Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp BC$. Do đó $(SAB)\perp (ABC)$ (B đúng) và $(SAC)\perp (ABC)$ (C đúng). Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$; kết hợp $BC\perp SA$ suy ra $BC\perp (SAB)$, mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ (D đúng). Khẳng định $(SAB)\perp (SAC)$ không đúng vì giao tuyến $SA$ của hai mặt này, góc giữa hai mặt không phải $90^{\circ }$ nói chung. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, mà $AC\subset (SAC)$, do đó $(SAC)\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định 1 đúng.

Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại có $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Suy ra $BD\perp (SAC)$. Vì $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy khẳng định 4 đúng.

Khẳng định 2 sai: $(SAB)$ và $(SBD)$ cắt nhau theo giao tuyến $SB$. Giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABCD)$ là $AB$, giao tuyến của $(SBD)$ và $(ABCD)$ là $BD$, mà $AB$ và $BD$ không vuông góc với nhau (góc $ABD=45^{\circ }$ trong hình vuông), nên theo điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, $(SAB)$ không vuông góc với $(SBD)$.

Khẳng định 3 sai: $(SAB)$ và $(SAC)$ có giao tuyến $SA$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng góc giữa $AB$ và $AC$, tức góc $BAC=45^{\circ }\ne 90^{\circ }$, nên $(SAB)$ không vuông góc với $(SAC)$.

Vậy chỉ có 2 khẳng định đúng (khẳng định 1 và khẳng định 4), trùng với đáp án nguồn là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(\alpha )\perp (\beta )$ với giao tuyến $d$ thì mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và vuông góc với $d$ sẽ vuông góc với $(\beta )$. Do đó mệnh đề A đúng. B sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn). C sai vì đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ nhưng song song hoặc trùng giao tuyến thì không vuông góc với $(\beta )$. D sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể vuông góc hoặc cắt nhau không vuông góc. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1014, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1014, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên SA=SB=SC=SD=a. Gọi O là tâm đáy, SO là chiều cao. AC = a√2 nên OC = a√2/2, suy ra SO = √(SA² − OC²) = √(a² − a²/2) = a/√2.
a) Đúng: SO ⊥ (ABCD) và SO ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (ABCD).
b) Sai: Hình chiếu của S lên (ABCD) là O, nên hình chiếu của SC là OC (không phải AC).
c) Sai: V = (1/3)·SO·S_{ABCD} = (1/3)·(a/√2)·a², còn (1/3)SA·S_{ABCD} = (1/3)·a·a²; vì SO = a/√2 ≠ a nên hai biểu thức khác nhau.
d) Sai: BC ∥ AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD, tức góc SDA (trong tam giác đều SAD, bằng 60°). Trong tam giác SDB cân với SD = SB = a, DB = a√2, góc SDB có cos(SDB) = DB/(2SD) = √2/2, tức 45° ≠ 60°. Khớp đáp án mã đề 1013: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SO ⊂ (SAC) và SO ⊥ (ABCD) nên (SAC) ⊥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của S là O nên hình chiếu của SC là OC, không phải AC.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)SO·S_{ABCD} với SO = a/√2 ≠ SA = a.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD nên góc giữa SD và BC là góc SDA = 60°, còn góc SDB = 45°.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình vuông, $SA\perp (ABCD)$.

1) Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$. Đúng.

2) $(SAB)\perp (SBD)$? Hai mặt phẳng cắt nhau theo $SB$. Để vuông góc cần một đường thẳng trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng kia. $AB\perp SA$ nhưng $AB$ không vuông góc với $BD$ (góc giữa $AB$ và $BD$ bằng $45^{\circ }$), $SB$ không vuông góc với $(SAB)$ ($SB$ cắt $SA$, $AB$). Không có cơ sở vuông góc. Sai.

3) $(SAB)\perp (SAC)$? Hai mặt cắt nhau theo $SA$. Cần $AB\perp (SAC)$ hoặc $AC\perp (SAB)$. $AB\perp SA$ nhưng $AB$ không vuông góc với $AC$ (góc $BAC=45^{\circ }$); $AC$ không vuông góc với $AB$. Sai.

4) Trong đáy hình vuông, $BD\perp AC$; lại có $BD\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy). Suy ra $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Đúng.

