Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Có một tấm bìa hình ngũ giác đều $MNPQR$ tâm $O$ cạnh bằng 30 cm, cắt bỏ 5 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của ngũ giác đều ban đầu, đỉnh là đỉnh của ngũ giác đều bên trong như hình vẽ rồi gập lên thành một khối chóp ngũ giác đều có cạnh đáy bằng $x$ (cm). Tìm $x$ để thể tích tạo thành là lớn nhất.

Một đại lý nhập khẩu trái cây tươi để phân phối cho các cửa hàng. Mỗi lần nhập khẩu trái cây, khoán chi phí vận chuyển (không đổi) là 25 triệu đồng. Chi phí bảo quản mỗi tạ trái cây dự trữ trong kho là 80 nghìn đồng/ngày. Thời gian bảo quản trái cây trong kho tối đa 10 ngày. Biết rằng, kể từ ngày đầu tiên nhập hàng, đại lý sẽ phân phối tới các cửa hàng 25 tạ trái cây mỗi ngày. Mỗi lần nhập hàng, đại lý phải nhập đủ trái cây cho bao nhiêu ngày phân phối để chi phí trung bình cho mỗi ngày là thấp nhất (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí bảo quản trong kho)?

Một doanh nghiệp sản xuất thiết bị điện tử thông minh có quy trình vận hành và chính sách thuế như sau: Trong mỗi tháng, doanh nghiệp phải chi trả một khoản chi phí cố định $200$ triệu đồng, khoản chi phí này không phụ thuộc vào số lượng sản phẩm sản xuất. Ngoài ra, để hoàn thiện mỗi sản phẩm, doanh nghiệp phải chịu chi phí biến đổi $1$ triệu đồng cho mỗi sản phẩm. Mỗi sản phẩm được bán ra thị trường với giá $3$ triệu đồng một sản phẩm. Nhằm khuyến khích gia tăng quy mô sản xuất, cơ quan quản lý áp dụng chính sách thuế tính theo tổng doanh thu trong tháng, với mức thuế suất giảm dần theo sản lượng. Nếu doanh nghiệp bán dưới $100$ sản phẩm trong tháng, thuế suất là $10\%$ tổng doanh thu. Nếu bán từ $100$ đến dưới $300$ sản phẩm, thuế suất là $8\%$ tổng doanh thu. Nếu bán từ $300$ sản phẩm trở lên, thuế suất là $5\%$ tổng doanh thu. Gọi $x$ là số lượng sản phẩm doanh nghiệp sản xuất và bán ra trong một tháng ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tìm số sản phẩm tối thiểu để doanh nghiệp bắt đầu có lãi.

Xác định giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-1;1]$ của hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình dưới.

Một hộ sản xuất và kinh doanh một mặt hàng $A$, biết rằng chi phí để sản xuất $x\text{ kg}$ ($x>0$) mặt hàng $A$ là $\frac{2x^2+x}{x+1}$ (đơn vị triệu đồng), trong lúc đó bán ra mỗi kg là 3 triệu đồng. Hỏi cần sản xuất bao nhiêu kg mặt hàng $A$ để lợi nhuận đạt 15 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một khu chung cư có $120$ căn hộ cho thuê. Người quản lí của khu chung cư nhận thấy rằng nếu giá thuê một căn hộ là $7$ triệu đồng một tháng thì tất cả các căn hộ đều sẽ có người thuê. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê một căn hộ mỗi tháng thêm $250$ nghìn đồng thì sẽ có thêm ba căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng một tháng để doanh thu một tháng là lớn nhất?

Bạn An có một tấm bìa hình vuông cạnh $20\text{ cm}$. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp và dán lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ). Để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là

Một hãng công nghệ dự định tung ra thị trường một loại tai nghe không dây mới. Chi phí sản xuất mỗi chiếc tai nghe là $500$ nghìn đồng với giá bán ra niêm yết là $1,2$ triệu đồng. Bộ phận bán hàng ước tính rằng, số lượng tai nghe bán được $n(x)$ phụ thuộc vào chi phí quảng cáo $x$ (đơn vị: triệu đồng) theo công thức $n(x)=A+40\ln (1+x)$. Biết rằng nếu chi $(e^2-1)$ triệu đồng cho quảng cáo thì bán được $190$ sản phẩm.

