Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

a) Doanh thu của cơ sở khi bán hết 45 đôi giày là $600.45=27000$ (nghìn đồng) $=27$ (triệu đồng). » Chọn ĐÚNG.
b) Lợi nhuận thu được trong một ngày là: $L(x)=600x-(x^3-90x^2+2400x+900)=-x^3+90x^2-1800x-900$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+180x-1800$. $L^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=30+10\sqrt{3}\\ x=30-10\sqrt{3}\end{array}$. $L(30+10\sqrt{3})=9492,3$; $L(30-10\sqrt{3})=-11292,3$; $L(1)=-2611$; $L(50)=9100$. Lợi nhuận cao nhất trong một ngày là 9492,3 nghìn đồng khi sản xuất và bán hết $30+10\sqrt{3}\approx 47$ đôi giày. » Chọn ĐÚNG.
c) Tổng chi phí sản xuất 25 đôi giày là $C(25)=20275$ (nghìn đồng) $=20,275$ (triệu đồng). » Chọn SAI.
d) $C^{\prime }(x)=3x^2-180x+2400$; $C^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=20\\ x=40\end{array}$. $C(1)=3211;C(50)=20900;C(20)=20900;C(40)=16900$. Tổng chi phí cao nhất trong một ngày là 20,9 triệu đồng. » Chọn SAI.
a) Doanh thu của cơ sở khi bán hết 45 đôi giày là $600.45=27000$ (nghìn đồng) $=27$ (triệu đồng). » Chọn ĐÚNG.
b) Lợi nhuận thu được trong một ngày là: $L(x)=600x-(x^3-90x^2+2400x+900)=-x^3+90x^2-1800x-900$. $L^{\prime }(x)=-3x^2+180x-1800$. $L^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=30+10\sqrt{3}\\ x=30-10\sqrt{3}\end{array}$. $L(30+10\sqrt{3})=9492,3$; $L(30-10\sqrt{3})=-11292,3$; $L(1)=-2611$; $L(50)=9100$. Lợi nhuận cao nhất trong một ngày là 9492,3 nghìn đồng khi sản xuất và bán hết $30+10\sqrt{3}\approx 47$ đôi giày. » Chọn ĐÚNG.
c) Tổng chi phí sản xuất 25 đôi giày là $C(25)=20275$ (nghìn đồng) $=20,275$ (triệu đồng). » Chọn SAI.
d) $C^{\prime }(x)=3x^2-180x+2400$; $C^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=20\\ x=40\end{array}$. $C(1)=3211;C(50)=20900;C(20)=20900;C(40)=16900$. Tổng chi phí cao nhất trong một ngày là 20,9 triệu đồng. » Chọn SAI.

Hàm số $y=x^2\ln x$ liên tục trên đoạn $\left[\frac{1}{e};e\right]$. Ta có: $y^{\prime }=2x\ln x+x$. Trên đoạn $\left[\frac{1}{e};e\right]$, phương trình $y^{\prime }=0$ có duy nhất nghiệm $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$. Ta có: $y\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e^2}$; $y\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=-\frac{1}{2e}$; $y(e)=e^2$. Suy ra: $M=\underset{\left[\frac{1}{e};e\right]}{\max }y=e^2$ khi $x=e$ và $m=\underset{\left[\frac{1}{e};e\right]}{\min }y=-\frac{1}{2e}$ khi $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$. Vậy $2M+m=2e^2-\frac{1}{2e}\approx 14,6$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $M=5,m=0\Rightarrow M.m=0$. Chọn A

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow 3x^2+6x=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0(nhận)\\ x=-2(loại)\end{array}$
$y(-1)=1;y(2)=19;y(0)=-1$. Chọn B

Ta có: $f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x-2}=x+a+2+\frac{b+2a+4}{x-2}\Rightarrow f^{\prime }(x)=1-\frac{b+2a+4}{(x-2{)}^2}$ có nghiệm $x=1$ và $x=3$. Nên $1-\frac{b+2a+4}{1}=0\Rightarrow b+2a+4=1$. Mà $f(0)=\frac{b}{0-2}=1\Rightarrow b=-2\Rightarrow a=-0,5$. Trên $[-4;-3]$ hàm đồng biến nên $\max f(x)=f(-3)=-\frac{17}{10}$. Vậy $m+2n=3$.

