên $SM\perp BC$ và $AM\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAM)$, do đó $BC\perp SA$ (vì $SA\subset (SAM)$). Vậy góc giữa $SA$ và $BC$ là $\alpha =90^{\circ }$, nên $\sin \alpha =\sin 90^{\circ }=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 15: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ là trung điểm của $AB,AC$ nên $IJ\parallel BC$. Do đó góc giữa $IJ$ và $CD$ bằng góc giữa $BC$ và $CD$. Xét tam giác $BCD$ có $CB=CD=a$, $BD=a\sqrt{3}$, theo định lí cosin: $\cos \widehat{BCD}=\frac{C{B}^2+C{D}^2-B{D}^2}{2\cdot CB\cdot CD}=\frac{a^2+a^2-3a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{BCD}=120^{\circ }$. Góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $CD$ là góc nhọn nên bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Vậy $\cos$ của góc giữa $IJ$ và $CD$ bằng $\cos 60^{\circ }=0,5$, khớp với đáp án đề cho.