Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABC$ có tất cả các cạnh bằng nhau là tứ diện đều. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, cạnh bằng $a$. Khi đó $AM\perp BC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$) và $SM\perp BC$ (tam giác $SBC$ cân tại $S$). Suy ra $BC\perp (SAM)$, do đó $BC\perp SA$, tức góc giữa $SA$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$, nên $\sin \alpha =\sin 90^{\circ }=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 18 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\perp b$ và $c//b$ thì $a\perp c$ (đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng song song với nó). Mệnh đề B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với $b$ có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau; C sai vì hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau; D sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với $b$ không nhất thiết vuông góc với nhau. Đáp án khớp với mã đề 1101: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $CD\parallel BA$. Do đó góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Xét tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ với $B{A}^{\prime }=A{A}^{\prime }\sqrt{2}$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AB$, và $B{A}^{\prime }$ là đường chéo mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$). Tam giác $A^{\prime }BA$ vuông cân tại $A$ ($A{A}^{\prime }=AB$) nên góc $A^{\prime }BA=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A^{\prime }A$ vuông góc với mặt đáy $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, mà đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt đáy đó. Suy ra $A^{\prime }A\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, tức góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A^{\prime }A$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đề 101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong không gian: A đúng vì hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. B đúng vì nếu $b//c$ và $a\perp b$ thì $a\perp c$ (tính chất truyền qua đường song song). C sai: nếu $a\perp b$ và $c\perp b$ thì $a$ và $c$ có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau, không nhất thiết song song (ví dụ trong hình lập phương, các cạnh xuất phát từ một đỉnh cùng vuông góc với một cạnh nhưng không song song). D đúng vì hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Vậy khẳng định sai là C, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\parallel BC$, do đó góc giữa $SC$ và $AD$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $SCB$ trong tam giác $SBC$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp BC$, tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $SB=3a$, $BC=a$. Khi đó $\tan (\widehat{SCB})=\frac{SB}{BC}=\frac{3a}{a}=3$, suy ra $\widehat{SCB}=\arctan 3\approx 71,57^{\circ }\approx 72^{\circ }$. Vậy $x=72$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. B đúng vì nếu $a//b$ và $c\perp b$ thì $c\perp a$. C đúng vì trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. D sai vì từ $a\perp c$ và $b\perp c$ chỉ suy ra $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$, chúng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ trong hình lập phương, các cạnh $AB$ và $BC$ cùng vuông góc với $A{A}^{\prime }$ nhưng cắt nhau). Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, Câu 11: D).

Theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 2 phần đúng sai: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SA$ và $BC$ bằng góc giữa $SA$ và $AD$, tức là góc $SAD$. Tam giác $SAD$ vuông tại $D$ (vì $SD\perp (ABCD)$) với $SD=2a$, $AD=a$, nên $\tan (\widehat{SAD})=\frac{SD}{AD}=\frac{2a}{a}=2$. Suy ra $x=\arctan 2\approx 63,43^{\circ }\approx 63^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (63).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đường thẳng $C{D}^{\prime }$ song song với $B{A}^{\prime }$ (vì $C{D}^{\prime }\parallel B{A}^{\prime }$ do $CD\parallel BA$ và $D{D}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, nên hai đường chéo của hai mặt song song $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BA{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ song song nhau). Do đó góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }$. Xét mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông, hai đường chéo $A{B}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }$ vuông góc với nhau (tính chất hai đường chéo hình vuông). Vậy góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hệ trục với $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),D^{\prime }(0;1;1)$, ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;0;1)$ và $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(-1;0;1)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=-1+0+1=0$, nên $A{B}^{\prime }\perp C{D}^{\prime }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $AAC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình chữ nhật). Trong mặt đáy $ABCD$, đường chéo $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông vuông góc nhau). Do đó $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$, tức góc giữa hai đường thẳng $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B^{\prime }(1,0,1)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1,0,-1)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0,1,-1)$. $\cos (\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{B^{\prime }C})=\frac{0+0+1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, nên góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ bằng $60^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2 Phần III: 60).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp lập phương $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ do $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$). Vậy góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $DC$ và $BD$, tức là góc $BDC$ trong hình vuông $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên đường chéo $BD$ tạo với cạnh $DC$ một góc $45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD\parallel BC$, do đó góc giữa $SB$ và $AD$ bằng góc giữa $SB$ và $BC$, tức là góc $SBC$ trong tam giác $SBC$. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau nên tam giác $SBC$ cân tại $S$ với $SB=SC=BC$, tức là tam giác đều. Vậy góc $SBC=60^{\circ }$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình lập phương cạnh $a$ với tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a)$, suy ra $B^{\prime }(a,0,a),D^{\prime }(0,a,a)$. Vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a,a,0)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0,0,a)$ có $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=0$, nên $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ (thực tế $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$). Với $\overrightarrow{AD}=(0,a,0)$: tích bằng $a^2\ne 0$; với $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,a,a)$: tích bằng $a^2\ne 0$; với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=(a,0,0)$: tích bằng $-a^2\ne 0$. Vậy chỉ có $B{B}^{\prime }$ vuông góc với $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AC$ là hai đường chéo song song của hai mặt phẳng song song $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$). Do đó góc giữa $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $AC$ và $CD$. Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ với $AD=CD$, nên $\widehat{ACD}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AC$ là hai đường chéo song song của hai mặt phẳng song song $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $ABCD$). Do đó góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $AC$ và $CD$. Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ với $AD=CD$, ta có $\widehat{ACD}=45^{\circ }$. Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $CD$ là $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (45).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, cho đường thẳng $d$ và điểm $O$ bất kỳ. Xét mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$ và vuông góc với $d$ (nếu $O\in d$ thì $(\alpha )$ là mặt phẳng vuông góc với $d$ tại $O$; nếu $O\notin d$ thì $(\alpha )$ là mặt phẳng vuông góc với $d$ và chứa $O$). Mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và đi qua $O$ đều vuông góc với $d$, vì chúng cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $d$. Trong mặt phẳng $(\alpha )$ có vô số đường thẳng đi qua $O$, nên có vô số đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $d$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 288, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì $AB\parallel DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$). Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: đây là tam giác vuông tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$ (hai cạnh của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), nên tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$. Suy ra góc $\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 288, câu 7: B).