Đặt $HC=x\Rightarrow \{\begin{array}{l}BC=\sqrt{x^2+64}\\ AC=12-x\end{array}$. Ta có $f(x)=15\sqrt{x^2+64}+6(12-x)$. Khảo sát hàm số ta thu được: $f(x{)}_{\min }=24\left(3+\sqrt{21}\right)\approx 182\iff x=\frac{16}{\sqrt{21}}$

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f(0)=1$: $\frac{b}{-2}=1\Rightarrow b=-2$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+a)(x-2)-(x^2+ax+b)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2a-b}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2a+2}{(x-2{)}^2}$. Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$ (với tiệm cận đứng $x=2$), nên $x^2-4x-2a+2=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\Rightarrow -2a+2=3\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$. Vậy $f(x)=\frac{x^2-\frac{x}{2}-2}{x-2}$. Trên $(-\infty ;1)$, $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}>0$ nên $f$ đồng biến trên $[-4;-3]$, do đó ${\max }_{[-4;-3]}f(x)=f(-3)=\frac{9+\frac{3}{2}-2}{-5}=\frac{17/2}{-5}=-\frac{17}{10}$. Vậy $m=-17,n=10$, $m+2n=-17+20=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(30;0;0)$, $D(0;20;0)$, $S(0;0;40)$. Khối lập phương có ba mặt nằm trong $(ABCD)$, $(SAB)$, $(SAD)$ nên có một đỉnh tại $A$ và ba cạnh kề nằm trên $AB,AD,AS$, cạnh bằng $x$. Đỉnh đối diện $A$ của khối lập phương là $M(x;x;x)$. Điều kiện khối lập phương nằm trong hình chóp là $M$ thuộc phía trong của mặt phẳng $(SBD)$: $\frac{x}{30}+\frac{x}{20}+\frac{x}{40}\le 1\iff \frac{13x}{120}\le 1\iff x\le \frac{120}{13}\approx 9,23$. Vậy thể tích lớn nhất khi $x=\frac{120}{13}\approx 9,2$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $HC=x$ ($0\le x\le 12$), khi đó $AC=12-x$ và $CB=\sqrt{x^2+B{H}^2}=\sqrt{x^2+64}$. Chi phí: $f(x)=6(12-x)+15\sqrt{x^2+64}$. Ta có $f^{\prime }(x)=-6+\frac{15x}{\sqrt{x^2+64}}=0\Rightarrow \frac{x^2}{x^2+64}=\frac{36}{225}=\frac{4}{25}\Rightarrow 25x^2=4x^2+256\Rightarrow x^2=\frac{256}{21}\Rightarrow x=\frac{16}{\sqrt{21}}\approx 3,49$ km (thỏa mãn $0\le x\le 12$). Khi đó $\sqrt{x^2+64}=\sqrt{\frac{256}{21}+64}=\frac{40}{\sqrt{21}}\approx 8,73$ km. Chi phí nhỏ nhất: $f=72-\frac{96}{\sqrt{21}}+\frac{600}{\sqrt{21}}=72+\frac{504}{\sqrt{21}}=72+24\sqrt{21}\approx 181,98\approx 182$ tỷ đồng. Vậy $a=182$.

Gọi $x$ là số lần giảm giá 10 nghìn đồng $(x\in \mathbb{N})$.

Giá vé sau $x$ lần giảm giá là $70-10x$ (nghìn đồng).

Số lượng vé bán ra sau $x$ lần giảm giá là $300+100x$ (vé).

Theo giả thiết ta có $300+100x\le 819\Rightarrow x\le 5,19$.

Do $x\in \mathbb{N}$ nên $x\in \{0;1;2;3;4;5\}$

Doanh thu từ tiền bán vé là:
$$f(x)=(70-10x)(300+100x)=-1000x^2+4000x+21000\text{ (nghıˋn đoˆˋng)}.$$

Hàm số $y=f(x)$ có $a=-1000<0$ nên đồ thị là một parabol có đỉnh $I(2;25000)$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Suy ra hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất bằng 25000 khi $x=2$.

Ta thấy $x=2$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Giá vé sau khi giảm 2 lần là $70-10.2=50$ (nghìn đồng).

Vậy giá vé sau khi giảm là 50 (nghìn đồng) thì doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày là lớn nhất.

