Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: (P) đi qua M(-1;-5): a(-1)^2 + b(-1) + 1 = -5 ⟹ a - b + 1 = -5 ⟹ b = a + 6. Tung độ đỉnh: y_đ = 1 - b²/(4a) = 3 ⟹ b² = -8a. Thay b = a+6: (a+6)² = -8a ⟹ a² + 20a + 36 = 0 ⟹ a = -2 hoặc a = -18. Với a = -2 thì b = 4 (thỏa b>0); với a = -18 thì b = -12 (loại). Vậy a = -2, b = 4. Kiểm tra: y = -2x² + 4x + 1, đỉnh x = 1, y(1) = 3 ✓, M(-1;-5): -2-4+1 = -5 ✓.

Câu 1b: √(x⁴-2x²+1) + x = 1 ⟺ |x² - 1| + x = 1 (điều kiện luôn đúng vì vế trái là |·|).
- TH1: |x| ≥ 1, khi đó |x²-1| = x²-1: x² - 1 + x = 1 ⟺ x² + x - 2 = 0 ⟺ x = 1 hoặc x = -2. Cả hai thỏa |x| ≥ 1.
- TH2: |x| < 1, khi đó |x²-1| = 1 - x²: 1 - x² + x = 1 ⟺ x(1 - x) = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 1. Chỉ x = 0 thỏa |x| < 1.
Vậy tập nghiệm S = {-2; 0; 1}.

Xây dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ:



Bài toán đưa về: Xác định tung độ đỉnh của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$, biết parabol đi qua các điểm $O(0;0)$, $A(1;3)$, $B(3;3)$. (0,5 điểm)

Ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}a.0+b.0+c=0\\ a.1+b.1+c=3\\ a.9+b.3+c=3\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}\Rightarrow \text{Parabol }y=-x^2+4x\text{ coˊ đỉnh }I(2;4).$$
Vậy vị trí cao nhất của pano so với mặt đất là $4m$. (0,5 điểm)

$f(x)=2x^2-4x+3$ có $a=2>0$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;1)$.

