Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Sau thời gian $t$, người đi xe đạp cách $O$ một đoạn $30-15t$ (km) theo phương ngang, khinh khí cầu ở độ cao $10t$ (km). Khoảng cách giữa hai vật là $d(t)=\sqrt{(30-15t{)}^2+(10t{)}^2}$. Xét $f(t)=d(t{)}^2=325t^2-900t+900$. $f^{\prime }(t)=650t-900=0\Rightarrow t=\frac{900}{650}=\frac{18}{13}\approx 1,3846$. Vì $f^{\prime \prime }(t)=650>0$ nên đây là giá trị nhỏ nhất. Vậy $t\approx 1,38$ giờ, khớp với đáp án nguồn 1,38.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng cân nặng của cá trên một đơn vị diện tích là $W(n)=n\cdot P(n)=480n-20n^2$. Cân nặng trung bình của số cá tăng khi $W(n)$ đồng biến, tức $W^{\prime }(n)=480-40n>0\iff n<12$. Kết hợp $n>0$ (số con cá) nên khoảng cần tìm là $(a;b)=(0;12)$, suy ra $a+b=0+12=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $L(x)=220x-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ trên $[1;18]$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x-10)(x+8)$, nên $L^{\prime }(x)=0$ khi $x=10$ (nhận, $x=-8$ loại). Trên $[1;10)$ có $L^{\prime }>0$, trên $(10;18]$ có $L^{\prime }<0$ nên $L$ đạt max tại $x=10$. $L(10)=-1000+300+2400-500=1200$ nghìn đồng $=1,2$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $f(x)=TR-TC=(-2x^2+1312x)-(x^3-77x^2+1000x+40000)=-x^3+75x^2+312x-40000$, với $x\ge 0$.

$f^{\prime }(x)=-3x^2+150x+312=-3(x^2-50x-104)$.

$f^{\prime }(x)=0\iff x^2-50x-104=0\iff x=\frac{50\pm \sqrt{2500+416}}{2}=\frac{50\pm \sqrt{2916}}{2}=\frac{50\pm 54}{2}$, tức $x=52$ hoặc $x=-2$ (loại vì $x\ge 0$).

Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<52$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>52$, hàm $f$ đạt cực đại tại $x=52$.

Vậy lợi nhuận cực đại khi sản xuất $52$ sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $L(x)=220x-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ trên $[1;18]$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x-10)(x+8)=0\Rightarrow x=10$ (nhận, $x=-8$ loại). Trên $[1;10)$ có $L^{\prime }>0$, trên $(10;18]$ có $L^{\prime }<0$ nên $L$ đạt cực đại tại $x=10$. $L(10)=-1000+300+2400-500=1200$ nghìn đồng $=1,2$ triệu đồng. Vậy lợi nhuận tối đa trong một ngày là $1,2$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc và gấp lại, hộp không nắp có kích thước: chiều cao $x$, chiều rộng $30-2x$, chiều dài $80-2x$, với $5\le x\le 8$. Thể tích: $$V(x)=x(30-2x)(80-2x)=4x^3-220x^2+2400x.$$ $$V^{\prime }(x)=12x^2-440x+2400=4(3x^2-110x+600).$$ Giải $V^{\prime }(x)=0$: $3x^2-110x+600=0$, $\Delta =110^2-4\cdot 3\cdot 600=4900$, $\sqrt{\Delta }=70$, nên $x=\frac{110\pm 70}{6}$, tức $x=30$ (loại vì $x\le 8$) hoặc $x=\frac{20}{3}\approx 6,67$. Trên $[5;8]$: $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<\frac{20}{3}$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>\frac{20}{3}$, nên $V$ đạt max tại $x=\frac{20}{3}$. Khi đó $$V\left(\frac{20}{3}\right)=\frac{20}{3}\cdot \frac{50}{3}\cdot \frac{200}{3}=\frac{200000}{27}\approx 7407,4c{m}^3.$$ Vậy $x\approx 6,7cm$ để thể tích hộp lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $OP=x$ với $0\le x\le 4$ (km). Khi đó quãng đường chèo thuyền là $AP=\sqrt{A{O}^2+O{P}^2}=\sqrt{4+x^2}$, quãng đường chạy bộ là $PB=4-x$.

