Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) tan x xác định khi cos x ≠ 0, nên D = ℝ \ {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}. Đúng.
b) Tại x = π/4: f(π/4) + g(π/4) = tan(π/4) + cot(π/4) = 1 + 1 = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua (π/4; 1). Sai.
c) y = tan x + cot x = 1/(sin x cos x) = 2/sin 2x. Vì y(-x) = 2/sin(-2x) = -2/sin 2x... xét trực tiếp: tan(-x) + cot(-x) = -tan x - cot x, thực ra hàm này là hàm lẻ! Kiểm tra: tan(-x) = -tan x, cot(-x) = -cot x, nên y(-x) = -y(x), hàm lẻ chứ không chẵn. Do đó đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng. Sai.
d) tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ. Với x ∈ (0; 10π]: 0 < π/4 + kπ ≤ 10π ⟺ -1/4 < k ≤ 39/4 = 9,75, nên k ∈ {0, 1, ..., 9}, đúng 10 nghiệm. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
tan x xác định khi cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan(π/4) + cot(π/4) = 1 + 1 = 2 ≠ 1, nên đồ thị không đi qua (π/4; 1).
c) (AI giải đề cho tôi)
y(-x) = tan(-x) + cot(-x) = -tan x - cot x = -y(x), hàm số là hàm lẻ chứ không phải hàm chẵn, nên đồ thị không nhận trục tung làm trục đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; điều kiện 0 < x ≤ 10π cho k ∈ {0,...,9}, đúng 10 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\cos 2x$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$. Ta tính giá trị tại các điểm: $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\cos (-\pi )=-1$; $f(0)=\cos 0=1$; $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi =-1$; $f(\pi )=\cos 2\pi =1$; $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\cos 3\pi =-1$. Có $f^{\prime }(x)=-2\sin 2x$, nên $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (hàm đồng biến) và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ (hàm nghịch biến). Vậy bảng biến thiên: từ $-1$ tăng lên $1$ tại $x=0$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$, tăng lên $1$ tại $x=\pi$, giảm xuống $-1$ tại $x=\frac{3\pi }{2}$. Đây đúng là bảng ở phương án A. Các phương án B (sai chiều biến thiên), C và D (sai giá trị $\pm 2$) đều bị loại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$ xác định khi $\sin x-\cos x\ne 0$, tức $\sin x=\cos x$. Chia hai vế cho $\cos x\ne 0$ (vì nếu $\cos x=0$ thì $\sin x=\pm 1\ne 0$, không thỏa mãn), ta được $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: tại $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin x-\cos x=0$ nên mẫu bằng 0, đúng loại. Đáp án C.

Điều kiện để hàm số có nghĩa là $\cos x-1\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. (0,25 điểm)
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. (0,25 điểm)

Điều kiện để hàm số có nghĩa là $\sin x+1\ne 0\iff \sin x\ne -1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Tìm tập xác định.

1) $y=\frac{x+3}{2\sin x-1}$: Hàm số xác định khi $2\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne \frac{1}{2}\iff x\ne \frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x\ne \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2) $y=\frac{\cos x+7}{\cos 4x+1}$: Vì $\cos x+7\ne 0$ với mọi $x$, hàm số xác định khi $\cos 4x+1\ne 0\iff \cos 4x\ne -1\iff 4x\ne \pi +k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3) $y=\tan \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$: Hàm số xác định khi $x+\frac{3\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

4) $y=\cot 2x-\tan x$: Hàm số xác định khi $\sin 2x\ne 0$ và $\cos x\ne 0$, tức $2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$ và $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vì $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\subset \left\{\frac{k\pi }{2}\right\}$ nên điều kiện gộp lại là $x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ.

1) $y={\sin }^{3}x+\tan x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)={\sin }^3(-x)+\tan (-x)=-{\sin }^{3}x-\tan x=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

2) $y={\sin }^{2}x+\cos x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}$ đối xứng. $y(-x)={\sin }^2(-x)+\cos (-x)={\sin }^{2}x+\cos x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

3) $y=\frac{\sin 2x}{x}$, TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng. $y(-x)=\frac{\sin (-2x)}{-x}=\frac{-\sin 2x}{-x}=\frac{\sin 2x}{x}=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

4) $y=\sin x+\cos x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}$ đối xứng. $y(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$. Ta có $y(-x)\ne y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\sqrt{2}$, $y(-x)=0$) và $y(-x)\ne -y(x)$ (vì $-y=-\sin x-\cos x\ne \cos x-\sin x$). Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tìm chu kì của các hàm số:
1) $y=\sin 5x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{5}$ vì $\sin 5(x+T)=\sin (5x+2\pi )\iff 5T=2\pi$.
2) $y=\cos \frac{2x}{3}$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2/3}=3\pi$ vì $\frac{2(x+T)}{3}=\frac{2x}{3}+2\pi \iff \frac{2T}{3}=2\pi$.
3) $y=\tan \frac{x}{2}$ có chu kì $T=\frac{\pi }{1/2}=2\pi$ vì $\frac{x+T}{2}=\frac{x}{2}+\pi \iff \frac{T}{2}=\pi$.
4) $y=\cot 6x$ có chu kì $T=\frac{\pi }{6}$ vì $\cot 6(x+T)=\cot (6x+\pi )\iff 6T=\pi$.