Lưu ý: Các cách giải khác đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm theo các bước tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm logistic $p(t)=\frac{800}{1+7e^{-0,2t}}$. Ta có $p^{\prime }(t)=\frac{800\cdot 1,4e^{-0,2t}}{(1+7e^{-0,2t}{)}^2}$. Đặt $u=7e^{-0,2t}>0$, khi đó $p^{\prime }(t)=\frac{1120}{u}\cdot \frac{1}{(1+u{)}^2}\cdot \frac{1}{7}\cdot 7$... chính xác hơn $p^{\prime }(t)=\frac{160\cdot 7e^{-0,2t}}{(1+7e^{-0,2t}{)}^2}\cdot \frac{1}{1}$, xét hàm $f(u)=\frac{u}{(1+u{)}^2}$ với $u>0$. $f^{\prime }(u)=\frac{(1+u{)}^2-u\cdot 2(1+u)}{(1+u{)}^4}=\frac{1-u}{(1+u{)}^3}$, nên $f$ đạt max khi $u=1$, tức $7e^{-0,2t}=1\Rightarrow e^{-0,2t}=\frac{1}{7}\Rightarrow t=\frac{\ln 7}{0,2}\approx 9,73$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $t\approx 10$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số đơn vị búp bê sản xuất ($x\ge 0$). Doanh thu khi bán $x$ đơn vị với giá $P(x)=600.000-10.000x$ (đồng) là: $$R(x)=xP(x)=600.000x-10.000x^2.$$ Tổng chi phí gồm chi phí cố định $500.000$ đồng và chi phí biến đổi $100.000$ đồng cho mỗi đơn vị: $$C(x)=500.000+100.000x.$$ Lợi nhuận: $$L(x)=R(x)-C(x)=600.000x-10.000x^2-500.000-100.000x=500.000x-10.000x^2-\mathrm{500.000.}$$ Xét hàm số $L(x)=-10.000x^2+500.000x-500.000$ trên $x\ge 0$. Ta có $$L^{\prime }(x)=-20.000x+500.000;L^{\prime }(x)=0\iff x=25.$$ Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x<25$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x>25$, hàm $L(x)$ đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất trên $x\ge 0$) tại $x=25$. Lợi nhuận tối đa: $$L(25)=-10.000\cdot 625+500.000\cdot 25-500.000=\mathrm{5.750.000}\text{ đoˆˋng}.$$ Vậy công ty nên sản xuất $25$ đơn vị búp bê để đạt lợi nhuận tối đa, lợi nhuận tối đa là $\mathrm{5.750.000}$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+4x+1=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Trên đoạn $[-1;1]$, tính: $f(-1)=-1+2-1+1=1$; $f\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{27}+\frac{2}{9}-\frac{1}{3}+1=\frac{23}{27}$; $f(1)=1+2+1+1=5$. Vậy giá trị lớn nhất là $\max \left\{1,\frac{23}{27},5\right\}=5$, đạt tại $x=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $MB=x$ (km) với $0\le x\le 7$. Theo hình vẽ, tam giác $ABM$ vuông tại $B$ nên $AM=\sqrt{A{B}^2+M{B}^2}=\sqrt{25+x^2}$, đoạn đi bộ $MC=7-x$.

Tổng thời gian đi từ $A$ đến $C$:
$$T(x)=\frac{\sqrt{25+x^2}}{4}+\frac{7-x}{6},0\le x\le 7.$$

Ta có $T^{\prime }(x)=\frac{x}{4\sqrt{25+x^2}}-\frac{1}{6}$.

$T^{\prime }(x)=0⟺\frac{x}{4\sqrt{25+x^2}}=\frac{1}{6}⟺6x=4\sqrt{25+x^2}⟺36x^2=16(25+x^2)⟺20x^2=400⟺x=5$ (thỏa $0\le x\le 7$).

Với $0\le x<5$ thì $T^{\prime }(x)<0$; với $5<x\le 7$ thì $T^{\prime }(x)>0$. Vậy $T$ đạt nhỏ nhất tại $x=5$, thời gian nhỏ nhất $T(5)=\frac{\sqrt{50}}{4}+\frac{2}{6}=\frac{5\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{3}\approx 2,10$ giờ.

Kết luận: điểm $M$ cách $B$ một khoảng $5km$ để người đó đi đến kho nhanh nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x-m^2-2}{x-m}=1+\frac{k}{x-m}$ với $k=m-m^2-2=-(m^2-m+2)<0$ với mọi $m$ (vì $m^2-m+2=(m-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{4}>0$). Hàm số xác định trên $[0;3]$ khi $m\notin [0;3]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-k}{(x-m{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi nhánh; do đó trên $[0;3]$ (nằm trọn trên một nhánh) GTLN luôn đạt tại $x=3$.

Điều kiện: $1+\frac{k}{3-m}=-3\Rightarrow k=-4(3-m)=4m-12$.

TH1: $m<0$: $m-m^2-2=4m-12\iff m^2+3m-10=0\iff m=2$ (loại) hoặc $m=-5$ (thỏa). Kiểm tra: $k=-5-25-2=-32$, $y(3)=1+\frac{-32}{3+5}=1-4=-3$ ✓.

