Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left(x^2+4x+4\right)e^x$ trên đoạn $[-4;-2]$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho hàm số $y=\frac{4m-4x}{4-x}$ với $m$ là tham số. Tìm tham số $m$ để $\underset{[5;9]}{\min }y+\underset{[5;9]}{\max }y=0$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một doanh nghiệp lập quỹ dự phòng cho một dự án dài hạn. Sau $x$ tháng kể từ khi bắt đầu $(x\ge 0)$, tổng số tiền quỹ hiện có (đơn vị: chục triệu đồng) được mô hình hóa bởi $Q(x)=3x^3+1$. Tổng khoản chi của dự án đến thời điểm đó được mô hình hóa bởi $C(x)=kx$. Để tại mọi thời điểm $x\ge 0$, quỹ luôn đủ bù cho khoản chi, cần có $Q(x)\ge C(x)$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $k$.

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng $30\mathrm{cm}$ và chiều dài $60\mathrm{cm}$ như hình a, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh $x$ với $6\le x\le 7$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như hình b. Tính thể tích lớn nhất của chiếc hộp có thể tạo ra (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Từ một tấm tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán kính $R=10$, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (như hình vẽ). Diện tích lớn nhất có thể của tấm tôn hình chữ nhật là

Một công ty nông sản có công suất chế biến không quá 161 tấn nguyên liệu một tháng. Nếu công ty chế biến $x$ tấn nguyên liệu trong một tháng $(1\le x\le 161)$ thì chi phí sản xuất và doanh thu lần lượt là $C(x)=0,003x^3+52x+5$ (triệu đồng) và $R(x)=60x$ (triệu đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được trong một tháng là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một trường học dự định xây một phòng học dạng hình hộp chữ nhật không có vách ngăn. Biết nền phòng học có chiều rộng bằng $5,5m$ và phòng học có thể tích là $330m^3$. Hãy tính chiều dài phòng học để diện tích sơn tường (4 mặt xung quanh và trần, không kể nền) là ít nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 25000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 1400 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 25000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 70 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 17000 đồng. Tìm số tiền cần tăng (đơn vị: ngàn đồng) để lợi nhuận là cao nhất.

Một người cần đi từ khách sạn $A$ bên bờ biển đến hòn đảo $C$. Biết rằng khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển là 12 km, khoảng cách từ khách sạn $A$ đến điểm $B$ trên bờ biển gần đảo $C$ nhất là 16 km. Người đó có thể đi đường bộ từ $A$ đến một điểm $D$ trên đoạn $AB$, sau đó đi đường thủy từ $D$ đến $C$. Biết kinh phí đi đường thủy là 13 USD/km, đường bộ là 5 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất?

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ (như hình vẽ). Biết $BC=3$ km là khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển $AB$. Bờ biển $AB$ có độ dài là 11 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên đất liền là 40 triệu đồng. Người ta xác định được vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ là điểm nối dây từ đất liền ra đảo sao cho tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất. Tính khoảng cách $BM$ (đơn vị km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Có hai chiếc cọc có chiều cao lần lượt là 11 m và 30 m, đặt cách nhau 24 m. Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cọc tới đỉnh của mỗi cột. Gọi $x$ (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm $x$ để tổng độ dài hai dây ngắn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

[Hình cần kiểm tra lại: p19_f2]

Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi nhất (tức là, có góc nhìn $\theta$ lớn nhất)? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hàm số $y=2^x-4x\ln 2$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;4]$ có dạng $a-b\ln c$. Tính $a+b+c$?

Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=x-\ln x$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2};e\right]$. Giá trị của $M-m$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ được cho như hình vẽ dưới đây.



Biết rằng $f(0)+f(3)=f(2)+f(5)$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của $y=f(x)$ trên đoạn $[0;5]$?

Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{4}{3}{\sin }^{3}x+4{\cos }^{2}x-5\sin x+1$. Tính giá trị của $M-m$.

Một màn hình $BC$ có chiều cao $1,4m$ được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $BA=1,8m$. Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt ở vị trí $O$ trên mặt đất. Hãy xác định khoảng cách $AO$ sao cho góc quan sát $BOC$ là lớn nhất. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục và dùng đơn vị m.

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong $60$ ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t)=-t^3+27t^2+262144$ (tấn) với $1\le t\le 60,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Tính số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12.
b) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ cao nhất vào ngày nào?
c) Trong khoảng thời gian nào thì sản lượng xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ giảm.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x$ (cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ).

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu centimét để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất?

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1(m^3)$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp 1,5 lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là 240 000 đồng/m², chi phí vật liệu làm mặt bên là 190 000 đồng/m² (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, …). Hỏi với 200 triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?