Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 1000 đồng. Giá bán: $30000+1000x$; số khăn bán: $3000-100x$ (với $0\le x\le 30$); lãi mỗi chiếc: $30000+1000x-18000=12000+1000x$. Lợi nhuận: $P(x)=(12000+1000x)(3000-100x)=-100000x^2+1800000x+36000000$. $P^{\prime }(x)=-200000x+1800000=0\Rightarrow x=9$. Khi đó: giá bán $=30000+9000=39000$ đồng; lãi mỗi chiếc $=12000+9000=21000$ đồng; số khăn bán $=3000-900=2100$ chiếc, tức giảm 900 chiếc. Vậy a) sai (cần tăng thêm 9000 đồng, không phải 10000); b) đúng; c) đúng; d) sai (giảm 900 chiếc, không phải 800).
a) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận lớn nhất khi $x=9$, tức tăng thêm 9000 đồng chứ không phải 10000 đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá bán tối ưu: $30000+9\cdot 1000=39000$ đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lãi mỗi chiếc: $39000-18000=21000$ đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số khăn bán ra: $3000-9\cdot 100=2100$, giảm 900 chiếc chứ không phải 800.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 100000 đồng. Giá thuê: $2+0,1x$ (triệu đồng); số căn trống: $5x$; số căn có người thuê: $150-5x$ với $0\le x\le 30$. Thu nhập: $T(x)=(2+0,1x)(150-5x)=300+5x-0,5x^2$. $T^{\prime }(x)=5-x=0\Rightarrow x=5$, $T^{\prime \prime }(x)=-0,5<0$ nên $T$ đạt max tại $x=5$: giá thuê $2,5$ triệu đồng, thu nhập $T(5)=312,5$ triệu đồng, số căn có người thuê $150-25=125$.
a) Giá $2,2$ triệu $\Rightarrow x=2\Rightarrow 10$ căn trống. Đúng.
b) Thu nhập cao nhất khi giá $2,5$ triệu, không phải $2,7$ triệu. Sai.
c) $T_{\max }=312,5$ triệu đồng $=\mathrm{312.500.000}$ đồng. Đúng.
d) Số căn có người thuê khi thu nhập max là $125$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá 2,2 triệu nghĩa là tăng 2 lần (x=2), số căn trống 5·2=10.
b) (AI giải đề cho tôi)
T(x)=300+5x−0,5x² đạt max tại x=5, tức giá 2,5 triệu đồng, không phải 2,7 triệu.
c) (AI giải đề cho tôi)
T(5)=(2,5)(125)=312,5 triệu đồng = 312.500.000 đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi x=5, số căn có người thuê là 150−25=125 căn.