$y=x^2-3x+2$. $3a+2b=3.1+2(-3)=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11.
a) Với $m=1$: $y=-x^2+4x=-(x-2{)}^2+4$.
- Hàm số có $a=-1<0$ nên parabol nhánh hướng xuống, đỉnh $I(2;4)$, trục đối xứng $x=2$.
- Bảng biến thiên: đồng biến trên $(-\infty ;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$, giá trị lớn nhất $y=4$ tại $x=2$; $y\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$.
- Giao điểm với trục hoành: $-x^2+4x=0⟺x=0$ hoặc $x=4$, tức $(P)$ qua $O(0;0)$ và $(4;0)$. Vẽ parabol qua $O(0;0)$, $I(2;4)$, $(4;0)$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2+2(m+1)x+1-m^2=0$ với $a=-1$, $b^{\prime }=m+1$, $c=1-m^2$.
${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2+(1-m^2)=2m+2$. Hai điểm phân biệt $A,B$ cần ${\Delta }^{\prime }>0⟺m>-1$.
Khi đó $x_A+x_B=2(m+1)$, $x_A{x}_B=1-m^2$.
$A(x_A;0)$, $B(x_B;0)$, $K(2;-2)$ nên $\overrightarrow{KA}=(x_A-2;2)$, $\overrightarrow{KB}=(x_B-2;2)$.
Tam giác $KAB$ vuông tại $K⟺\overrightarrow{KA}\cdot \overrightarrow{KB}=0$:
$(x_A-2)(x_B-2)+4=0⟺x_A{x}_B-2(x_A+x_B)+8=0$
$⟺1-m^2-4(m+1)+8=0⟺m^2+4m-5=0⟺m=1$ hoặc $m=-5$.
Kết hợp $m>-1$ được $m=1$. Thử lại: $m=1$ cho $y=-x^2+4x$, $A(0;0)$, $B(4;0)$; $\overrightarrow{KA}=(-2;2)$, $\overrightarrow{KB}=(2;2)$, tích vô hướng $-4+4=0$, thỏa mãn.
Vậy $m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh: $x_I=-\frac{-4}{2a}=\frac{2}{a}=2\Rightarrow a=1$. Đỉnh thuộc parabol: $y(2)=4a-8+b=-1\Rightarrow 4-8+b=-1\Rightarrow b=3$. Vậy $a+2b=1+6=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A) $f(x)=x^4-x^2+1$ có bậc cao nhất là 4, không phải hàm bậc hai. B) $f(x)=\frac{2x-4}{x+1}$ là hàm phân thức hữu tỉ, không phải hàm bậc hai. C) $f(x)=-x^2+3x-5$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=-1\ne 0$, $b=3$, $c=-5$, đây là hàm số bậc hai. D) $f(x)=(2x-1)(x^2-2)=2x^3-x^2-4x+2$ có bậc cao nhất là 3, không phải hàm bậc hai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ có hoành độ $x=1$ (đường nét đứt qua đỉnh cắt trục hoành tại $x=1$), đỉnh có tung độ $y=4$ và đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;3)$, cắt trục hoành tại $x=-2$. Parabol có trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục tung, nên phương trình trục đối xứng là $x=1$. (Kiểm tra: hai nghiệm đối xứng qua $x=1$ là $x=-2$ và $x=4$.) Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. A: $y=2x+1$ là hàm bậc nhất. B: $y=\frac{1}{x^2}$ không phải đa thức. C: $y=x^4-3x^2+2$ có bậc 4. D: $y=-3x^2+2$ có dạng bậc hai với $a=-3\ne 0$, $b=0$, $c=2$, nên là hàm số bậc hai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ có tọa độ $(2;1)$ (đường dashed chỉ đỉnh tại $x=2$, $y=1$). Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục tung, nên trục đối xứng là $x=2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A. $y=x^2-\frac{3}{2}x+1$ có dạng bậc hai với $a=1\ne 0$ → là hàm số bậc hai. B. $y=\frac{1}{x^2}$ là hàm phân thức, không phải bậc hai. C. $y=3x+1$ là hàm bậc nhất. D. $y=4x^4-3x^2+1$ có bậc cao nhất là 4, không phải bậc hai. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có đỉnh tại $x=-\frac{b}{2a}$ và trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A. $y=\frac{1}{2}{x}^2$ có dạng bậc hai với $a=\frac{1}{2}\ne 0$, $b=0$, $c=0$ — là hàm số bậc hai. B. $y=x^2+2x-\sqrt{x}$ chứa căn thức $\sqrt{x}$ nên không phải hàm đa thức bậc hai. C. $y=\frac{3}{x}+1$ là hàm phân thức (hàm số bậc nhất bậc $-1$ theo $x$), không phải bậc hai. D. $y=2-4x$ là hàm bậc nhất. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. A: $y=3x+1$ là hàm bậc nhất. B: $y=x^4-\frac{3}{2}{x}^2+1$ có bậc 4, không phải bậc hai. C: $y=\frac{1}{x^2}$ không phải đa thức. D: $y=3x^2+1$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=3\ne 0$, $b=0$, $c=1$, là hàm số bậc hai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc hai có dạng $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$. Xét từng phương án: A) $f(x)=x^4-x^2+1$ có bậc cao nhất là 4, không phải hàm bậc hai. B) $f(x)=\frac{2x-4}{x+1}$ là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, không phải hàm bậc hai. C) $f(x)=-x^2+3x-5$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với $a=-1\ne 0$, đây là hàm số bậc hai. D) $f(x)=(2x-1)(x^2-2)=2x^3-x^2-4x+2$ có bậc cao nhất là 3, không phải hàm bậc hai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ có hoành độ $x=1$ (điểm cao nhất với tung độ $y=4$ nằm tại $x=1$, và parabol cắt trục hoành tại hai điểm đối xứng qua $x=1$). Vậy phương trình trục đối xứng của $(P)$ là $x=1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đỉnh của parabol $(P)$ là điểm $(2;-1)$ (điểm thấp nhất, được đánh dấu trên đồ thị). Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục tung, nên có phương trình $x=2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ là $x=-\frac{b}{2a}$. Với $y=-2x^2+x+3$ ta có $a=-2$, $b=1$, nên $x=-\frac{1}{2(-2)}=\frac{1}{4}$. Vậy trục đối xứng là đường thẳng $x=\frac{1}{4}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh I(1/2; 8), trục đối xứng song song trục tung nên có dạng $v(t)=a{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+8$. Theo hình vẽ, đồ thị cắt trục hoành tại $t=1$ (và đi qua gốc $O$), nên $v(1)=0$: $a\cdot \frac{1}{4}+8=0\Rightarrow a=-32$. Vậy $v(t)=-32{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+8$. Kiểm tra: $v(0)=-32\cdot \frac{1}{4}+8=0$ (phù hợp đồ thị đi qua gốc tọa độ). Tại $t=0,25$: $v(0,25)=-32{\left(0,25-0,5\right)}^2+8=-32\cdot 0,0625+8=-2+8=6$ (m/h).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^2-2x+3$ có $a=-1<0$, bậc hai. a) $y^{\prime }=-2x-2=0\iff x=-1$; với $x>-1$ thì $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;+\infty )$ → đúng. b) Đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2(-1)}=-1$, $y(-1)=-1+2+3=4$, đỉnh là $I(-1;4)$, không phải $I(-2;3)$ → sai. c) $-x^2-2x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$: hai điểm $(1;0)$ và $(-3;0)$ phân biệt, nằm về hai phía của trục tung → đúng. d) Vì $a=-1<0$, GTLN tại đỉnh bằng $y(-1)=4\ne 3$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-2x-2<0$ khi $x>-1$, nên hàm nghịch biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh là $I(-1;4)$ vì $x=-\frac{b}{2a}=-1$, $y(-1)=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=1$ và $x=-3$ là hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a<0$, GTLN của hàm số bằng $y(-1)=4$, không phải 3.