Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: theo bảng giá trị lượng giác, $\sin 90^{\circ }=1$. b) Sai: với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ thì $\tan \alpha >0$ (tan dương ở góc nhọn). c) Đúng: định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$, áp dụng cho đỉnh $B$: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. d) Sai: $MC=2MA$ và $AC=9$ nên $MA=3$, $MC=6$. Định lí côsin tại $A$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{2}{3}$. Khi đó $M{B}^2=A{B}^2+A{M}^2-2\cdot AB\cdot AM\cdot \cos A=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{2}{3}=25-16=9$, suy ra $MB=3cm\ne 9cm$. Khớp bảng đáp án mã đề 102: DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng giá trị lượng giác, $\sin 90^{\circ }=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với góc nhọn $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, $\tan \alpha >0$, không phải $\tan \alpha <0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$, suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MA=3$, $MC=6$; $\cos A=\frac{16+81-49}{72}=\frac{2}{3}$; $M{B}^2=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{2}{3}=9$ nên $MB=3cm\ne 9cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (miệng giếng) với $AB=2$, $AC=4$, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=4+16-8=12$, nên $BC=2\sqrt{3}$. Theo định lí sin: $2R=\frac{BC}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$, suy ra $R=2$ m. Diện tích hình tròn: $S=\pi R^2\approx 3,14\cdot 4=12,56\approx 12,6$ m². Kết quả khớp với đáp án nguồn 12,6.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AH=x$. Trong tam giác vuông $SHA$: $h=x\tan 57^{\circ }$. Trong tam giác vuông $SHB$: $h=(x+6)\tan 35^{\circ }$. Suy ra $x\tan 57^{\circ }=(x+6)\tan 35^{\circ }\Rightarrow x=\frac{6\tan 35^{\circ }}{\tan 57^{\circ }-\tan 35^{\circ }}$. Vậy $h=\frac{6\tan 57^{\circ }\tan 35^{\circ }}{\tan 57^{\circ }-\tan 35^{\circ }}=\frac{6\cdot 1,5399\cdot 0,7002}{1,5399-0,7002}\approx \frac{6,469}{0,8397}\approx 7,70\approx 8$ (m). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 8.

Lời giải (Mã đề 102; 104; 106; 108):

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Ta có $\widehat{ABC}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$
$\widehat{ACB}=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$
Vì $\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=30^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B\Rightarrow BC=AB=4$
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}.4.4.\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ (0,125đ)

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos 120^{\circ }}=4\sqrt{3}$
$C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2-2.AC.AD.\cos 30^{\circ }$
$\Rightarrow A{D}^2-2.AC.AD.\cos 30^{\circ }+A{C}^2-C{D}^2=0$
$\Rightarrow A{D}^2-2.4\sqrt{3}.AD.\cos 30^{\circ }+(4\sqrt{3}{)}^2-8^2=0$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AD=6+2\sqrt{13}\approx 13,21\\ AD=6-2\sqrt{13}(l)\end{array}$
$S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}.4\sqrt{3}.(6+2\sqrt{13}).\frac{1}{2}=2\sqrt{39}+6\sqrt{3}\approx 22,88$ (0,125đ)

$p=\frac{AD+AE+ED}{2}=\frac{6+2\sqrt{13}+5+9}{2}=10+\sqrt{13}\approx 13,61$
$S_{AED}=\sqrt{p(p-AD)(p-AE)(p-ED)}$
$\approx \sqrt{13,61(13,61-(6+2\sqrt{13}))(13,61-5)(13,61-9)}\approx 14,58$ (0,125đ)

$S_{ABCED}=S_{ABC}+S_{ACD}+S_{AED}\approx 4\sqrt{3}+22,88+14,58\approx 44,39$
Vậy diện tích mảnh đất là $44,39(m^2)$ (0,125đ)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$, cạnh $b$ đối diện góc $B$, ta có $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. Đáp án trùng với bảng đáp án (Câu 8, Mã đề 102: C).