(AI giải đề cho tôi)
a) f'(x)=3x^2-16x+16>0 trên [-1;1] nên f đồng biến; f(-1)=-34, f(1)=0, GTLN bằng 0 → đúng.
b) Trên [1;3], f đạt cực đại tại x=4/3: f(4/3)=13/27, f(1)=0, f(3)=-6. Vậy a=13/27, b=-6, suy ra 27a-b=13+6=19≠13 → sai.
c) h(x)=x+1/(x-1) trên (1;+∞), h'(x)=1-1/(x-1)^2, đạt min tại x=2 với h(2)=3 → đúng.
d) G'(x)=0,025(60x-3x^2)=0,075x(20-x), G tăng trên (0;20), giảm trên (20;+∞), max tại x=20 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-16x+16>0 trên [-1;1] nên f đồng biến; f(-1)=-34, f(1)=0, GTLN là 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;3]: f(1)=0, f(4/3)=13/27 (cực đại), f(3)=-6. Vậy a=13/27, b=-6, 27a-b=19≠13.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=x+1/(x-1), h'(x)=1-1/(x-1)^2=0 tại x=2, h(2)=3 là GTLN... GTNN trên (1;+∞) bằng 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
G'(x)=0,075x(20-x)=0 tại x=20; G tăng trên (0;20) và giảm trên (20;+∞) nên liều 20 mg cho huyết áp giảm nhiều nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x+m}{x-1}=1+\frac{m+1}{x-1}$, nên $y^{\prime }=\frac{-(m+1)}{(x-1{)}^2}$.
a) Khi $m=2$: $y=1+\frac{3}{x-1}$ nghịch biến trên $[2;5]$ (vì $m+1=3>0$). GTLN $=y(2)=1+3=4$. Đúng.
b) Cùng trường hợp, GTNN $=y(5)=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$. Đúng.
c) Khi $m<-1$ thì $m+1<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên $[2;4]$, do đó GTNN là $y(2)$, không phải $y(4)$. Sai.
d) Xét ${\min }_{[2;4]}y=3$: nếu $m>-1$ hàm nghịch biến, min $=y(4)=\frac{4+m}{3}=3\Rightarrow m=5$ (thỏa $m>-1$). Nếu $m<-1$ hàm đồng biến, min $=y(2)=2+m=3\Rightarrow m=1$ (loại vì mâu thuẫn $m<-1$). Nếu $m=-1$ thì $y=1$, min $=1\ne 3$. Vậy chỉ có $m=5$, không phải $1\le m<3$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $y=1+\frac{3}{x-1}$ nghịch biến trên $[2;5]$ nên GTLN $=y(2)=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, hàm nghịch biến trên $[2;5]$ nên GTNN $=y(5)=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m<-1$, $y^{\prime }=\frac{-(m+1)}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên $[2;4]$, GTNN là $y(2)$ chứ không phải $y(4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $m>-1$: min $=y(4)=\frac{4+m}{3}=3\Rightarrow m=5$. Nếu $m<-1$: min $=y(2)=2+m=3\Rightarrow m=1$ (loại). Nếu $m=-1$: $y=1$, min $=1$. Vậy chỉ có $m=5$, khẳng định $1\le m<3$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=24t+5t^2-\frac{t^3}{3}$ với $t\ge 0$. Có $h^{\prime }(t)=24+10t-t^2$. Cho $h^{\prime }(t)=0\iff t^2-10t-24=0\iff t=12$ (nhận, $t>0$) hoặc $t=-2$ (loại). Vì $h^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<12$ và $h^{\prime }(t)<0$ khi $t>12$, mực nước cao nhất tại $t=12$, tức lúc $8+12=20$ giờ. Theo quy định phải thông báo trước 5 giờ nên cần thông báo lúc $20-5=15$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=3x+\frac{4}{x^2}$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=3-\frac{8}{x^3}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^3=\frac{8}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\approx 1,387$. Với $0<x<\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$. Khi đó $y_{\min }=3\cdot \frac{2}{\sqrt[3]{3}}+\frac{4}{{\left(\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\right)}^2}=\frac{6}{\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{9}=3^{2/3}(2+1)=3\cdot 3^{2/3}=3^{5/3}\approx 6,2403$. Làm tròn đến chữ số đầu tiên sau dấu phẩy: $6,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x-m}{x+1}=1-\frac{m+1}{x+1}$. Trên đoạn $[1;3]$, hàm số có $y^{\prime }=\frac{m+1}{(x+1{)}^2}$ và $x+1\ne 0$ nên hàm số liên tục và đơn điệu trên $[1;3]$ (tăng nếu $m>-1$, giảm nếu $m<-1$; nếu $m=-1$ thì $y=1$ hằng, không đạt GTLN bằng 2). Do đó GTLN đạt tại một đầu mút: $y(1)=\frac{1-m}{2}$, $y(3)=\frac{3-m}{4}$.
- Nếu hàm tăng ($m>-1$): max $=y(3)=\frac{3-m}{4}=2\Rightarrow m=-5$ (loại vì $m<-1$).
- Nếu hàm giảm ($m<-1$): max $=y(1)=\frac{1-m}{2}=2\Rightarrow m=-3$, thỏa $m<-1$.
Vậy $m=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=x^4-8x^2$ trên $[1;2]$. Ta có $g^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)$. Trên $[1;2]$ thì $x^2-4\le 0$ nên $g^{\prime }(x)\le 0$, hàm số nghịch biến. Do đó ${\max }_{[1;2]}g=g(1)=1-8=-7$ (và $g(2)=16-32=-16$). Vậy $M=m-7\le 12\iff m\le 19$. Các giá trị nguyên dương của $m$ là $1,2,\dots ,19$, tổng bằng $\frac{19\cdot 20}{2}=190$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì $t\in [0;1]$. Khi đó $y=\frac{3t+2}{t+1}=\frac{3(t+1)-1}{t+1}=3-\frac{1}{t+1}$. Hàm số này đồng biến trên $[0;1]$ nên $m=y(0)=2$, $M=y(1)=\frac{5}{2}$. Suy ra $M^2+m^2=\frac{25}{4}+4=\frac{41}{4}$, do đó $b=41$, $c=4$ và $T=b-c=37$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu của hãng khi đại lí mua $x$ chiếc là $f(x)=x(6000-3x)=6000x-3x^2$ (nghìn đồng), với $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $x<2000$. Xét hàm $f(x)=-3x^2+6000x$ trên $(0;2000)$. Ta có $f^{\prime }(x)=-6x+6000$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=1000$. Vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1000$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>1000$ nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất trên khoảng) tại $x=1000$. Vậy đại lí nên nhập cùng lúc 1000 chiếc điện thoại để hãng thu về nhiều tiền nhất, khi đó doanh thu là $f(1000)=3000000$ nghìn đồng (3 tỷ đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm logistic $f(t)=\frac{12000}{1+23e^{-0,5t}}$ có tốc độ tăng trưởng $f^{\prime }(t)=\frac{12000\cdot 23\cdot 0,5e^{-0,5t}}{{\left(1+23e^{-0,5t}\right)}^2}$. Tốc độ tăng trưởng của hàm logistic đạt cực đại khi $1+23e^{-0,5t}=2$, tức $23e^{-0,5t}=1$, suy ra $e^{0,5t}=23\Rightarrow t=\frac{\ln 23}{0,5}=2\ln 23\approx 6,27$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $t\approx 6$ tháng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(t)=\frac{12000}{1+23e^{-0,5t}}$ là hàm logistic. Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{12000\cdot 23\cdot 0,5e^{-0,5t}}{{\left(1+23e^{-0,5t}\right)}^2}=\frac{138000e^{-0,5t}}{{\left(1+23e^{-0,5t}\right)}^2}$. Tốc độ tăng trưởng $f^{\prime }(t)$ đạt lớn nhất khi $f^{\prime \prime }(t)=0$, tương ứng với điểm uốn của hàm logistic, tức khi $23e^{-0,5t}=1$ (khi đó $f(t)=6000$, nửa giá trị tiệm cận). Suy ra $e^{-0,5t}=\frac{1}{23}\Rightarrow 0,5t=\ln 23\Rightarrow t=2\ln 23\approx 6,27$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $t\approx 6$ tháng. Kết quả này khớp với đáp án nguồn (đáp án 2 là 6).