Nhận xét chung: hàm $y=A\sin (bx+c)$ hoặc $y=A\cos (bx+c)$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{|b|}$; hàm $y=\tan (bx+c)$ hoặc $y=\cot (bx+c)$ có chu kì $T=\frac{\pi }{|b|}$ (với $b\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Tìm max, min:
1) $y=6\sin x-1$: vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-7\le y\le 5$. $\max y=5$ khi $\sin x=1$ tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$; $\min y=-7$ khi $\sin x=-1$ tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
2) $y=7-9\cos 5x$: vì $-1\le \cos 5x\le 1$ nên $-2\le y\le 16$. $\max y=16$ khi $\cos 5x=-1$ tức $5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$; $\min y=-2$ khi $\cos 5x=1$ tức $x=\frac{k2\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.
3) $y=\sin 2x-\cos 2x-5=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-5$: vì $-\sqrt{2}\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ nên $-5-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}-5$. $\max y=\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$; $\min y=-5-\sqrt{2}$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
4) $y={\cos }^{2}x+\cos x-5$. Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, $f(t)=t^2+t-5={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{21}{4}$, đỉnh $t=-\frac{1}{2}\in [-1;1]$. $\min y=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{21}{4}$ khi $\cos x=-\frac{1}{2}$ tức $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$; $\max y=\max \{f(-1),f(1)\}=f(1)=-3$ khi $\cos x=1$ tức $x=k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=1-\tan \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ xác định khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ne 0$, tức $x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Tìm tập xác định.

1) $y=\frac{x+3}{2\sin x-1}$: Hàm số xác định khi $2\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne \frac{1}{2}\iff x\ne \frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x\ne \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2) $y=\frac{\cos x+7}{\cos 4x+1}$: Vì $\cos x+7\ge 6>0$ với mọi $x$, hàm số xác định khi $\cos 4x+1\ne 0\iff \cos 4x\ne -1\iff 4x\ne \pi +k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3) $y=\tan \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$: Hàm số xác định khi $x+\frac{3\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

4) $y=\cot 2x-\tan x$: Điều kiện $\cot 2x$ xác định: $2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$; $\tan x$ xác định: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, nhưng tập này đã nằm trong $\left\{\frac{k\pi }{2}\right\}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số.

1) $y={\sin }^{3}x+\tan x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$:
$$y(-x)={\sin }^3(-x)+\tan (-x)=-{\sin }^{3}x-\tan x=-y(x).$$
Vậy hàm số là hàm số lẻ.

2) $y={\sin }^{2}x+\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x$:
$$y(-x)={\sin }^2(-x)+\cos (-x)={\sin }^{2}x+\cos x=y(x).$$
Vậy hàm số là hàm số chẵn.

3) $y=\frac{\sin 2x}{x}$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\ne 0$:
$$y(-x)=\frac{\sin (-2x)}{-x}=\frac{-\sin 2x}{-x}=\frac{\sin 2x}{x}=y(x).$$
Vậy hàm số là hàm số chẵn.

4) $y=\sin x+\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$, đối xứng qua gốc tọa độ. Ta có $y(-x)=-\sin x+\cos x$, khác cả $y(x)$ lẫn $-y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\sqrt{2}$, $y(-x)=0$). Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tìm chu kì của các hàm số:
1) $y=\sin 5x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{5}$ vì $\sin 5(x+T)=\sin (5x+2\pi )\iff 5T=2\pi$.
2) $y=\cos \frac{2x}{3}$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2/3}=3\pi$ vì $\cos \frac{2(x+T)}{3}=\cos \left(\frac{2x}{3}+2\pi \right)\iff \frac{2T}{3}=2\pi$.
3) $y=\tan \frac{x}{2}$ có chu kì $T=\frac{\pi }{1/2}=2\pi$ vì $\tan \frac{x+T}{2}=\tan \left(\frac{x}{2}+\pi \right)\iff \frac{T}{2}=\pi$.
4) $y=\cot 6x$ có chu kì $T=\frac{\pi }{6}$ vì $\cot 6(x+T)=\cot (6x+\pi )\iff 6T=\pi$.
Vậy các chu kì lần lượt là $\frac{2\pi }{5};3\pi ;2\pi ;\frac{\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số.

