Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=78^{\circ }$, $\widehat{ACB}=50^{\circ }$, $AC=20m$. Suy ra $\widehat{ABC}=180^{\circ }-78^{\circ }-50^{\circ }=52^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow AB=\frac{20.\sin 50^{\circ }}{\sin 52^{\circ }}\approx 19,44(m)$. Vậy chiều dài thân cây khoảng $19,44m$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=64+36-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$. Vậy $BC=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: A).

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) $C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$.

b) Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow b=\frac{7\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}$.

c) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=7\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ne \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

d) $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \frac{7\sqrt{6}}{2}\cdot \sin 75^{\circ }\approx 28,98<30$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ nhỏ hơn 30.
a) $C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$.
b) Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow b=\frac{7\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}$.
c) $2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=7\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ne \frac{7\sqrt{3}}{3}$.
d) $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \frac{7\sqrt{6}}{2}\cdot \sin 75^{\circ }\approx 28,98<30$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ nhỏ hơn 30.

Đáp số: 2.

$A{B}^2+A{C}^2=36+64=100=B{C}^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$, $p=\frac{6+8+10}{2}=12$.

$r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2$.

Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}$ nên phát biểu D sai.

Chọn D.

a) Đúng. Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A=25^2+20^2-\mathrm{2.25.20.}\cos 60^{\circ }=525$, suy ra $BC=\sqrt{525}=5\sqrt{21}$.

b) Sai. $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}$.

c) Sai. Công thức đúng là $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A$.

d) Đúng. $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.25.20.\frac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}$.
a) Đúng. Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A=25^2+20^2-\mathrm{2.25.20.}\cos 60^{\circ }=525$, suy ra $BC=\sqrt{525}=5\sqrt{21}$.
b) Sai. $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{21}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=5\sqrt{7}$.
c) Sai. Công thức đúng là $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A$.
d) Đúng. $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.25.20.\frac{\sqrt{3}}{2}=125\sqrt{3}$.

Ta có $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{25+64-49}{\mathrm{2.5.8}}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$, suy ra $A=60^{\circ }$.

Vậy $a=60$.

Đáp số: 60.

Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đến $B$ với $AB=30.2=60$ (km) và tàu thứ hai đến $C$ với $AC=40.2=80$ (km). Ta có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos 60^{\circ }=3600+6400-\mathrm{2.60.80.}\frac{1}{2}=5200$.

Suy ra $BC=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}\approx 72,1$ (km).

Vậy khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ khoảng 72,1 km.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, nên $\sin B=\frac{AC\cdot \sin C}{AB}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sin 60^{\circ }}{3}=\frac{\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{18}}{6}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì tam giác nhọn nên $B=45^{\circ }$ (không nhận $B=135^{\circ }$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có BC=√6, AC=3, AB=2. Định lí cosin tại A: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (4+9−6)/12 = 7/12, nên sin A = √(1−49/144) = √95/12. a) S = ½·AB·AC·sin A = ½·2·3·√95/12 = √95/4 → Đúng. b) h_B = 2S/AC = (√95/2)/3 = √95/6 ≈ 1,62 > 1 → Sai. c) Cạnh lớn nhất AC=3, AC²=9 < AB²+BC²=10 nên tam giác nhọn, không tù → Sai. d) R = BC/(2 sin A) = √6/(2·√95/12) = 6√6/√95 → Đúng. Kết quả khớp bảng key Mã đề 1001: ĐSSĐ.
a) Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4+9-6}{12}=\frac{7}{12}$, nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{95}}{12}$. Suy ra $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{95}}{12}=\frac{\sqrt{95}}{4}$. Đúng.
b) Đường cao từ $B$: $h_B=\frac{2S_{ABC}}{AC}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{95}}{4}}{3}=\frac{\sqrt{95}}{6}\approx 1,62>1$. Sai.
c) Cạnh lớn nhất là $AC=3$: $A{C}^2=9<A{B}^2+B{C}^2=4+6=10$, nên tam giác $ABC$ nhọn. Sai.
d) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{2\cdot \frac{\sqrt{95}}{12}}=\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{95}}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$, $BC=5$ thỏa mãn $3^2+4^2=5^2$ nên vuông tại $A$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$. Nửa chu vi $p=\frac{3+4+5}{2}=6$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{6}{6}=1$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos 30^0=25-24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}\approx 4,2157$. Suy ra $c\approx \sqrt{4,2157}\approx 2,05cm$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 9, Mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại đỉnh B: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-C{A}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-64}{48}=-\frac{1}{4}$, nên $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=BC=10, b=CA=13, c=AB=13 (tam giác cân tại C... thực ra cân tại C vì CA=CB? Không: CA=CB=13? CA=13, CB=10, AB=13 nên tam giác cân tại C với AB=AC=13). a) Chu vi = 10+13+13=36, nửa chu vi p=18: đúng. b) Nửa chu vi p=18, diện tích theo Heron: S=√(18·8·5·5)=√3600=60: đúng. c) R=abc/(4S)=10·13·13/(4·60)=1690/240=169/24: đúng. d) cosC=(AC²+BC²−AB²)/(2·AC·BC)=(169+100−169)/260=100/260=5/13≠12/13: sai. (Lưu ý cosA=cosB=12/13, không phải cosC.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 10+13+13=36 nên nửa chu vi = 18.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(18·8·5·5)=√3600=60.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=10·13·13/240=169/24.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosC=(169+100−169)/260=5/13, không phải 12/13 (12/13 là cosA=cosB).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 15 phút = 0,25 giờ: người thứ nhất đi $OA=10\cdot 0,25=2,5$ km, người thứ hai đi $OB=8\cdot 0,25=2$ km. Tam giác $OAB$ có $\widehat{AOB}=60^{\circ }$, áp dụng định lí côsin: $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^{\circ }=6,25+4-2\cdot 2,5\cdot 2\cdot 0,5=5,5$. Suy ra $AB=\sqrt{5,5}\approx 2,345$ km $\approx 2,3$ km. Vậy sau 15 phút hai người cách nhau khoảng 2,3 km.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AC}{\sin B}=2R\Rightarrow 2R=\frac{26}{\sin 30^{\circ }}=\frac{26}{1/2}=52\Rightarrow R=26$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi = 12+17+25=54 nên nửa chu vi p=27 (đúng). Diện tích theo Heron: S=√(27·15·10·2)=√8100=90 (đúng). R=abc/(4S)=(12·17·25)/(4·90)=5100/360=85/6 (đúng). cosC=(BC²+AC²−AB²)/(2·BC·AC)=(144+289−625)/408=−192/408=−8/17≠4/5 (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(12+17+25)/2=27.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√(27·15·10·2)=√8100=90.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=5100/360=85/6.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosC=(144+289−625)/(2·12·17)=−8/17, không bằng 4/5.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: tàu thứ nhất đi được $OA=25\cdot 2=50$ km, tàu thứ hai đi được $OB=30\cdot 2=60$ km, với $\widehat{AOB}=60^{\circ }$. Áp dụng định lí cosin trong tam giác $OAB$: $$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 60^{\circ }=50^2+60^2-2\cdot 50\cdot 60\cdot \frac{1}{2}=2500+3600-3000=3100.$$ Suy ra $AB=\sqrt{3100}\approx 55,6776$ km. Làm tròn đến hàng phần mười: $AB\approx 55,7$ km. Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau khoảng $55,7$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+441-2\cdot 5\cdot 21\cdot \cos 60^{\circ }=466-105=361$, nên $BC=19$. Đáp án A.