Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ (triệu đồng).
Doanh thu khi nhà máy $A$ bán hết $x$ tấn sản phẩm cho nhà máy $B$ là:
$x.P(x)=x\left(45-0,001x^2\right)=45x-0,001x^3$.
Lợi nhuận thu được là: $L(x)=45x-0,001x^3-(100+30x)=-0,001x^3+15x-100$.
Ta có: $L^{\prime }(x)=-0,003x^2+15=0\iff \{\begin{array}{l}x\approx 70,7\\ x\approx -70,7\end{array}$
Bảng biến thiên:

Như vậy, nhà máy $A$ cần bán cho nhà máy $B$ $70,7$ tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V(x)=x(10-2x{)}^2=100x-40x^2+4x^3$ với $0<x<5$. Có $V^{\prime }(x)=100-80x+12x^2=0\iff 3x^2-20x+25=0\iff x=\frac{5}{3}$ (nhận) hoặc $x=5$ (loại). Tại $x=\frac{5}{3}$: $V=\frac{5}{3}\cdot {\left(10-\frac{10}{3}\right)}^2=\frac{5}{3}\cdot \frac{400}{9}=\frac{2000}{27}\approx 74,07\approx 74,1$ cm³. Kết quả trùng với đáp án nguồn 74,1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $s(0)=0\Rightarrow d=0$; $s(1)=5$; $s(3)=18$ (cực đại) và $s^{\prime }(3)=0$. Hệ: $a+b+c=5$, $9a+3b+c=6$, $27a+6b+c=0$ giải ra $a=-\frac{5}{4},b=\frac{11}{2},c=\frac{3}{4}$. Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{15}{4}{t}^2+11t+\frac{3}{4}$, đạt max tại $t=\frac{11}{2\cdot \frac{15}{4}}=\frac{22}{15}$ với $v_{\max }=-\frac{15}{4}\cdot \frac{484}{225}+11\cdot \frac{22}{15}+\frac{3}{4}=\frac{529}{60}\approx 8,82\approx 8,8$ km/h, khớp đáp án 8,8.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông bị cắt là $x$ (cm), $0<x<18$. Đáy hộp là hình vuông cạnh $36-2x$, chiều cao $x$, nên thể tích $V(x)=x(36-2x{)}^2$. Có $V^{\prime }(x)=(36-2x{)}^2+x\cdot 2(36-2x)(-2)=(36-2x)(36-6x)$. Trên $(0;18)$, $V^{\prime }(x)=0$ khi $x=6$; $V^{\prime }(x)>0$ với $x<6$ và $V^{\prime }(x)<0$ với $x>6$, nên $V$ đạt max tại $x=6$. Vậy cạnh hình vuông bị cắt là $6cm$ (khớp đáp án nguồn: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp chữ nhật có nắp với đáy vuông cạnh $x$ và chiều cao $h$ (theo hình vẽ, hai kích thước đáy đều bằng $x$). Tổng diện tích bề mặt: $2x^2+4xh=54\Rightarrow h=\frac{54-2x^2}{4x}$ với $0<x<\sqrt{27}$.

Thể tích: $V=x^{2}h=\frac{x(54-2x^2)}{4}=\frac{54x-2x^3}{4}$.

$V^{\prime }(x)=\frac{54-6x^2}{4}=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3$ (chọn $x>0$).

Vì $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<3$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>3$, thể tích lớn nhất đạt tại $x=3$ (cm). Kết quả khớp với đáp án nguồn: 3.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AC=3$ km, $CD=x$ km nên $AD=\sqrt{x^2+9}$ (km). a) Thời gian chèo trên $AD$ là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}$ giờ (tốc độ chèo 6 km/h), không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ → Sai. b) Vì $CB=8$ km, $D$ giữa $C$ và $B$ với $CD=x$ nên $BD=8-x$ km → Đúng. c) Tổng thời gian $T(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$, không phải mẫu 3 ở số hạng đầu → Sai. d) $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow 8x=6\sqrt{x^2+9}\Rightarrow 64x^2=36x^2+324\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,4$ km. Khi đó $T_{\min }=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ $\approx 1$ giờ 20 phút → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AD=\sqrt{x^2+9}$ km, tốc độ chèo 6 km/h nên thời gian là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}$ giờ, không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$D$ nằm giữa $C$ và $B$, $CB=8$ km, $CD=x$ km nên $BD=8-x$ km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$ (chèo 6 km/h, chạy 8 km/h), không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{8-x}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}$; $T_{\min }=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ $\approx 1$ giờ 20 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí làm hàng rào: mặt song song bờ sông dài $y$ (m) giá 60000 đ/m và ba mặt song song nhau mỗi mặt dài $x$ (m) giá 50000 đ/m, nên $60000y+3\cdot 50000x=15000000\iff 6y+15x=1500\Rightarrow y=\frac{500-5x}{2}$ với $0<x<100$.

