Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, do đó $(SAC)\perp (ABCD)$ (giao tuyến $AC$). Đúng.
b) Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên hình chiếu của $SB$ là $AB$. Đúng.
c) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}\ne 2\sqrt{2}{a}^3$. Sai.
d) Vì $AB\perp BC$ và $SA\perp BC$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $(SBC)\perp (SAB)$, giao tuyến $SB$. Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $SB$ trong $(SAB)$: $d=\frac{AB\cdot SA}{SB}=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2a}{\sqrt{2a^2+4a^2}}=\frac{2\sqrt{2}{a}^2}{a\sqrt{6}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Sai.
Khớp đáp án nguồn: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow (SAC)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, nên hình chiếu của $SB$ là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}$, không bằng $2\sqrt{2}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)$ nên $d(A,(SBC))=d(A,SB)=\frac{AB\cdot SA}{SB}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a\sqrt{2};a;0)$, $S(0;0;2a)$.
a) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$, mà $AD\subset (ABCD)$, $AD$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAD)\perp (ABCD)$. Đúng.
b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, suy ra hình chiếu của $SC$ là $AC$. Đúng.
c) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3\ne \frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$. Sai.
d) Mặt phẳng $(SCD)$: $\overrightarrow{DC}=(a\sqrt{2};0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(0;-a;2a)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;-2a^2\sqrt{2};-a^2\sqrt{2})$, phương trình: $2y+z-2a=0$. Khoảng cách từ $A$: $d=\frac{|-2a|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$; $AD$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAD)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, suy ra hình chiếu của $SC$ là $AC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3\ne \frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SCD)$ có phương trình $2y+z-2a=0$; $d(A,(SCD))=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

a) (0,75 điểm) Vẽ hình. Ta có: $\{\begin{array}{l}AC\perp AB(gt)\\ AC\perp SB(SB\perp (ABC))\end{array}$ (0,25 điểm) $\Rightarrow AC\perp (SAB)$ (0,25 điểm) $\Rightarrow (SAC)\perp (SAB)$. (0,25 điểm) b) (0,75 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SA. $(SAC)\perp (SAB)(cmt)$, $BH\perp SA,BH\subset (SAB)$ $\Rightarrow BH\perp (SAC)$. (Cách CM khác cho tối đa) (0,25 điểm) $\Rightarrow d(B,(SAC))=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. (0,25 điểm)

a) (0,75 điểm) Vẽ hình. Ta có: $\{\begin{array}{l}BC\perp AB(gt)\\ BC\perp SA(SA\perp (ABC))\end{array}$ (0,25 điểm) $\Rightarrow BC\perp (SAB)$ (0,25 điểm) $\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$. (0,25 điểm) b) (0,75 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. $(SBC)\perp (SAB)(cmt)$, $AH\perp SB,AH\subset (SAB)$ $\Rightarrow AH\perp (SBC)$. (Cách CM khác cho tối đa) (0,25 điểm) $\Rightarrow d(A,(SBC))=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$.

a) Đúng. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Đáy là hình vuông nên $AC\perp BD$. Trong mặt phẳng $(SAC)$ có $SA\cap AC=A$, do đó $BD\perp (SAC)$. Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$.

b) Đúng. Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$ (vì $SA\perp (ABCD)$), hình chiếu của $C$ là $C$, nên hình chiếu của đường thẳng $SC$ là đường thẳng $AC$.

c) Sai. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{a^3}{3}\ne a^3$.

d) Sai. Hình chiếu của $D$ lên $(ABCD)$ là $D$, hình chiếu của $S$ là $A$, nên góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SDA}$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ với $SA=AD=a$ nên $\widehat{SDA}=45^{\circ }\ne 30^{\circ }$.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án mã đề 1011 (ĐĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp BD$ (vì $SA\perp (ABCD)$) và $AC\perp BD$ (đáy hình vuông) nên $BD\perp (SAC)$, suy ra $(SBD)\perp (SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ là $A$, của $C$ là $C$, nên hình chiếu của $SC$ là $AC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a=\frac{a^3}{3}\ne a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}=45^{\circ }$ vì tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, mà $AB$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAB)\perp (ABCD)$ (điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng).
b) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, tức tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
c) Sai: $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $CD\perp (SAD)$, không phải $(SAB)$. Thật vậy $CD$ không vuông góc với $AB$ nên không thể vuông góc với $(SAB)$.
d) Sai: Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc $SBA$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ với $AB$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABCD)$, suy ra $(SAB)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, không phải $(SAB)$; $CD$ không vuông góc với $AB$ nên không vuông góc với $(SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$ với $\tan \widehat{SBA}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, nên góc bằng $60^{\circ }$ chứ không phải $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = 2a.
a) Đúng: Vì SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (ABCD) (theo định lý về mặt phẳng chứa đường vuông góc).
b) Sai: Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}$, không bằng $2a^3$.
c) Đúng: Vì SA ⊥ (ABCD) nên A là hình chiếu của S lên (ABCD); D ∈ (ABCD) nên góc giữa SD và (ABCD) là $\widehat{SDA}$.
d) Đúng: Khoảng cách từ S đến (ABCD) chính là chiều cao SA = 2a.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}\ne 2a^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
A là hình chiếu của S trên (ABCD) nên góc giữa SD và (ABCD) là $\widehat{SDA}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ S đến (ABCD) bằng SA = 2a.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ nên $SB$ là đường vuông góc chung, mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SB$ nên $(SBC)\perp (ABC)$. Các phương án khác không suy ra được từ giả thiết. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA=a. a) Đúng: SA⊥(ABCD) nên (SAB)⊥(ABCD) (mặt phẳng chứa đường vuông góc với (ABCD)). b) Sai: V = (1/3)·a²·a = a³/3 ≠ a³. c) Đúng: SA⊥(ABCD) nên d(S,(ABCD)) = SA = a. d) Sai: CD∥AB, AB⊂(SAB) nên CD∥(SAB); khoảng cách giữa SA và CD bằng khoảng cách từ CD đến (SAB) = khoảng cách từ D đến AB = AD = a ≠ a/2. Khớp đáp án mã đề 1102 câu 14: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) và SA⊂(SAB) nên (SAB)⊥(ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·S_đáy·SA = (1/3)·a²·a = a³/3, không bằng a³.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì SA⊥(ABCD) nên khoảng cách từ S đến (ABCD) là SA = a.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD∥AB⊂(SAB) nên CD∥(SAB); d(SA,CD) = d(CD,(SAB)) = d(D,AB) = AD = a, không phải a/2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ và $SB\subset (SBC)$, theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, ta có $(SBC)\perp (ABC)$. Các mệnh đề khác không thể kết luận được từ giả thiết. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên mỗi mặt bên là hình chữ nhật. Xét hai mặt bên kề nhau, ví dụ $(ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ với hai mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: mặt $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa cạnh $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (ABCD)$. Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, ta có $AB\perp BC$. Theo định lý về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng: mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ chứa $BC$ mà $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Vậy hai mặt bên kề nhau vuông góc với nhau → khẳng định B đúng. Các mặt bên song song với nhau chỉ đúng với các mặt đối nhau, không đúng với mọi cặp mặt bên (C sai); các mặt bên không thể đôi một vuông góc với nhau vì mặt đối nhau song song (D sai); A sai vì mọi mặt bên đều vuông góc với mặt đáy. Đáp án trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$, $O$ là tâm đáy, $I$ trung điểm $AB$.

