Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 120^{\circ }\Rightarrow 7a^2=a^2+A{C}^2+a\cdot AC\Rightarrow A{C}^2+aAC-6a^2=0\Rightarrow AC=2a$ (lấy nghiệm dương).
a) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{7}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$ → Đúng.
b) Đây chính là định lí côsin tại góc $A$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$ → Đúng.
c) $AC=2a>a\sqrt{3}\approx 1,73a$ → mệnh đề $AC<a\sqrt{3}$ Sai.
d) $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn (mã đề 112, câu 2: DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin cho $AC=2a$; $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lí côsin áp dụng cho góc $A$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AC=2a>a\sqrt{3}$ nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Giải. Quãng đường xe thứ nhất đi được là $AB=45km$; Xe thứ hai đi được là $60km$. Khoảng cách giữa hai xe là $BC=\sqrt{45^2+60^2+45\times 60}=15\sqrt{37}km$. (Điểm: 0.3+0.3; 0.4)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}\cdot$ tích hai cạnh kề một góc $\cdot \sin$ (góc đó). Hai cạnh $a=BC$ và $c=AB$ kề với góc $B$, nên $S=\frac{1}{2}ac\sin B$. Kiểm tra các phương án khác: $\frac{1}{2}ab\sin A$ sai vì $a,b$ kề góc $C$ (đúng phải là $\frac{1}{2}ab\sin C$); $\frac{1}{2}ac\sin A$ sai vì $a,c$ kề góc $B$; $\frac{1}{2}bc\sin C$ sai vì $b,c$ kề góc $A$ (đúng phải là $\frac{1}{2}bc\sin A$). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a,AC=b,AB=c$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, suy ra $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$. Suy ra $AC=AB\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=5\cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Kết quả khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 13, mã đề 111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ (hai cạnh $b=AC$, $c=AB$ kẹp góc $A$). Tương tự $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$. Do đó A, B, D sai; chỉ C đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 111, câu 15: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 135^{\circ }$, tức $5a^2=a^2+A{C}^2+\sqrt{2}a\cdot AC$, suy ra $A{C}^2+\sqrt{2}aAC-4a^2=0$. Giải phương trình (lấy nghiệm dương): $AC=\frac{-\sqrt{2}a+\sqrt{2a^2+16a^2}}{2}=\frac{-\sqrt{2}a+3\sqrt{2}a}{2}=a\sqrt{2}$.
a) $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{5}}{2\sin 135^{\circ }}=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$ → Đúng.
b) Công thức đúng phải là $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$; mệnh đề đưa ra sai mẫu số và tử số → Sai.
c) $AC=a\sqrt{2}<a\sqrt{3}$ → Đúng.
d) $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 135^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2}{2}\ne a^2$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a\sqrt{5}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$, không phải biểu thức đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin cho $AC=a\sqrt{2}<a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 135^{\circ }=\frac{a^2}{2}\ne a^2$.

Giải. Quãng đường xe thứ nhất đi được là $AB=75km$; Xe thứ hai đi được là $60km$. Khoảng cách giữa hai xe là $BC=\sqrt{75^2+60^2-75\times 60}=15\sqrt{21}km$. (Điểm: 0.3+0.3; 0.4)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=3, c=4, B=30°. a) S = ½·a·c·sinB = ½·3·4·½ = 3 cm² → Đúng. b) b² = a²+c²−2ac·cosB = 9+16−24·(√3/2) = 25−12√3 ≈ 4,2154 nên b ≈ 2,05 cm ≠ 2,5 cm → Sai. c) nửa chu vi p = (3+4+2,05)/2 ≈ 4,53, r = S/p ≈ 3/4,53 ≈ 0,66 ≈ 0,7 cm → Đúng. d) m_b = ½√(2a²+2c²−b²) = ½√(18+32−4,2154) = ½√45,7846 ≈ 3,38 cm ≠ 4,02 cm → Sai. Kết quả Đúng–Sai–Đúng–Sai khớp bảng đáp án mã đề 424 (ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·a·c·sinB = ½·3·4·sin30° = 3 cm², đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
b² = 25 − 12√3 ≈ 4,2154 nên b ≈ 2,05 cm, không phải 2,5 cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
p ≈ 4,53 cm, r = S/p ≈ 0,66 ≈ 0,7 cm, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
m_b = ½√(2a²+2c²−b²) ≈ 3,38 cm ≠ 4,02 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $TN=h$ là chiều cao núi, $N$ là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh núi $T$ xuống mặt nước biển. Theo hình vẽ, góc nhìn từ $A$ là $27,4^{\circ }$, từ $B$ là $39,6^{\circ }$, $AB=1536$ m với $B$ nằm giữa $A$ và $N$.