Tổng thời gian: $$T(x)=\frac{\sqrt{4+x^2}}{6}+\frac{4-x}{10}.$$

Tính đạo hàm: $$T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{4+x^2}}-\frac{1}{10}.$$

$T^{\prime }(x)=0\iff \frac{x}{6\sqrt{4+x^2}}=\frac{1}{10}\iff 10x=6\sqrt{4+x^2}\iff 100x^2=36(4+x^2)\iff 64x^2=144\iff x=1,5$ (nhận vì $x\ge 0$).

Với $x=1,5$: $AP=\sqrt{4+2,25}=2,5$ km, nên $$T=\frac{2,5}{6}+\frac{2,5}{10}=\frac{5}{12}+\frac{1}{4}=\frac{2}{3}\text{ giờ}=40\text{ phuˊt}.$$

So sánh với hai đầu: $T(0)=\frac{2}{6}+\frac{4}{10}=\frac{11}{15}$ giờ $=44$ phút; $T(4)=\frac{\sqrt{20}}{6}\approx 0,745$ giờ $\approx 44,7$ phút. Vậy thời gian ngắn nhất là $40$ phút, đạt khi anh Bảo chèo vào bờ tại điểm $P$ cách $O$ một khoảng $1,5$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 10 nghìn đồng ($x\ge 0$). Khi đó giá bán là $p=78+10x$ (nghìn đồng) và số sản phẩm bán được mỗi tháng là $q=160-20x$ (sản phẩm), với điều kiện $0\le x\le 8$ để $q\ge 0$.

Lợi nhuận trên mỗi sản phẩm: $(78+10x)-38=40+10x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận mỗi tháng:
$$P(x)=(40+10x)(160-20x)=6400+800x-200x^2\text{ (nghıˋn đoˆˋng)}.$$

Xét hàm số $P(x)=-200x^2+800x+6400$ trên $[0;8]$:
$$P^{\prime }(x)=-400x+800=0\iff x=2.$$

Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<2$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>2$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $x=2$.

$P(2)=(40+20)(160-40)=60\cdot 120=7200$ (nghìn đồng).

Vậy doanh nghiệp nên bán với giá $78+10\cdot 2=98$ nghìn đồng mỗi sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất (lợi nhuận tối đa 7 200 nghìn đồng = 7,2 triệu đồng mỗi tháng).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N(t)=1000+30t^2-t^3$ với $0\le t\le 30$ (t tính bằng phút). Xét $N^{\prime }(t)=60t-3t^2=3t(20-t)$. Trên $[0;30]$: $N^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<20$ và $N^{\prime }(t)<0$ khi $20<t<30$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t=20$ (phút), khi đó $N(20)=1000+30\cdot 400-8000=5000$ vi khuẩn. Vì câu hỏi hỏi sau bao nhiêu **giây**, ta đổi $20$ phút $=1200$ giây. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $c(t)=\frac{t}{t^2+1}$ với $t\ge 0$. Ta có $c^{\prime }(t)=\frac{(t^2+1)-t\cdot 2t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{1-t^2}{(t^2+1{)}^2}$. Cho $c^{\prime }(t)=0\Rightarrow t=1$ (vì $t\ge 0$). Với $0<t<1$ thì $c^{\prime }(t)>0$, với $t>1$ thì $c^{\prime }(t)<0$, nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $t=1$. Vậy nồng độ thuốc cao nhất sau 1 giờ. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tấm bìa $3m\times 8m$, cắt mỗi góc hình vuông cạnh $x$ rồi gấp thành hộp không nắp có chiều cao $x$, đáy là hình chữ nhật $(8-2x)\times (3-2x)$. a) Cần $x>0$ và $3-2x>0$ nên $0<x<\frac{3}{2}$: đúng. b) Diện tích mặt đáy là $(8-2x)(3-2x)$: đúng. c) Thể tích $V=x(8-2x)(3-2x)$, không phải $(8-2x{)}^2(3-2x)$: sai. d) $V(x)=4x^3-22x^2+24x$, $V^{\prime }(x)=4(3x^2-11x+6)=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ (nhận) hoặc $x=3$ (loại); $V$ đạt max tại $x=\frac{2}{3}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x>0$ và $3-2x>0$ nên $0<x<\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáy hộp có kích thước $(8-2x)\times (3-2x)$ nên diện tích là $(8-2x)(3-2x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V=x(8-2x)(3-2x)$, không phải $(8-2x{)}^2(3-2x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V(x)=4x^3-22x^2+24x$, $V^{\prime }(x)=4(3x^2-11x+6)=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$ (nhận) hoặc $x=3$ (loại); $V$ đạt max tại $x=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy là $x>0$, chiều cao $h>0$. Thể tích $x^{2}h=32\Rightarrow h=\frac{32}{x^2}$. Diện tích vật liệu (không có nắp): $S=x^2+4xh=x^2+\frac{128}{x}$. Chi phí nhỏ nhất khi $S$ nhỏ nhất: $S^{\prime }(x)=2x-\frac{128}{x^2}=0\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=4$, khi đó $h=2$. $S=16+\frac{128}{4}=48$ m${}^2$. Chi phí $=48\times 600000=28800000$ đồng $=28,8$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x là số lần tăng giá 100 nghìn đồng (x ≥ 0, x ≤ 200). Giá thuê mỗi căn: p = 10 + 0,1x (triệu đồng). Số căn có người thuê: 200 − x. Doanh thu: R(x) = (10 + 0,1x)(200 − x) = 2000 + 10x − 0,1x². R'(x) = 10 − 0,2x = 0 ⟹ x = 50. R(50) = (10 + 5)(150) = 15 · 150 = 2250. Vậy doanh thu lớn nhất là 2250 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích thùng: $x^{2}h=665,5\Rightarrow h=\frac{665,5}{x^2}$ với $x>0$. Miếng tôn hình chữ thập gồm đáy vuông cạnh $x$ cộng 4 hình chữ nhật cạnh $x\times h$, nên diện tích $S=x^2+4xh=x^2+\frac{2662}{x}$. Xét $f(x)=x^2+\frac{2662}{x}$, $x>0$: $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2662}{x^2}=0\Rightarrow x^3=1331\Rightarrow x=11$. Vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<11$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>11$, hàm số đạt cực tiểu (cũng là giá trị nhỏ nhất) tại $x=11$. Vậy $x=11$ dm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là cạnh đáy (m), $h$ là chiều cao (m). Thể tích $V=x^{2}h=64\Rightarrow h=\frac{64}{x^2}$ (m) với $x>0$.