a) SAI: Phương trình trong đề $x\cdot 60000+y\cdot 3\cdot 50000=15000000$ hoán đổi vai trò của $x$ và $y$; phương trình đúng là $60000y+3\cdot 50000x=15000000$.

b) ĐÚNG: $S=xy=x\cdot \frac{500-5x}{2}=250x-\frac{5}{2}{x}^2$.

c) ĐÚNG: $S^{\prime }(x)=250-5x=0\iff x=50\in (0;100)$; vì $S^{\prime \prime }(x)=-5<0$ nên $\max S=S(50)=250\cdot 50-\frac{5}{2}\cdot 2500=6250{\mathrm{m}}^2$.

d) ĐÚNG: Diện tích lớn nhất đạt khi $x=50$ m (khi đó $y=125$ m).

Khớp đáp án nguồn mã đề 3101, Phần II Câu 4: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình chi phí đúng là $60000y+3\cdot 50000x=15000000$ (mặt song song bờ sông dài $y$ giá 60000 đ/m, ba mặt dài $x$ giá 50000 đ/m). Đề viết $x\cdot 60000+y\cdot 3\cdot 50000$ là hoán đổi $x,y$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $60000y+150000x=15000000\Rightarrow y=\frac{500-5x}{2}$, nên $S=xy=250x-\frac{5}{2}{x}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S^{\prime }(x)=250-5x=0\Rightarrow x=50$; $S(50)=6250{\mathrm{m}}^2$ là giá trị lớn nhất vì $S^{\prime \prime }=-5<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích lớn nhất đạt tại $x=50$ m (khi đó $y=125$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=-6t^2+48t+6$ trên $[0;10]$. Xét $v^{\prime }(t)=-12t+48=0\Rightarrow t=4$. Vì $v^{\prime }(t)>0$ khi $t<4$ và $v^{\prime }(t)<0$ khi $t>4$, vận tốc lớn nhất tại $t=4$: $v(4)=-6\cdot 16+48\cdot 4+6=-96+192+6=102$ (m/s). So sánh: $v(0)=6$, $v(10)=-600+480+6=-114$. Kết quả khớp đáp án nguồn 102.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), $0<x\le 7$, chiều dài $2x$, chiều cao $h$. Thể tích $V=2x^{2}h=\frac{500}{3}\Rightarrow h=\frac{250}{3x^2}$. Diện tích bề mặt (không có nắp): $S=2x^2+2(2x+x)h=2x^2+\frac{500}{x}$. Xét $f(x)=2x^2+\frac{500}{x}$ trên $(0;7]$: $f^{\prime }(x)=4x-\frac{500}{x^2}=0\Rightarrow x^3=125\Rightarrow x=5$ (thỏa $x\le 7$). $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<5$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>5$ nên $x=5$ cho giá trị nhỏ nhất. Khi đó $h=\frac{250}{3\cdot 25}=\frac{10}{3}\approx 3,3$ m. Kết quả khớp đáp án nguồn 3,3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng bể là $x$ ($0<x\le 4$), chiều dài $2x$, chiều cao $h=\frac{36}{2x^2}=\frac{18}{x^2}$. Diện tích bề mặt bể (không có nắp): $S=2x^2+(2x+2x+x)h=2x^2+6x\cdot \frac{18}{x^2}=2x^2+\frac{108}{x}$. Xét $f(x)=2x^2+\frac{108}{x}$ trên $(0;4]$: $f^{\prime }(x)=4x-\frac{108}{x^2}=0\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3$ (thỏa $x\le 4$). Với $x<3$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>3$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$. Khi đó chiều cao $h=\frac{18}{3^2}=2$ m. Kết quả khớp đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1001: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x>0$ là khoảng cách từ chân thang (trên mặt đất ngoài bức tường) đến bức tường. Thang là đoạn thẳng từ chân thang, qua đỉnh tường (cao $3m$, cách chân thang $x$), chạm tòa nhà (cách tường $3m$). Theo tam giác đồng dạng, độ cao điểm chạm tòa nhà là $h=\frac{3(x+3)}{x}$. Chiều dài thang: $L=\sqrt{(x+3{)}^2+h^2}=\frac{(x+3)\sqrt{x^2+9}}{x}$. Xét $f(x)=\ln L=\ln (x+3)+\frac{1}{2}\ln (x^2+9)-\ln x$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{x}{x^2+9}-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3$. Khi đó $L_{\min }=\frac{6\sqrt{18}}{3}=6\sqrt{2}m$, nên $a=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên bờ sông gần, $K$ là hình chiếu của $B$ trên bờ sông xa. Đặt $HE=x$ ($0\le x\le 12$) thì $KF=12-x$. Khi đó $AE=\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$ và $BF=\sqrt{(12-x{)}^2+6^2}=\sqrt{(12-x{)}^2+36}$. Độ dài đường đi $AEFB$ (không kể $EF$ không đổi) là $f(x)=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{(12-x{)}^2+36}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}-\frac{12-x}{\sqrt{(12-x{)}^2+36}}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$: $\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{12-x}{\sqrt{(12-x{)}^2+36}}$. Bình phương hai vế: $x^2((12-x{)}^2+36)=(12-x{)}^2(x^2+16)\Rightarrow 36x^2=16(12-x{)}^2\Rightarrow 6x=4(12-x)\Rightarrow 10x=48\Rightarrow x=4,8$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<4,8$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>4,8$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=4,8$. Vậy $AE=\sqrt{4,8^2+16}=\sqrt{39,04}\approx 6,2482\approx 6,25$ km. Kết quả trùng với đáp án đề cho 6,25.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
+ Tính đúng $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln (3x)}{x^2}$
+ Tính đúng $f^{\prime }(x)=0\iff \ln (3x)=1\iff x=\frac{e}{3}$
+ Tính đúng: $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln \frac{3}{2}$, $f(2)=\frac{\ln 6}{2}$, $f\left(\frac{e}{3}\right)=\frac{3}{e}$
+ KL đúng: GTNN là $f(3)=2\ln \frac{3}{2}$. (Ghi chú: bản gốc in '$f(3)$'; khả năng in nhầm, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=\frac{1}{2}$, tức $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln \frac{3}{2}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $HE=x$ (km), khi đó $KF=10-x$ với $0\le x\le 10$. Vì $AH\perp$ bờ sông với $AH=4$ km và $BK\perp$ bờ sông với $BK=6$ km, độ dài cầu $EF$ không đổi nên tổng quãng đường đi bộ là $AE+FB=\sqrt{x^2+4^2}+\sqrt{(10-x{)}^2+6^2}$. Xét $f(x)=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{(10-x{)}^2+36}$ trên $[0;10]$, có $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}-\frac{10-x}{\sqrt{(10-x{)}^2+36}}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$: $\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{10-x}{\sqrt{(10-x{)}^2+36}}$, bình phương hai vế: $36x^2=16(10-x{)}^2\Rightarrow 6x=4(10-x)\Rightarrow x=4$. Khi đó $AE=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx 5,66$ km. Kiểm tra: $f(0)\approx 15,66$, $f(10)\approx 16,77$, $f(4)\approx 14,14$ nhỏ nhất. Vậy cần xây cầu tại vị trí $E$ cách $A$ khoảng $5,66$ km, khớp với đáp án đã cho.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
+ Tính đúng $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln (2x)}{x^2}$
+ Tính đúng $f^{\prime }(x)=0\iff \ln (2x)=1\iff x=\frac{e}{2}$
+ Tính đúng: $f(1)=\ln 2$, $f(3)=\frac{\ln 6}{3}$, $f\left(\frac{e}{2}\right)=\frac{2}{e}$
+ KL đúng: GTNN là $f(3)=\frac{\ln 6}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh song song với sông là $x$ (m), cạnh vuông góc là $y$ (m). Vì không rào phía sông nên $x+2y=180\Rightarrow x=180-2y$ với $0<y<90$. Diện tích $S(y)=xy=(180-2y)y=-2y^2+180y$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $y=-\frac{180}{2(-2)}=45$, khi đó $x=90$ và $S_{max}=90\cdot 45=4050$ ($m^2$). Vậy $A=4050$, khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 3: 4050).

Gọi 2x (cm) là độ dài cạnh thuộc đường kính và y (cm) là độ dài cạnh còn lại
$0<x<48,0<y<48$
$x^2+y^2=48^2\iff y=\sqrt{48^2-x^2}$
Diện tích là
$f(x)=2x\sqrt{48^2-x^2}$
$f^{\prime }(x)=0\iff x=24\sqrt{2}$
Giá trị lớn nhất là $2304c{m}^2$

Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt
$0<x<20$
Cạnh đáy là 40-2x
Thể tích hộp là $V(x)=(40-2x{)}^{2}x$
$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{20}{3}$
Vậy cabhj hình vuông bị cắt là $\frac{20}{3}cm$ (ghi chú: 'cabhj' là lỗi đánh máy trong nguồn, ý là 'cạnh')