Trong tam giác vuông $TNA$: $AN=\frac{h}{\tan 27,4^{\circ }}$.
Trong tam giác vuông $TNB$: $BN=\frac{h}{\tan 39,6^{\circ }}$.

Vì $AB=AN-BN=1536$:
$$h\left(\frac{1}{\tan 27,4^{\circ }}-\frac{1}{\tan 39,6^{\circ }}\right)=1536.$$

Tính: $\tan 27,4^{\circ }\approx 0,5184\Rightarrow \frac{1}{\tan 27,4^{\circ }}\approx 1,9292$; $\tan 39,6^{\circ }\approx 0,8273\Rightarrow \frac{1}{\tan 39,6^{\circ }}\approx 1,2088$.

$$h=\frac{1536}{1,9292-1,2088}=\frac{1536}{0,7204}\approx 2132,1\approx 2132\text{ m}.$$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2132$ m, khớp với đáp án đã cho (2132).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm đĩa, R là bán kính. Ba điểm A, B, C nằm trên mép đĩa nên cùng thuộc đường tròn (O; R), tức tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) với $AB=6$ cm, $BC=8$ cm, $\hat{B}=150^{\circ }$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \hat{B}=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 150^{\circ }$$
$$A{C}^2=36+64-96\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=100+48\sqrt{3}\approx 183,14$$
Suy ra $AC\approx 13,53$ cm.

Theo định lí sin, $\frac{AC}{\sin \hat{B}}=2R$, nên:
$$R=\frac{AC}{2\sin 150^{\circ }}=\frac{AC}{2\cdot 0,5}=AC\approx 13,5\text{ cm}.$$

Vậy bán kính của chiếc đĩa ban đầu khoảng $13,5$ cm.

Kiểm tra lại: $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,866$, nên $A{C}^2=100+96\cdot 0,866\approx 183,14$ (không phải 733,14), do đó $AC\approx 13,53$ cm và $R=\frac{13,53}{2\cdot 0,5}\approx 13,5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với định lý cosin, định lý sin và công thức diện tích: A sai vì đúng phải là $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ (góc B đi với hai cạnh kề $a,c$). B sai vì $S=\frac{abc}{4R}$, không phải $2R$. C sai vì $\frac{b^2-c^2+a^2}{2bc}$ không phải công thức của $\sin A$; đúng là $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. D đúng theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=9+16-24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}\approx 4,215$, nên $b\approx 2,05$ cm (không phải 2,5 cm) → a) Sai. Diện tích $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=3$ cm² → b) Đúng. Nửa chu vi $p=\frac{3+4+2,05}{2}\approx 4,53$ cm, nên $r=\frac{S}{p}\approx \frac{3}{4,53}\approx 0,66\approx 0,7$ cm → c) Đúng. Đường trung tuyến từ B: $m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{18+32-4,215}\approx \frac{1}{2}\sqrt{45,785}\approx 3,39$ cm $\ne 4,02$ cm → d) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 008: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$b^2=25-12\sqrt{3}\approx 4,215\Rightarrow b\approx 2,05$ cm, không phải $2,5$ cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin 30^{\circ }=3$ cm².
c) (AI giải đề cho tôi)
$p\approx 4,53$ cm, $r=S/p\approx 0,66\approx 0,7$ cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}\approx 3,39$ cm $\ne 4,02$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $T$ là đỉnh núi, $N$ là chân đường vuông góc hạ từ $T$ xuống mặt nước biển, $TN=h$. Theo hình vẽ, góc nhìn từ $A$ là $27,4^{\circ }$, từ $B$ là $39,6^{\circ }$, với $AB=1536$ m và $B$ nằm giữa $A$ và $N$.

