Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_3(9-2x)$. a) Hàm số xác định khi $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên tập xác định $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$ → Sai. b) $f(0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$ → Đúng. c) Hàm số $y={\log }_{3}u$ đồng biến, $u=9-2x$ nghịch biến, nên $f(x)$ nghịch biến trên tập xác định (không đồng biến trên $\mathbb{R}$) → Sai. d) Trên đoạn $[-9;3]$, do hàm nghịch biến: $f(-9)={\log }_{3}27=3$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, nên tập giá trị là $[1;3]$ → Đúng. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng, khớp đáp án mã đề 1110 (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)={\log }_3(9-0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}u$ đồng biến còn $u=9-2x$ nghịch biến, nên $f(x)$ nghịch biến trên tập xác định của nó, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-9;3]$: $f(-9)={\log }_{3}27=3$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, nên tập giá trị là $[1;3]$.

a) $P=494{\log }_{a^3}b+{\log }_a\left(a{b}^2\right)=494.\frac{1}{3}{\log }_{a}b+{\log }_{a}a+2{\log }_{a}b$ (0,25 điểm)
$=494.\frac{1}{3}.3+1+2.3=501.$ (0,25 điểm)

b) $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}.a^{\frac{7}{3}}}{\sqrt[7]{a^{-2}}}=\frac{a^{\frac{5}{3}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{-2}{7}}}$ (0,25 điểm)
$\frac{a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}}}{a^{\frac{-2}{7}}}=\frac{a^4}{a^{\frac{-2}{7}}}=a^{4+\frac{2}{7}}=a^{\frac{30}{7}}.$
Vậy $m+n=30+7=37.$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)={\log }_5(x-10)$.
a) Tại $x=1$ thì $x-10=-9<0$ nên $f(1)$ không xác định, do đó đồ thị không đi qua $A(1;15)$ → Sai.
b) $f(x)=-1\iff {\log }_5(x-10)=-1\iff x-10=\frac{1}{5}\iff x=\frac{51}{5}$, phương trình có nghiệm nên khẳng định 'vô nghiệm' là Sai.
c) Hàm số xác định khi $x-10>0$, tức $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$ → Sai.
d) ${\log }_{25}a=2f(x)=2{\log }_5(x-10)={\log }_5\left((x-10{)}^2\right)$, suy ra $a=25^{{\log }_5\left((x-10{)}^2\right)}={\left((x-10{)}^2\right)}^{{\log }_{5}25}={\left((x-10{)}^2\right)}^2=(x-10{)}^4$ → Đúng.
Kết quả S, S, S, Đ khớp đáp án mã đề 1102 (SSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ thì $x-10=-9<0$, $f(1)$ không xác định nên đồ thị không đi qua $A(1;15)$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_5(x-10)=-1\iff x=\frac{51}{5}$, phương trình có nghiệm nên khẳng định vô nghiệm là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-10>0$ nên $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$ → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{25}a=2{\log }_5(x-10)={\log }_5\left((x-10{)}^2\right)\Rightarrow a=25^{{\log }_5\left((x-10{)}^2\right)}={\left((x-10{)}^2\right)}^2=(x-10{)}^4$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số logarit: ${\log }_{a}M=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a}$ với $a,b>0$, $a,b\ne 1$, $M>0$. Do đó khẳng định A đúng. B sai vì vế phải chính là ${\log }_{a}M$ chia cho ${\log }_{a}b$ (không bằng ${\log }_{a}M$ trừ khi ${\log }_{a}b=1$, tức $b=a$); C và D sai vì đổi cơ số là phép chia chứ không phải phép trừ hay phép nhân. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_5(x-10)$. a) Điều kiện xác định: $x-10>0\iff x>10$, nên $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$ → Sai. b) ${\log }_{25}a=2f(x)=2{\log }_5(x-10)={\log }_5(x-10{)}^2$, suy ra $a=25^{{\log }_5(x-10{)}^2}=5^{2{\log }_5(x-10{)}^2}=(x-10{)}^4$ → Đúng. c) Tại $x=1$ hàm không xác định (vì $1\notin (10;+\infty )$), nên đồ thị không đi qua $A(1;15)$ → Sai. d) $f(x)=-1\iff x-10=5^{-1}=\frac{1}{5}\iff x=\frac{51}{5}=10,2\in (10;+\infty )$, phương trình có nghiệm → khẳng định 'vô nghiệm' là Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1101: SĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm ${\log }_5(x-10)$ xác định khi $x-10>0\iff x>10$, nên $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{25}a=2{\log }_5(x-10)={\log }_5(x-10{)}^2\Rightarrow a=25^{{\log }_5(x-10{)}^2}=5^{2{\log }_5(x-10{)}^2}=(x-10{)}^4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=1$ không thuộc tập xác định $(10;+\infty )$ nên đồ thị không đi qua $A(1;15)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-1\iff x-10=5^{-1}=\frac{1}{5}\iff x=10,2$, phương trình có nghiệm nên khẳng định vô nghiệm là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ đi qua điểm $(2;2)$ (theo hình vẽ, khi $x=2$ thì $y=2$). Do đó ${\log }_{a}2=2\iff a^2=2\iff a=\sqrt{2}$ (vì $a>0$, $a\ne 1$). Thử lại: đồ thị tăng (vì $a>1$) và đi qua $(2;2)$, khớp với hình vẽ. Vậy $a=\sqrt{2}$, chọn D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình đi qua điểm gần $(0;1)$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ và giảm dần, tiệm cận trục hoành khi $x\to +\infty$ — đây là đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Loại A, D vì hàm logarit chỉ xác định khi $x>0$; loại B vì $y=(\sqrt{2}{)}^x$ với cơ số $\sqrt{2}>1$ là hàm đồng nhất. Vậy đường cong là của $y=(0,8{)}^x$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $(C)$ đi qua điểm $B(4;1)$ nên ${\log }_{a}4=1\Rightarrow a=4$, hàm số là $y={\log }_{4}x$.
a) Sai: hàm số $y={\log }_{4}x$ chỉ xác định và đồng biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) Sai: tập giá trị của hàm số logarit là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) Đúng: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên $(C)$ đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) Đúng: ${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$. Kết quả khớp đáp án chính thức (Mã đề 3267, Phần II Câu 4: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ chỉ đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của hàm số logarit là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $a=4$ (đi qua $(4;1)$). ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên $(C)$ đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$, đúng như phát biểu.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$ (đồng biến trên $\mathbb{R}$, đi qua điểm $(0;1)$). Trên hình, đồ thị đi qua điểm $(1;2)$, nên $a^1=2\Rightarrow a=2$. Vậy hàm số là $y=2^x$. Các đáp án A, D có $0<a<1$ nên nghịch biến (loại); đáp án B với $y=3^x$ thì $3^1=3\ne 2$ (loại). Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 3267, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $p(h)=100e^{-h/7}$. a) $p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ với mọi $h$, nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng → Sai. b) Tại mặt nước biển $h=0$: $p(0)=100e^0=100$ kPa → Đúng. c) Đỉnh Everest $h=8,85$ km: $p=100e^{-8,85/7}=100e^{-1,2643}\approx 28,2$ kPa → Đúng. d) Cần $100e^{-h/7}\ge 60\iff h\le 7\ln \frac{100}{60}\approx 7\cdot 0,5108\approx 3,5757$ km $\approx 3576$ m → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p(0)=100e^0=100$ kPa.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h=8,85$ km: $p=100e^{-8,85/7}\approx 28,2$ kPa.
d) (AI giải đề cho tôi)
$100e^{-h/7}\ge 60\iff h\le 7\ln (100/60)\approx 3,5757$ km $\approx 3576$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $(C)$ đi qua điểm $B(4;1)$ nên ${\log }_{a}4=1\Rightarrow a=4$. Vậy $y={\log }_{4}x$.
a) Sai: hàm số chỉ xác định và đồng biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) Sai: tập giá trị của hàm $y={\log }_{4}x$ là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) Đúng: ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) Đúng: ${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$. Khớp với đáp án chính thức SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ chỉ đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(1;2)$ và tăng lên, nên là hàm mũ cơ số $a>1$ với $a^1=2$, tức $y=2^x$. Các hàm $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ nghịch biến; $y=3^x$ đi qua $(1;3)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ qua $A(1;0)$ song song $Oy$ nên có phương trình $x=1$. Khi đó $B(1;a^1)=(1;a)$ và $C(1;2^1)=(1;2)$. Vì $0<a<1$ nên $AB=a$ và $AC=2$. Điều kiện $AC=5AB$ cho $2=5a$, suy ra $a=\frac{2}{5}=0,4$ (thỏa mãn $0<a<1$). Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,4.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(1;3)$ và tăng nhanh, đồng biến trên $\mathbb{R}$, cắt trục tung tại $y=1$: đây là đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$. Vì $a^1=3$ nên $a=3$, tức $y=3^x$. Loại $y=2^x$ (vì $2^1=2\ne 3$) và các hàm logarit (tập xác định $(0;+\infty )$, không phù hợp hình vẽ). Khớp đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(2;1)$ và tăng trên $(0;+\infty )$, có tiệm cận đứng là trục $Oy$ nên là hàm logarit với cơ số $a>1$. Vì ${\log }_{2}2=1$ nên đồ thị là của $y={\log }_{2}x$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi $2026-2a>1\iff a<1012,5$