Một công ty môi trường nhận thấy mức độ ô nhiễm $P(t)$ của một dòng sông sau $t$ tháng xử lý được mô hình hóa bởi $P(t)=\frac{1}{3}{t}^3-5t^2+16t+100$ ($0\le t\le 12$). Tốc độ giảm ô nhiễm được định nghĩa là $v(t)=-P^{\prime }(t)$. Hãy tìm thời điểm $t$ (tháng) mà tại đó tốc độ giảm ô nhiễm đạt giá trị lớn nhất.

Trong kế hoạch vận hành thử nghiệm phân đoạn dài $290\text{ km}$ thuộc dự án đường sắt tốc độ cao, các kỹ sư cần xác định vận tốc khai thác $v$ (km/h) cho đoàn tàu ($200\le v\le 350$) để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất. Các thông số được xác định như sau: Công suất tiêu thụ điện của đoàn tàu là $P(v)=5v^3$ (W). Giá điện kinh doanh ưu đãi là $2$ nghìn đồng/kWh. Chi phí vận hành cố định: Bao gồm nhân lực, bảo trì và các chi phí quản lý khác, được tính là $197780$ nghìn đồng cho mỗi giờ tàu chạy. Số lượng khách mua vé phụ thuộc vào vận tốc khai thác theo hàm số: $N(v)=v+610$ (hành khách). Giá vé bình quân cho phân đoạn này là $1$ triệu đồng/khách. Hãy xác định vận tốc khai thác $v$ để lợi nhuận ròng của mỗi chuyến tàu trên phân đoạn này là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một hợp tác xã (viết tắt là HTX) nông nghiệp tại Nghệ An đầu tư dự án trồng dưa lưới nhà màng VietGAP. Xét trong một vụ canh tác, với diện tích $x$ (nghìn ${\text{m}}^2$, $x\ge 1$), tổng chi phí là $C(x)=x^2+30x+100$ (triệu đồng). Tổng doanh thu dự kiến là $R(x)=x^2+100x$ (triệu đồng).

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-3x+1$.

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t)=-\frac{1}{2}{t}^3+6t^2$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian $6$ giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, tốc độ lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu mét/giây?

Câu 5. Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 m song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 m. Người ta dựng một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà, thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu? (đơn vị là mét, không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-1;+\infty )$ và có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[1;4]$.

Một nhà mạng cần phủ sóng 5G dọc theo một tuyến đường thẳng dài $100\text{ km}$ nối hai thành phố $A$ và $B$ (tại $A$ và $B$ đã có trạm phát chính). Họ cần xây thêm các trạm thu phát sóng phụ ở giữa với khoảng cách đều nhau. Chi phí xây dựng mỗi trạm phụ là $320$ (triệu đồng). Chi phí kéo cáp quang nối giữa hai trạm liền kề với khoảng cách $x\text{ (km)}$ là $x(5+2x)$ (triệu đồng). Hỏi nhà mạng cần xây thêm bao nhiêu trạm phụ để tổng chi phí thi công là thấp nhất?

Từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng $8\text{ dm}$, người ta cắt bỏ bốn tứ giác bằng nhau (cùng bằng tứ giác $AMNP$) ở bốn góc của tấm nhôm đó, biết $AM=AP=1\text{ dm}$ và điểm $N$ thuộc đường chéo $AC$. Với phần còn lại của tấm nhôm sau khi đã cắt bỏ đi 4 tứ giác nói trên, người ta đã gập các đoạn $MN$ trùng với $PN$ rồi dán kỹ bằng keo, làm tương tự cho 3 cặp đoạn còn lại, người ta thu được chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều. Sức chứa lớn nhất của chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều này là bao nhiêu lít (làm tròn đến hàng đơn vị, bỏ qua độ dày tấm nhôm)?

Câu 4. Một doanh nghiệp dự định sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x\in \mathbb{N};100\le x\le 800$). Tổng doanh thu khi bán hết $x$ sản phẩm đó là $F(x)=-0,001x^3+0,6x^2+500x+100000$ (nghìn đồng). Chi phí để sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=0,0002x+\frac{40000}{x}$ (nghìn đồng) và chi phí để mua nguyên vật liệu khi chưa chiết khấu là $H(x)=-x+1500000$ (nghìn đồng). Công ty cung cấp nguyên vật liệu đang chạy chương trình khuyến mãi chiết khấu $10\%$. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V=12{\text{ m}}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật liệu xây đáy là $500$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$, xây thành bể là $300$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể, $h$ là chiều cao của bể ($x>0,h>0$, đơn vị: $\text{m}$).

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[0;3]$. Giá trị của $M+m$ bằng?