1) $y=6\sin x-1$. Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-6\le 6\sin x\le 6$, do đó $-7\le y\le 5$.
GTNN: $\min y=-7$ khi $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
GTLN: $\max y=5$ khi $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $y=7-9\cos 5x$. Vì $-1\le \cos 5x\le 1$ nên $-9\le -9\cos 5x\le 9$, do đó $-2\le y\le 16$.
GTNN: $\min y=-2$ khi $\cos 5x=1\iff 5x=k2\pi \iff x=\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.
GTLN: $\max y=16$ khi $\cos 5x=-1\iff 5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $y=\sin 2x-\cos 2x-5=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-5$. Vì $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}-5\le y\le \sqrt{2}-5$.
GTNN: $\min y=-5-\sqrt{2}$ khi $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
GTLN: $\max y=\sqrt{2}-5$ khi $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff 2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

4) $y={\cos }^{2}x+\cos x-5$. Đặt $t=\cos x$ với $-1\le t\le 1$, khi đó $y=t^2+t-5={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{21}{4}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $t=-\frac{1}{2}\in [-1;1]$: $\min y=-\frac{21}{4}$, khi $\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
So sánh hai đầu: $t=-1\Rightarrow y=1-1-5=-5$; $t=1\Rightarrow y=1+1-5=-3$. Vậy $\max y=-3$ khi $\cos x=1\iff x=k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Tóm tắt: (1) $\max y=5$, $\min y=-7$; (2) $\max y=16$, $\min y=-2$; (3) $\max y=\sqrt{2}-5$, $\min y=-5-\sqrt{2}$; (4) $\max y=-3$, $\min y=-\frac{21}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $2x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{x\ne \frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2};k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ của từng hàm số:
- A: $y=-\sin x$ là hàm lẻ vì $-\sin (-x)=\sin x=-(-\sin x)$.
- B: $y=\cos x-\sin x$: $f(-x)=\cos x+\sin x\ne f(x)$ và $\ne -f(x)$, không chẵn không lẻ.
- C: $y=\cos x+{\sin }^{2}x$: $f(-x)=\cos (-x)+{\sin }^2(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, là hàm chẵn.
- D: $y=\cos x\sin x=\frac{1}{2}\sin 2x$ là hàm lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x+{\sin }^{2}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Tập xác định:
1) $y=\frac{x+3}{2\sin x-1}$: điều kiện $2\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne \frac{1}{2}\iff x\ne \frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x\ne \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
2) $y=\frac{\cos x+7}{\cos 4x+1}$: vì $\cos x+7\ne 0$ với mọi $x$, chỉ cần $\cos 4x+1\ne 0\iff \cos 4x\ne -1\iff 4x\ne \pi +k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
3) $y=\tan \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$: điều kiện $x+\frac{3\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
4) $y=\cot 2x-\tan x$: cần $\sin 2x\ne 0\iff 2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$ và $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vì $\frac{\pi }{2}+k\pi$ đã nằm trong dạng $\frac{k\pi }{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ.

1) $y={\sin }^{3}x+\tan x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)={\sin }^3(-x)+\tan (-x)=-{\sin }^{3}x-\tan x=-y(x)$. Vậy hàm số lẻ.

2) $y={\sin }^{2}x+\cos x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y(-x)={\sin }^2(-x)+\cos (-x)={\sin }^{2}x+\cos x=y(x)$. Vậy hàm số chẵn.

3) $y=\frac{\sin 2x}{x}$, TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)=\frac{\sin (-2x)}{-x}=\frac{-\sin 2x}{-x}=\frac{\sin 2x}{x}=y(x)$. Vậy hàm số chẵn.

4) $y=\sin x+\cos x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$, khác cả $y(x)$ lẫn $-y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\sqrt{2}$, $y(-x)=0$). Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Tìm tập xác định:

1) $y=\frac{x+3}{2\sin x-1}$: Hàm số xác định khi $2\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne \frac{1}{2}\iff x\ne \frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x\ne \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2) $y=\frac{\cos x+7}{\cos 4x+1}$: Vì $\cos x+7\ge 6>0$ với mọi $x$, hàm số xác định khi $\cos 4x+1\ne 0\iff \cos 4x\ne -1\iff 4x\ne \pi +k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3) $y=\tan \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$: Hàm số xác định khi $x+\frac{3\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

4) $y=\cot 2x-\tan x$: Hàm số xác định khi $\sin 2x\ne 0$ và $\cos x\ne 0$, tức $2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$ và $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vì $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\subset \left\{\frac{k\pi }{2}\right\}$ nên điều kiện gộp lại là $x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ.

1) $y={\sin }^{3}x+\tan x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)={\sin }^3(-x)+\tan (-x)=-{\sin }^{3}x-\tan x=-y(x)$. Vậy hàm số lẻ.

2) $y={\sin }^{2}x+\cos x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y(-x)={\sin }^2(-x)+\cos (-x)={\sin }^{2}x+\cos x=y(x)$. Vậy hàm số chẵn.

3) $y=\frac{\sin 2x}{x}$, TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)=\frac{\sin (-2x)}{-x}=\frac{-\sin 2x}{-x}=\frac{\sin 2x}{x}=y(x)$. Vậy hàm số chẵn.

4) $y=\sin x+\cos x$, TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có $y(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$, khác cả $y(x)$ lẫn $-y(x)=-\sin x-\cos x$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\sqrt{2}$, $y(-x)=0$). Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.