TH2: $m>3$: do hàm đồng biến trên $[0;3]$, GTLN vẫn tại $x=3$, dẫn đến cùng phương trình $m^2+3m-10=0$ với nghiệm $m=2$ hoặc $m=-5$, đều không thỏa $m>3$ (loại cả hai).

Vậy chỉ có $m=-5$: đúng 1 giá trị. Đáp án C, khớp bảng đáp án nguồn (Câu 29: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lượng cà phê xuất khẩu: Q = (2000x−150) − (4000−500x) = 2500x − 4150 (kg), với điều kiện Q > 0 và lượng tiêu thụ trong nước dương: 4000 − 500x > 0, tức 83/50 < x < 8.
a) Chi phí sản xuất phần cà phê xuất khẩu gồm giá sản xuất x USD/kg và thuế T USD/kg nên tổng chi phí = (x + T)(2500x − 4150) = x(2500x − 4150) + T(2500x − 4150) USD. Đúng.
b) Tỷ lệ lợi nhuận xuất khẩu : thuế = 5 : 1, với giá bán 10 USD/kg: lợi nhuận mỗi kg là 10 − T, thuế mỗi kg là T, nên (10 − T) : T = 5 : 1 ⇒ 10 − T = 5T ⇒ T = 5/3 USD/kg. Với x = 5: Q = 2500·5 − 4150 = 8350 kg, lợi nhuận xuất khẩu = (10 − 5/3)·8350 = (25/3)·8350 ≈ 69583,33 USD ≠ 34780 USD. Sai.
c) Lợi nhuận xuất khẩu là f(x) = (10 − T)(2500x − 4150) = (25/3)(2500x − 4150), hàm bậc nhất đồng biến trên (83/50; 8) nên không đạt cực đại tại điểm trong khoảng; giá trị lớn nhất trên miền xác định tiệm cận khi x → 8, không phải x = 3,83. Sai.
d) Từ tỷ lệ 5 : 1 suy ra T = 5/3 ≈ 1,667 USD ≠ 0,495 USD. Sai.
Khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí gồm giá sản xuất và thuế trên lượng xuất khẩu 2500x − 4150 kg: (x + T)(2500x − 4150) = x(2500x − 4150) + T(2500x − 4150) USD.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tỷ lệ lợi nhuận : thuế = 5 : 1 với giá bán 10 USD/kg cho T = 5/3. Với x = 5, lượng xuất khẩu Q = 8350 kg, lợi nhuận = (10 − 5/3)·8350 = 69583,33 USD ≠ 34780 USD.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận f(x) = (25/3)(2500x − 4150) đồng biến trên miền xác định (83/50; 8), không có điểm làm f đạt max tại x = 3,83; max tiệm cận khi x → 8.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ (10 − T) : T = 5 : 1 suy ra T = 5/3 ≈ 1,667 USD, không phải 0,495 USD.

1) Ta tìm hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$ và trung điểm $I$ của $AB$ phải thuộc đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$. Đường thẳng vuông góc với đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$ có dạng $y=-x+m(m\in \mathbb{R})$. (0,25 điểm)

Hoành độ các điểm $A,B$ là nghiệm của phương trình
$$\frac{x^2}{x+1}=-x+m\iff 2x^2+(1-m)x-m=0(x\ne -1)(1)$$
(1) có 2 nghiệm phân biệt khác $-1\iff \{\begin{array}{l}\Delta =m^2+6m+1>0\\ 2+m-1-m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-3-2\sqrt{2}\\ m>-3+2\sqrt{2}\end{array}$ (0,25 điểm)

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ là $\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{m-1}{4}\\ y_I=-x_I+m=\frac{3m+1}{4}\end{array}$ (0,25 điểm)

Điểm $I$ thuộc đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}\iff \frac{3m+1}{4}=\frac{m-1}{4}+\frac{1}{2}\iff m=0$ (thỏa mãn).

Phương trình $(1)$ trở thành: $2x^2+x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right]$ (thỏa mãn). (0,25 điểm)

Tìm được 2 điểm $A(0;0)\equiv O(0;0)$; $B\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$. Độ dài $AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Đặt $BC=m$, từ đồ thị hàm số suy ra phương trình $AB$ là: $y=m$.

Có $f^{\prime }(x)=\frac{4-x^2}{x^2}$, tìm được điểm cực đại của hàm số $f(x)$ là $(2;1)$ suy ra $0<m<1$. (0,25 điểm)

$x_A,x_B$ là nghiệm của phương trình:
$$\frac{-x^2+5x-4}{x}=m\iff x^2+(m-5)x+4=0(x\ne 0)(1)$$

Có $\Delta =(m-1)(m-9)>0,\forall 0<m<1$, nên phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt khác 0 với mọi $0<m<1$.