a) Đúng: $SO\perp (ABC)$ nên $SO\perp OC$; lại $OC\perp AB$ (tính chất đường trung tuyến/đường cao tam giác đều). Mặt phẳng $(SCO)$ chứa đường thẳng $SO$ vuông góc với $(ABC)$ tại $O$, do đó $(SCO)\perp (ABC)$.

b) Đúng: Trong tam giác đều $ABC$, $CI\perp AB$ nên $AB\perp CI$ và $AB\perp IO$ ($IO$ nằm trên $CI$). Suy ra $AB\perp (SIO)$. Khi đó $SI\subset (SAB)$ và $IO\subset (ABC)$ cùng vuông góc với giao tuyến $AB$, nên góc $\widehat{SIO}$ là góc phẳng của nhị diện $[S,AB,C]$.

c) Đúng: $SO\perp (ABC)$ nên $SO\perp OI$; đồng thời $AB\perp (SIO)$ nên $AB\perp OI$. Vậy $OI$ vuông góc với cả $SO$ và $AB$, tức $OI$ là đường vuông góc chung của $SO$ và $AB$.

d) Sai: Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{\Delta ABC}$, thiếu hệ số $\frac{1}{3}$ so với khẳng định đề bài. Kết quả trùng bảng đáp án mã đề 0101 câu 13: Đ Đ Đ S.

a) $SO\perp (ABC)$ và $OC\subset (ABC)$ nên $SO\perp OC$; mặt phẳng $(SCO)$ chứa $SO$ vuông góc với $(ABC)$ nên $(SCO)\perp (ABC)$.

b) $AB\perp CI$ nên $AB\perp SI$ và $AB\perp IO$; do đó $SI$, $IO$ cùng vuông góc với giao tuyến $AB$, góc $\widehat{SIO}$ là góc phẳng của nhị diện $[S,AB,C]$.

c) $SO\perp OI$ (vì $SO\perp (ABC)$) và $AB\perp OI$ (vì $AB\perp (SIO)$), nên $OI$ là đường vuông góc chung của $SO$ và $AB$.

d) Thể tích đúng là $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{\Delta ABC}$, không phải $SO\cdot S_{\Delta ABC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Các mặt bên là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hai mặt bên kề nhau cắt nhau theo một cạnh bên; cạnh bên này vuông góc với mặt đáy, do đó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt đáy, kể cả đường thẳng chung trong mỗi mặt bên kề cạnh đó. Suy ra hai mặt bên kề nhau vuông góc với nhau → A đúng. B sai vì các mặt bên đều vuông góc với mặt đáy. C sai vì các mặt bên kề nhau cắt nhau (không song song). D sai vì chỉ các mặt bên kề nhau mới vuông góc, còn hai mặt bên đối diện thì song song. Kết quả khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$. Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý điều kiện cần và đủ: hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể song song hoặc cắt nhau; B chỉ là điều kiện cắt nhau; C là điều kiện song song. Phương án D hiển thị ở trang 14, khớp với định lý.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc: hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó đáp án là A. Các phương án B, C, D chỉ là các điều kiện sai hoặc không đủ (hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể song song hoặc cắt nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc: hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể song song hoặc cắt nhau; C, D không đảm bảo vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$. Vậy khẳng định đúng là $(SAB)\perp (SBC)$, chọn C. Các phương án khác không suy ra được từ giả thiết.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý: hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó đáp án C. A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba có thể song song hoặc cắt nhau; B chỉ là điều kiện song song; D đúng với mọi hai mặt phẳng cắt nhau, không đòi hỏi vuông góc.