a) Diện tích đáy: $x^2$, chi phí đáy: $k{x}^2$. Diện tích 4 mặt bên: $4xh=4x\cdot \frac{64}{x^2}=\frac{256}{x}$, chi phí các mặt bên: $\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=\frac{64k}{x}$. Vậy $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+\frac{256k}{x}$ → SAI.

b) $h=\frac{64}{x^2}$ → ĐÚNG.

c) Tổng diện tích bề mặt vật liệu: $x^2+\frac{256}{x}$ (m²), không phải $x^2+\frac{128}{x}$ → SAI.

d) $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, $C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\Rightarrow x^3=32\Rightarrow x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m (do $C^{\prime }(x)<0$ khi $x<\sqrt[3]{32}$ và $C^{\prime }(x)>0$ khi $x>\sqrt[3]{32}$). Vậy chi phí nhỏ nhất khi $x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m, không phải 4 m → SAI.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần II câu 1: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí đúng là $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$ vì chi phí mặt bên $=\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+\frac{256k}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $V=x^{2}h=64$ suy ra $h=\frac{64}{x^2}$ (m).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích là $x^2+4xh=x^2+\frac{256}{x}$ (m²), không phải $x^2+\frac{128}{x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\Rightarrow x=\sqrt[3]{32}\approx 3,17$ m, không phải 4 m.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận (nghìn đồng): P(x) = F(x) - x·G(x) = -0,01x² + 300x - (30000 + 200x) = -0,01x² + 100x - 30000. Yêu cầu P(x) > 100 triệu = 100000 nghìn đồng: -0,01x² + 100x - 130000 > 0 ⟺ x² - 10000x + 13000000 < 0. Nghiệm: x = 5000 ± 2000√3, với 2000√3 ≈ 3464,10 nên 1535,90 < x < 8464,10. Kết hợp 1 ≤ x ≤ 4500 và x nguyên: x ≥ 1536. Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 1536 sản phẩm, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích bồn: $V=x^{2}h=64\Rightarrow h=\frac{64}{x^2}$ (m), với $x$ là cạnh đáy hình vuông.

a) Diện tích bề mặt vật liệu (không nắp) gồm đáy và 4 mặt bên: $S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{64}{x^2}=x^2+\frac{256}{x}$ $(m^2)$. Đề nói $x^2+\frac{128}{x}$ nên SAI.

b) Tổng chi phí: $C(x)=k\cdot x^2+\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=k{x}^2+\frac{64k}{x}$ (nghìn đồng). Đề nói $k{x}^2+k\frac{256}{x}$ nên SAI.

c) $h=\frac{64}{x^2}$ (m) — ĐÚNG.

d) Xét $C(x)=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, $x>0$. $C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\iff x^3=32\iff x=\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]{4}\approx 3,17$ m. Vì $C^{\prime }(x)<0$ khi $x<\sqrt[3]{32}$ và $C^{\prime }(x)>0$ khi $x>\sqrt[3]{32}$, chi phí nhỏ nhất tại $x=\sqrt[3]{32}\ne 4$ m nên SAI.