Vì $a\in \mathbb{N}\Rightarrow a\in \{0;1;...;1012\}$. Vậy có tất cả 1013 số tự nhiên thỏa mãn YCBT.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ nghịch biến, đi qua $(0;1)$ và $(-1;2)$. Xét $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$: tại $x=0$ có $y=1$; tại $x=-1$ có $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$, khớp với đồ thị. Các hàm $y=(\sqrt{2}{)}^x$ và $y=2^x$ đồng biến nên loại; $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$ nên loại. Vậy đáp án là D, trùng với bảng đáp án mã đề 288 (câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và nghịch biến nên là hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$, loại A (logarit), B và C (hàm mũ với cơ số $>1$ nên đồng biến).
Trên đồ thị, khi $x=-1$ thì $y=2$, nên $a^{-1}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
Vậy hàm số là $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 119).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi $2026-2a>1\iff a<1012,5$

Vì $a\in \mathbb{N}\Rightarrow a\in \{0;1;...;1012\}$. Vậy có tất cả 1013 số tự nhiên thỏa mãn YCBT.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_4(x-1)$ có tập xác định $D=(1;+\infty )$ vì điều kiện $x-1>0$. a) Sai: cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$, không nghịch biến. b) Đúng: tại $x=\frac{5}{4}$, $y={\log }_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{5}{4};-1\right)$. c) Đúng: ${\log }_4(x-1)\le 2\iff 0<x-1\le 16\iff 1<x\le 17$, tập nghiệm $S=(1;17]$. d) Sai: tập xác định là $D=(1;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $4>1$, hàm $y={\log }_4(x-1)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y\left(\frac{5}{4}\right)={\log }_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{5}{4};-1\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4(x-1)\le 2\iff 0<x-1\le 4^2=16\iff 1<x\le 17$, tức $S=(1;17]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-1>0$ nên tập xác định là $D=(1;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.