Theo định lý Vi-ét $\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=5-m\\ x_A\cdot x_B=4\end{array}$ (0,25 điểm)

Có $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2}=\sqrt{(x_A+x_B{)}^2-4x_A{x}_B}=\sqrt{m^2-10m+9}$.

Tính được diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S_{ABCD}=m\sqrt{m^2-10m+9}=\sqrt{m^4-10m^3+9m^2}$.

Xét hàm số $g(m)=m^4-10m^3+9m^2$ trên khoảng $(0;1)$.
$$g^{\prime }(m)=4m^3-30m^2+18m=0\iff \{\begin{array}{l}m=0\\ m=\frac{15\pm 3\sqrt{17}}{4}\end{array}$$ (0,25 điểm)

Lập bảng biến thiên của hàm số $g(m)$ trên khoảng $(0;1)$: $g^{\prime }(m)$ dương trên $\left(0;\frac{15-3\sqrt{17}}{4}\right)$, âm trên $\left(\frac{15-3\sqrt{17}}{4};1\right)$; $g(m)$ tăng từ 0 đến $g\left(\frac{15-3\sqrt{17}}{4}\right)$ rồi giảm về 0.

Tìm được diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất khi $m=\frac{15-3\sqrt{17}}{4}$.

Từ đó tìm được $BC=10\times \frac{15-3\sqrt{17}}{4}=\frac{15\left(5-\sqrt{17}\right)}{2}$ (mét). (0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Xét hàm số $y=f(x)=a{x}^3+cx+d$ trên $\mathbb{R}$, ta được $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do $\underset{(-\infty ;0)}{\min }f(x)=f(-2)$ nên $-2$ là một nghiệm của phương trình $f^{\prime }(x)=0$. Do đó, phương trình bậc hai $3a{x}^2+c=0$ có nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn hệ thức $x_1+x_2=0$. Khi đó, giả sử $x_1=-2$, khi đó, ta được $x_2=2$. Vậy hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là $x=\pm 2$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta được $$\underset{[1;3]}{\max }f(x)=f(2)=8a+2c+d.$$
Mặt khác, cũng do $x=-2$ là một nghiệm của phương trình $3a{x}^2+c=0$ nên ta được $12a+c=0\Rightarrow c=-12a$.
Vậy $f(2)=8a+2c+d=8a+2(-12a)+d=d-16a$.
Chọn đáp án C

Theo đề bài, với $1\le x\le 18$, ta có $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$; $B(x)=220x$ (nghìn đồng). Vậy ta được $L(x)=B(x)-C(x)=220x-(x^3-3x^2-20x+500)=-x^3+3x^2+240x-500$ (nghìn đồng).
Xét hàm số $L(x)=-x^3+3x^2+240x-500$ trên $[1;18]$, ta có $L^{\prime }(x)=-3x^2+6x+240$ với mọi $x\in [1;18]$.
Xét phương trình:
$$L^{\prime }(x)=0\iff x^2-2x-80=0\iff x=-8\text{ (loại) hoặc }x=10\text{ (nhận)}$$
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của $L(x)$ là 1200 khi $x=10$. Vậy hộ làm nghề dệt này cần sản xuất 10 mét vải lụa tơ tằm để thu được lợi nhuận cao nhất là 1200 (nghìn đồng).

Với $a\ge c;b\ge c$, ta có:
$$a^2+c^2\le a^2+ac\le a^2+ac+\frac{1}{4}{c}^2={\left(a+\frac{c}{2}\right)}^2$$
$$b^2+c^2\le b^2+bc\le b^2+bc+\frac{1}{4}{c}^2={\left(b+\frac{c}{2}\right)}^2$$
Vậy ta được:
$$P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\sqrt{a+b+c}\ge \frac{1}{{\left(a+\frac{c}{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b+\frac{c}{2}\right)}^2}+\sqrt{a+b+c}$$
$$\ge \frac{4}{{\left(a+\frac{c}{2}\right)}^2+{\left(b+\frac{c}{2}\right)}^2}+\sqrt{a+b+c}\ge \frac{8}{(a+b+c{)}^2}+\sqrt{a+b+c}$$
$$=\frac{8}{(a+b+c{)}^2}+\frac{1}{4}\sqrt{a+b+c}+\frac{1}{4}\sqrt{a+b+c}+\frac{1}{4}\sqrt{a+b+c}+\frac{1}{4}\sqrt{a+b+c}$$
$$\ge 5\sqrt[5]{\frac{8}{4^4}}=\frac{5}{2}$$
Vậy $P\ge \frac{5}{2}$. Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $c=0$ và $a=b=2$.