Kết quả khớp đáp án nguồn (bảng đáp án trang 9, mã đề 1001, Phần II câu 2: S-S-Đ-S): chỉ ý c đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S=x^2+4xh=x^2+\frac{256}{x}$, không phải $x^2+\frac{128}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $C(x)=k{x}^2+\frac{k}{4}\cdot \frac{256}{x}=k{x}^2+\frac{64k}{x}$, không phải $k{x}^2+k\frac{256}{x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ $x^{2}h=64$ suy ra $h=\frac{64}{x^2}$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $C^{\prime }(x)=2kx-\frac{64k}{x^2}=0\iff x=\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]{4}\approx 3,17$ m, không phải 4 m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đi qua $B(-1;0)$, $A\left(4;\frac{5}{3}\right)$ và cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$. Suy ra $\frac{b}{d}=1\Rightarrow b=d$; tại $B$: $-a+b=0\Rightarrow a=b=d$. Tại $A$: $\frac{5a}{4c+a}=\frac{5}{3}\Rightarrow 15a=20c+5a\Rightarrow c=\frac{a}{2}$. Vậy $y=\frac{2(x+1)}{x+2}$, với $x\in [-1;4]$. Xét $f(x)=O{M}^2=x^2+{\left(\frac{2(x+1)}{x+2}\right)}^2$. Có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+2{)}^2}$, nên $f^{\prime }(x)=2x+\frac{8(x+1)}{(x+2{)}^3}=0\iff x(x+2{)}^3=-4(x+1)$. Thử nghiệm cho nghiệm $x\approx -0,586$ (thuộc $[-1;4]$), khi đó $y=\frac{2(0,414)}{1,414}\approx 0,5855$. Khi đó $O{M}_{\min }=\sqrt{(-0,586{)}^2+(0,5855{)}^2}\approx \sqrt{0,686}\approx 0,83$. Kiểm tra hai đầu: tại $B$, $OM=1$; tại $A$, $OM=\sqrt{16+25/9}\approx 4,41$. Vậy khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến $O$ là $0,83$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đi qua $B(-1;0)$, cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$ và đi qua $A\left(4;\frac{5}{3}\right)$. Suy ra $b=d$, $-a+b=0\Rightarrow a=b=d$; tại $A$: $\frac{5a}{4c+a}=\frac{5}{3}\Rightarrow 20c=10a\Rightarrow c=\frac{a}{2}$. Chọn $a=2$ được $y=\frac{2(x+1)}{x+2}$ (tiệm cận ngang $y=2$ khớp hình vẽ). Với $M(x;y)$ trên cung, $x\in [-1;4]$: $O{M}^2=x^2+\frac{4(x+1{)}^2}{(x+2{)}^2}$. Đặt $t=x+2\in [1;6]$: $g(t)=t^2-4t+8-\frac{8}{t}+\frac{4}{t^2}$, $g^{\prime }(t)=2t-4+\frac{8}{t^2}-\frac{8}{t^3}=0\iff t^4-2t^3+4t-4=0\iff t=\sqrt{2}$ (nghiệm duy nhất trong $[1;6]$, vì $g^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương). Khi đó $g(\sqrt{2})=12-8\sqrt{2}\approx 0,6863$, nên $O{M}_{\min }=\sqrt{12-8\sqrt{2}}\approx 0,8284\approx 0,83$, trùng với đáp án nguồn 0,83.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V(x)=x(30-2x)(80-2x)=4x^3-220x^2+2400x$ với $0<x<15$. Ta có $V^{\prime }(x)=12x^2-440x+2400=4(3x^2-110x+600)$. Giải $3x^2-110x+600=0$ được $x=\frac{110\pm 70}{6}$, tức $x=30$ (loại vì $x<15$) hoặc $x=\frac{40}{6}\approx 6,67$. Xét dấu $V^{\prime }$: $V^{\prime }>0$ khi $0<x<\frac{40}{6}$ và $V^{\prime }<0$ khi $\frac{40}{6}<x<15$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{40}{6}\approx 6,7cm$. Kết quả khớp đáp án nguồn 6.7.