Vậy có 2 khẳng định đúng (khẳng định 1 và 4), phù hợp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1013, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (A) Sai — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai tường của một căn phòng cùng vuông góc với sàn nhưng cắt nhau dọc theo cạnh). (B) Sai — chỉ những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến mới vuông góc với mặt phẳng kia; đường thẳng song song với giao tuyến thì không vuông góc. (C) Đúng — theo tính chất của hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(P)\perp (Q)$, giao tuyến là $d$, đường thẳng $a\subset (P)$, $a\perp d$ thì $a\perp (Q)$. (D) Sai — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng không nhất thiết vuông góc với nhau. Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1013: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Mặt khác $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó theo định lý về mặt phẳng vuông góc, $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Chọn B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ và $SA$ vuông góc với giao tuyến $AC$ của $(SAC)$ và $(ABC)$. Theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, ta có $(SAC)\perp (ABC)$. Khẳng định B đúng. Các khẳng định A, C, D không có cơ sở vuông góc tương ứng (ví dụ $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, không dẫn đến các cặp mặt phẳng nêu trên). Đáp án khớp với bảng đáp án (Câu 8, mã đề 246: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 123: A). Các phương án B, C, D đều sai: $(SMB)$ không vuông $(SAB)$, $(SBC)$ không vuông $(SAC)$ (góc giữa chúng không phải $90^{\circ }$), và $(SBM)$ không vuông $(ABC)$ vì chỉ vuông góc đáy khi có đường thẳng trong mặt phẳng đó vuông góc với giao tuyến, điều này không xảy ra ở đây.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ và $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, ta có $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SBD)\perp (ABCD)$, giao tuyến của hai mặt phẳng này là $BD$. Trong hình thoi $ABCD$ ta có $AC\perp BD$, mà $AC\subset (ABCD)$. Theo tính chất mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia, suy ra $AC\perp (SBD)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1354, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc: nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Do đó đáp án là A. Các phương án B, D chỉ cho quan hệ song song; phương án C thiếu điều kiện đường thẳng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến một cách đầy đủ (đường thẳng vuông góc với giao tuyến nhưng không nằm trong mặt phẳng không đủ kết luận). Đáp án A trùng với đáp án nguồn (Mã đề 163, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, mặt phẳng $(A^{\prime }B{B}^{\prime })$ chính là mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Ta có $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ (cạnh bên vuông góc với mặt đáy) mà $B{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }B{B}^{\prime })$, mặt phẳng $(A^{\prime }B{B}^{\prime })$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$. Theo định lý: nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc, suy ra $(A^{\prime }B{B}^{\prime })\perp (ABC)$. Vậy đáp án là $(ABC)$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên các cạnh bên $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$ đều vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Cụ thể $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ mà $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, ta có $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. Tương tự các mặt bên khác như $(CD{D}^{\prime })$ cũng vuông góc với $(ABCD)$ nhưng đáp án A lại khẳng định $(CD{D}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }BA)$ — hai mặt bên này không vuông góc với nhau (chúng cắt nhau theo giao tuyến song song với cạnh bên, góc giữa chúng bằng góc giữa $CD$ và $AB$, tức bằng góc của hình bình hành, không phải $90^{\circ }$). Các phương án B, C: mặt phẳng $(AD{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa đường chéo đáy nên không vuông góc với đáy. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét khẳng định B: Trong hình lập phương, $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$) và $AC\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp AC$). Suy ra $AC\perp (BD{B}^{\prime })$. Mà $AC\subset (A^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $(A^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (BD{B}^{\prime })$. Vậy khẳng định B đúng.

Các khẳng định khác sai: A) $(A^{\prime }{B}^{\prime }D)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $BD$, không vuông góc vì không có đường nào trong $(A^{\prime }{B}^{\prime }D)$ vuông góc với $(ABCD)$ (tam giác $A^{\prime }BD$ đều, không có cạnh vuông góc đáy). C) $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $CD$, không vuông góc với đáy. D) $(BD{A}^{\prime })$ cắt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo giao tuyến $A^{\prime }B$, không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, theo định lý về mặt phẳng vuông góc (mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì vuông góc với mặt phẳng đó), ta có $(SAB)\perp (ABCD)$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Đáy tam giác vuông tại C nên $BC\perp AC$. Từ đó $BC\perp (SAC)$ (vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAC)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ và $ABCD$ là hình vuông:
a) Đúng: $ABCD$ hình vuông nên $AC\perp BD$; lại có $SA\perp BD$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Suy ra $BD\perp (SAC)$ mà $BD\subset (SBD)$, do đó $(SAC)\perp (SBD)$.
b) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy, $B\subset (ABCD)$, $AB\perp SA$. Vậy góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBA}$.
c) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên khoảng cách từ $S$ đến mặt đáy chính là độ dài đoạn $SA$.
d) Sai: Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $90^{\circ }$, là góc vuông chứ không phải góc nhọn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình vuông) và $SA\perp BD$ nên $BD\perp (SAC)$, suy ra $(SAC)\perp (SBD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt đáy và $AB\perp SA$ nên góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $d(S,(ABCD))=SA$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $90^{\circ }$, không phải góc nhọn.