Đáp án theo bảng đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai (DSSD).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BH=x$ thì $AH=x+5$. Trong tam giác vuông: $h=x\tan 35^{\circ }=(x+5)\tan 55^{\circ }$. Suy ra $x(\tan 55^{\circ }-\tan 35^{\circ })=5\tan 55^{\circ }$, nên $h=\frac{5\tan 55^{\circ }\tan 35^{\circ }}{\tan 55^{\circ }-\tan 35^{\circ }}=\frac{5}{\cot 35^{\circ }-\cot 55^{\circ }}\approx \frac{5}{1,4281-0,7002}\approx 6,87\approx 7$ (m). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 7.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=9+4-2\cdot 3\cdot 2\cdot (-0,5)=19$, nên $BC=\sqrt{19}$. Theo định lí sin: $2R=\frac{BC}{\sin 120^{\circ }}=\frac{\sqrt{19}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, suy ra $R^2=\frac{19}{3}$. Diện tích miệng giếng: $S=\pi R^2\approx 3,14\cdot \frac{19}{3}\approx 19,886\approx 19,9m^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 19,9.

Lời giải (Mã đề 101; 103; 105; 107):

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f2]

Ta có $\widehat{ABC}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$
$\widehat{ACB}=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$
Vì $\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=30^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B\Rightarrow BC=AB=3$
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$ (0,125đ)

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }}=3\sqrt{3}$
$C{D}^2=A{C}^2+A{D}^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \cos 30^{\circ }$
$\Rightarrow A{D}^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \cos 30^{\circ }+A{C}^2-C{D}^2=0$ (0,125đ)

$$\Rightarrow A{D}^2-2.3\sqrt{3}.AD.\cos 30^o+(3\sqrt{3}{)}^2-6^2=0$$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AD=\frac{9+3\sqrt{13}}{2}\simeq 9,91\\ AD=\frac{9-3\sqrt{13}}{2}(l)\end{array}$$
$$S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.\sin 30^o=\frac{1}{2}.3\sqrt{3}.\frac{9+3\sqrt{13}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{9\sqrt{39}+27\sqrt{3}}{8}\simeq 12,87$$ (0,125đ)

$$p=\frac{AD+AE+ED}{2}=\frac{\frac{9+3\sqrt{13}}{2}+4+7}{2}=\frac{31+3\sqrt{13}}{4}\simeq 10,45$$
$$S_{AED}=\sqrt{p(p-AD)(p-AE)(p-ED)}$$
$$=\sqrt{10,45\left(10,45-\frac{9+3\sqrt{13}}{2}\right)(10,45-4)(10,45-7)}\simeq 11,28$$ (0,125đ)

$$S_{ABCED}=S_{ABC}+S_{ACD}+S_{AED}\simeq \frac{9\sqrt{3}}{4}+12,87+11,28\simeq 20,05$$
Vậy diện tích mảnh đất là 20,05 $(m^2)$

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$, cạnh $a$ đối diện góc $A$ nên $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Kiểm tra: khi $A=90^{\circ }$ thì $a^2=b^2+c^2$ (đúng); các phương án dùng $\sin A$ sai, phương án D sai dấu. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Định lý sin trong tam giác ABC: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, do đó $\frac{a}{\sin A}=2R$, không phải $\frac{1}{2R}$. Vậy khẳng định C sai. Các khẳng định còn lại đúng: A là công thức diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A$; B là công thức Heron với $p=\frac{a+b+c}{2}$; D là định lý cosin $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Đáp án khớp với đáp số nguồn (Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AC=70$, $BC=100$, góc $C=60^{\circ }$: $A{B}^2=70^2+100^2-2\cdot 70\cdot 100\cos 60^{\circ }=4900+10000-7000=7900$, nên $AB=\sqrt{7900}\approx 88,882$ km. Quãng đường cũ là $70+100=170$ km, nên đường hầm ngắn hơn $170-88,882\approx 81,1$ km. Kết quả trùng với đáp số nguồn 81,1.

a) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }$
$BC=7$ (0,5 điểm)
b) $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=36+100-60=76$. Suy ra $BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng hướng dẫn chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=10, b=8, c=6.
a) Nửa chu vi p=(10+8+6)/2=12 → Đúng.
Với ba cạnh này: b²+c²=64+36=100=a² nên tam giác vuông tại A (cos A=(b²+c²−a²)/(2bc)=0).
b) Diện tích S=(1/2)·b·c=(1/2)·8·6=24, nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4 → Sai.
c) S=24≠48 → Sai.
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R=abc/(4S)=10·8·6/(4·24)=480/96=5 (hoặc R=a/2=5 vì tam giác vuông tại A) → Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(10+8+6)/2=12.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=24 nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại A nên S=(1/2)·8·6=24≠48.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=480/96=5.

Lời giải chính thức: Áp dụng định lí Pitago ta có $AB=4\sqrt{26}$ (0,25). Kẻ đường cao AK, $K\in BC$.



Trong tam giác ABK có $BK=4\Rightarrow \cos B=\frac{1}{\sqrt{26}}$. Khi đó góc $B\approx 79^0$ (0,25). Do đó $C\approx 56^0$. Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\iff BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}=\frac{4\sqrt{26}\cdot \sin 45^0}{\sin 56^0}\approx 17,4m$$ (0,25). Vậy cây cao gần 17,4m.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=10, b=8, c=6. Vì 6²+8²=36+64=100=10² nên tam giác vuông tại A (đối diện cạnh a). a) p=(10+8+6)/2=12 → Đúng. b) Diện tích S=(1/2)·b·c=(1/2)·8·6=24, nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4 → Sai. c) Tam giác vuông nên R=a/2=10/2=5 → Đúng. d) S=24≠48 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(a+b+c)/2=(10+8+6)/2=12, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=(1/2)·8·6=24 nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì 6²+8²=10², tam giác vuông tại A, cạnh huyền a=10 nên R=a/2=5, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S=(1/2)·b·c=(1/2)·8·6=24≠48, sai.

Lời giải chính thức: Áp dụng định lí Pitago ta có $AB=4\sqrt{26}$ (0,25). Kẻ đường cao AK, $K\in BC$.



Trong tam giác ABK có $BK=4\Rightarrow \cos B=\frac{1}{\sqrt{26}}$. Khi đó góc $B\approx 79^0$ (0,25). Do đó $C\approx 56^0$. Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\iff BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}=\frac{4\sqrt{26}\cdot \sin 45^0}{\sin 56^0}\approx 17,4m$$ (0,25). Vậy cây cao gần 17,4m.

Từ hình vẽ, suy ra: $\widehat{MAB}=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$ và $\widehat{AMB}=180^{\circ }-115^{\circ }-55^{\circ }=10^{\circ }$. (0.25 điểm)

Áp dụng định lí sin trong tam giác $AMB$, ta có:
$$\frac{AB}{\sin \widehat{AMB}}=\frac{MA}{\sin \widehat{MBA}}\Rightarrow MA=\frac{AB.\sin \widehat{MBA}}{\sin \widehat{AMB}}=\frac{20.\sin 55^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}\approx 94,3m.$$ (0.25 điểm)

Xét tam giác $MHA$ vuông tại $H$, ta có:
$MH=MA.\sin 65^{\circ }\approx 94,3.\sin 65^{\circ }\approx 85,5m$. (0.25 điểm)

Vậy chiều cao của tòa tháp là: $85,5+1,3=86,8m$. (0.25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng, dựa vào thang điểm thầy cô cho điểm tối đa. Học sinh ghi đúng $F(x;y)=200x+100y$ cho 0.25.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (A đúng); $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ (D đúng); $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (B đúng). Đáp án C viết $c^2=a^2+b^2+2ab\cos C$ với dấu cộng, sai so với định lí cosin. Vậy đẳng thức sai là C, khớp đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 7: C).