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí tàu A: $(7+36t;-8+8t)$, tàu B: $(9+8t;5-36t)$. Bình phương khoảng cách giữa hai tàu: $d^2(t)=(9+8t-7-36t{)}^2+(5-36t+8-8t{)}^2=(2-28t{)}^2+(13-44t{)}^2$. Khai triển: $d^2(t)=4-112t+784t^2+169-1144t+1936t^2=2720t^2-1256t+173$. Hàm bậc hai với $a=2720>0$ nên đạt cực tiểu tại $t=\frac{1256}{2\cdot 2720}=\frac{1256}{5440}=\frac{157}{680}$ (rút gọn với $\gcd =8$). Vậy $a=157,b=680$, $b-a=680-157=523$.

Lời giải:
Hàm lợi nhuận = Tổng doanh thu – chi phí
Doanh thu:
$F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$
Chi phí sản xuất của x sản phẩm:
$C(x)=x.G(x)=x\left(x+1000+\frac{250000}{x}\right)$
$C(x)=x.G(x)=x^2+1000x+250000$
Lợi nhuận: $L(x)=F(x)-C(x)$
$L(x)=F(x)-C(x)=x^3-2000x^2+1000000x$
$L^{\prime }(x)=3x^2-4000x+1000000$
$L^{\prime }(x)=0\iff x=1000(loại);x=1000/3\approx 333,33$.



$L\left(333\right)>L\left(334\right)$
Đáp án: 333.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\theta$ là góc tạo bởi thang với mặt đất. Thang chạm mép mái che (cách đất 10 m, cách tường 12 m) rồi tới tường, nên độ dài thang là $L(\theta )=\frac{10}{\sin \theta }+\frac{12}{\cos \theta }$, với $0<\theta <\frac{\pi }{2}$.

Tìm cực tiểu: $L^{\prime }(\theta )=-\frac{10\cos \theta }{{\sin }^2\theta }+\frac{12\sin \theta }{{\cos }^2\theta }=0$ $\Rightarrow 12{\sin }^3\theta =10{\cos }^3\theta$ $\Rightarrow {\tan }^3\theta =\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$, tức $\tan \theta =\sqrt[3]{\frac{5}{6}}\approx 0,9410$.

Suy ra $\sin \theta \approx 0,6853$, $\cos \theta \approx 0,7283$, nên $L\approx \frac{10}{0,6853}+\frac{12}{0,7283}\approx 14,592+16,479\approx 31,07$.