Trong tam giác vuông $TNA$: $\tan 27,4^{\circ }=\frac{h}{AN}\Rightarrow AN=\frac{h}{\tan 27,4^{\circ }}$.

Trong tam giác vuông $TNB$: $\tan 39,6^{\circ }=\frac{h}{BN}\Rightarrow BN=\frac{h}{\tan 39,6^{\circ }}$.

Vì $AN-BN=AB=1536$:
$$h\left(\frac{1}{\tan 27,4^{\circ }}-\frac{1}{\tan 39,6^{\circ }}\right)=1536.$$

Thay số: $\tan 27,4^{\circ }\approx 0,5183$, $\tan 39,6^{\circ }\approx 0,8273$:
$$h=\frac{1536}{\frac{1}{0,5183}-\frac{1}{0,8273}}=\frac{1536\cdot 0,5183\cdot 0,8273}{0,8273-0,5183}\approx \frac{658,65}{0,3089}\approx 2132\text{ (m)}.$$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2132$ m, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC, áp dụng định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \hat{B}=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 150^{\circ }=36+64+96\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=100+48\sqrt{3}\approx 183,14$. Suy ra $AC\approx 13,533$ cm. Theo định lí sin, bán kính đường tròn ngoại tiếp (đĩa) là $R=\frac{AC}{2\sin \hat{B}}=\frac{13,533}{2\sin 150^{\circ }}=\frac{13,533}{2\cdot 0,5}\approx 13,5$ cm. Vậy bán kính chiếc đĩa ban đầu khoảng $13,5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với tam giác $ABC$ có $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$:
- A sai: công thức diện tích đúng là $S=\frac{abc}{4R}$ (vì $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ và $\sin A=\frac{a}{2R}$ nên $S=\frac{abc}{4R}$), không phải $\frac{abc}{2R}$.
- B đúng: theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên $\frac{b}{\sin B}=2R$.
- C sai: theo định lí cos, $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, còn $\sin A$ không có biểu thức như đề (biểu thức đã cho chính là $\cos A$ với dấu khác).
- D sai: định lí cos cho góc $B$ là $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ (tích $ac$, không phải $bc$).
Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 008, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=2R$, do đó $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$ nên phát biểu B sai. Các phát biểu còn lại đều đúng: $S=\frac{abc}{4R}$ (hệ quả định lí sin), $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (công thức diện tích), $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (định lí cosin). Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$, nên $b=7$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi p=(14+13+15)/2=21. Diện tích theo công thức Heron: S=√(21·8·7·6)=√7056=84, nên ý a) sai (39≠84). Bán kính nội tiếp r=S/p=84/21=4, ý b) đúng. Đường cao ứng với cạnh AB: h=2S/AB=168/14=12, ý c) đúng. Góc lớn nhất đối diện cạnh lớn nhất BC=15: BC²=225 < AB²+AC²=196+169=365, nên tam giác nhọn, ý d) đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=21, S=√(21·8·7·6)=84≠39 nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
r=S/p=84/21=4 nên đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
h_AB=2S/AB=168/14=12 nên đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC²=225<AB²+AC²=365 nên góc lớn nhất nhọn, tam giác có 3 góc nhọn.

Vì tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên ta có $AB=\sqrt{A{H}^2+H{B}^2}=4\sqrt{26}$.
Ta có $\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}=\frac{5}{\sqrt{26}}\Rightarrow \widehat{BAH}\approx 78,69^{\circ }$
$\Rightarrow \widehat{ABC}\approx 78,69^{\circ }\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 56,31^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$.
Suy ra $BC\approx 17,3$.