Vậy độ dài ngắn nhất của thang khoảng $31,1$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ với $a,b,c>0$. Khi đó $a\cdot c=\frac{xy}{z}\cdot \frac{xz}{y}=x^2$, tương tự $ab=y^2$, $bc=z^2$, nên điều kiện $x^2+y^2+z^2=3$ trở thành $ab+bc+ca=3$. Bài toán trở thành: tìm $\min (a+b+c)$ với $ab+bc+ca=3$. Ta có $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge 3(ab+bc+ca)$ (vì $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$), suy ra $(a+b+c{)}^2\ge 9\Rightarrow P=a+b+c\ge 3$. Dấu bằng khi $a=b=c=1$, tức $x=y=z=1$ (thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$). Vậy $\min P=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu khi bán $x$ mét vải là $220x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận: $L(x)=220x-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$, với $1\le x\le 18$.

$L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240=-3(x^2-2x-80)=-3(x-10)(x+8)$.

Trên $[1;18]$: $L^{\prime }(x)>0$ khi $1\le x<10$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $10<x\le 18$, nên hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=10$.

$L(10)=-1000+300+2400-500=1200$ (nghìn đồng).

Vậy lợi nhuận tối đa trong một ngày là $1200$ nghìn đồng (tức 1,2 triệu đồng), đạt khi sản xuất và bán $10$ mét vải mỗi ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V=x^{2}h=4000\Rightarrow h=\frac{4000}{x^2}$ với $x>0$.

Diện tích bìa các tông (đáy hình vuông cộng 4 mặt bên, hộp không nắp):
$$S(x)=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{4000}{x^2}=x^2+\frac{16000}{x},x>0.$$

Xét hàm $S(x)=x^2+\frac{16000}{x}$ trên $(0;+\infty )$:
$$S^{\prime }(x)=2x-\frac{16000}{x^2}.$$

$S^{\prime }(x)=0\iff 2x^3=16000\iff x^3=8000\iff x=20$ (cm).

Với $0<x<20$ thì $S^{\prime }(x)<0$; với $x>20$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên hàm $S(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=20$. Khi đó $h=\frac{4000}{400}=10$ (cm) và $S_{\min }=400+800=1200{\mathrm{cm}}^2$.

Vậy độ dài cạnh hình vuông cần tìm là $x=20$ cm để hộp tốn ít bìa các tông nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống bờ sông, $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống bờ sông (cùng phía như hình vẽ). Gọi $E$ là đầu cầu phía bờ của $A$, $F$ là đầu cầu phía bờ của $B$, với $HE=x$ (km), $0\le x\le 20$ thì $KF=20-x$.

Vì $A$ cách bờ sông 4 km nên $AE=\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$; vì $B$ cách bờ sông 6 km nên $BF=\sqrt{(20-x{)}^2+6^2}=\sqrt{(20-x{)}^2+36}$. Độ dài cầu $EF$ không đổi nên chỉ cần tối thiểu tổng:
$$f(x)=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{(20-x{)}^2+36}.$$

Ta có
$$f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}-\frac{20-x}{\sqrt{(20-x{)}^2+36}}.$$

$f^{\prime }(x)=0⟺\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{20-x}{\sqrt{(20-x{)}^2+36}}$. Bình phương hai vế (cùng không âm):
$$x^2\left((20-x{)}^2+36\right)=(20-x{)}^2\left(x^2+16\right)⟺36x^2=16(20-x{)}^2⟺6x=4(20-x)⟺x=8.$$

Bảng biến thiên: với $x<8$ thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>8$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=8$, tức $HE=8$ km.

Vậy cây cầu phải được xây sao cho khoảng cách từ thành phố $A$ đến đầu cầu $E$ là
$$AE=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}\approx 8,9\text{ km}$$
(khoảng cách theo phương bờ sông từ $H$ đến $E$ là $8$ km) để đường đi $A\to E\to F\to B$ ngắn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thời gian cá bơi hết 100 km ngược dòng là $t=\frac{100}{v-5}$ (giờ). Năng lượng tiêu hao: $E(v)=c{v}^3\cdot \frac{100}{v-5}=\frac{100c{v}^3}{v-5}$, với $v>5$.

Tính đạo hàm: $E^{\prime }(v)=100c\cdot \frac{3v^2(v-5)-v^3}{(v-5{)}^2}=\frac{100c{v}^2(2v-15)}{(v-5{)}^2}$.

Vì $100c{v}^2>0$ và $(v-5{)}^2>0$ với $v>5$, ta có $E^{\prime }(v)<0⟺2v-15<0⟺v<7,5$.

Vậy hàm $E(v)$ nghịch biến (năng lượng tiêu hao giảm) khi $5<v<7,5$, tức khoảng $(a;b)=(5;7,5)$.

Suy ra $b-a=7,5-5=2,5$. Giá trị lớn nhất của $b-a$ là $2,5$.