Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là vị trí ngọn hải đăng. Trong tam giác $ABM$: góc ở $A$ bằng $45^{\circ }$, góc trong ở $B$ bằng $180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$, suy ra góc ở $M$ bằng $180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{AM}{\sin 105^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}$ nên $AM=\frac{30\sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=60\sin 105^{\circ }$. Khoảng cách từ ngọn hải đăng đến bờ biển là chiều cao $h$ hạ từ $M$ xuống đường thẳng $AB$: $h=AM\cdot \sin 45^{\circ }=60\sin 105^{\circ }\sin 45^{\circ }\approx 60\cdot 0,9659\cdot 0,7071\approx 40,98\approx 41$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (41).

Ta có $\widehat{BAD}=54^{\circ }+22^{\circ }=76^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}=180^{\circ }-76^{\circ }=104^{\circ }$, $\widehat{ACB}=\widehat{DAC}=22^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có $\frac{AC}{\sin 104^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 22^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{70.\sin 104^{\circ }}{\sin 22^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin 54^{\circ }=\frac{70.\sin 104^{\circ }.\sin 54^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }}$.

Lại có $\widehat{ADB}=180^{\circ }-76^{\circ }-73^{\circ }=31^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABD$, ta có $\frac{AD}{\sin 73^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 31^{\circ }}\Rightarrow AD=\frac{70.\sin 73^{\circ }}{\sin 31^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ACD$ là $S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.\sin 22^{\circ }=\frac{70^2.\sin 104^{\circ }.\sin 73^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }.\sin 31^{\circ }}$.
Vậy diện tích mảnh đất là $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\approx 9548(m^2)$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Vậy mệnh đề đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$. Trong đó $b=AC$, $c=AB$ kẹp góc $A$, nên $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ đúng (khớp đáp án mã đề 1102: D). Các phương án A, B, C sai vì góc không kẹp với cặp cạnh tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$. Trong đó $b=AC$, $c=AB$ kẹp góc $A$, nên $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ đúng (phương án D). Các phương án A, B, C sai vì ghép sai cặp cạnh với góc tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là vị trí ngọn hải đăng. Theo hình vẽ, góc quan sát tại $A$ là $\widehat{CAB}=45^{\circ }$; tại $B$, góc $75^{\circ }$ là góc giữa phương quan sát và tia $\overrightarrow{AB}$ (phía ngoài đoạn $AB$), nên góc trong tam giác $\widehat{ABC}=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$. Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$.

Độ dài đường vuông góc từ $C$ xuống bờ biển (đường thẳng $AB$) là $h$. Theo định lý sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{30}{0,5}=60\Rightarrow BC=60\sin 45^{\circ }.$$
$$h=BC\cdot \sin 105^{\circ }=60\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin 105^{\circ }=30\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=15(\sqrt{3}+1)\approx 41,0.$$
Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng $41$ m, khớp với đáp án 41 của đề.

Ta có $\widehat{BAD}=54^{\circ }+22^{\circ }=76^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}=180^{\circ }-76^{\circ }=104^{\circ }$, $\widehat{ACB}=\widehat{DAC}=22^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có $\frac{AC}{\sin 104^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 22^{\circ }}\Rightarrow AC=\frac{70.\sin 104^{\circ }}{\sin 22^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin 54^{\circ }=\frac{70.\sin 104^{\circ }.\sin 54^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }}$.

Lại có $\widehat{ADB}=180^{\circ }-76^{\circ }-73^{\circ }=31^{\circ }$.
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABD$, ta có $\frac{AD}{\sin 73^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 31^{\circ }}\Rightarrow AD=\frac{70.\sin 73^{\circ }}{\sin 31^{\circ }}$.
Suy ra diện tích tam giác $ACD$ là $S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.\sin 22^{\circ }=\frac{70^2.\sin 104^{\circ }.\sin 73^{\circ }}{2.\sin 22^{\circ }.\sin 31^{\circ }}$.
Vậy diện tích mảnh đất là $S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\approx 9548(m^2)$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, cạnh $a$ đối diện góc $A$, ta có $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1101 (Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$. Với $AB=c,AC=b,BC=a$, ta có $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ (hai cạnh $a=BC$, $c=AB$ kẹp góc $B$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã 101, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=BC=12, b=AC=9, c=AB=7, p=(12+9+7)/2=14.
a) Theo định lí cosin: cos C = (a²+b²−c²)/(2ab) = (144+81−49)/216 = 176/216 = 22/27 ≈ 0,815, nên C ≈ 35,4° ≠ 45°. Sai.
b) Công thức Heron đúng là S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)); biểu thức đề thiếu thừa số p nên sai.
c) S = √(14·2·5·7) = √980 = 14√5 ≈ 31,3 ≠ 13√5. Sai.
d) Định lí cosin tại A: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (b²+c²−a²)/(2bc). Đúng.
Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos C = (a²+b²−c²)/(2ab) = (144+81−49)/216 = 22/27 ≈ 0,815 nên C ≈ 35,4° ≠ 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Heron đúng là S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)); biểu thức trong đề thiếu thừa số p.
c) (AI giải đề cho tôi)
p = 14, S = √(14·2·5·7) = √980 = 14√5 ≈ 31,3 ≠ 13√5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại A: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC), đúng như phát biểu.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$, nên $AC=\frac{BC\cdot \sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{6}\approx 9,798\approx 9,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (9,8).

Gọi CH là chiều cao của ngọn núi.
Trong $△ABC,\hat{C}=30^0$; $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow BC=\frac{70.\sin 120^0}{\sin 30^0}=70\sqrt{3}$ (0,5)

Trong $△BHC$: $CH=BC.\sin B=70\sqrt{3}.\sin 60^0=105(m)$
Vậy chiều cao của ngọn núi là 105 m. (0,5)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos 105^{\circ }$. Vì $\cos 105^{\circ }\approx -0,2588$ nên $B{C}^2\approx 74+70\cdot 0,2588=92,116$, suy ra $BC\approx 9,60(cm)$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1012 (trang 9): câu 14 = DSDD, tức a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) Theo đề, $\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=3\sqrt{3}\Rightarrow \sin A=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $A=60^{\circ }$ hoặc $A=120^{\circ }$. $BC$ lớn nhất khi $\cos A$ nhỏ nhất, tức $A=120^{\circ }$, khi đó $B{C}^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=37$. Trung tuyến từ $B$: $m_B^2=\frac{2A{B}^2+2B{C}^2-A{C}^2}{4}=\frac{18+74-16}{4}=19\Rightarrow m_B=\sqrt{19}$. Đúng.
b) Từ diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=3\sqrt{3}$ suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ (vì $A$ là góc trong tam giác). Sai.
c) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng khoảng cách $AB=3$ (giả thiết đề bài). Đúng.
d) Đây chính là định lí cosin trong tam giác $\Delta ABC$ với góc $A$ kẹp giữa hai cạnh $AB,AC$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R=1 và hai đường chéo AC ⊥ BD (tại giao điểm H). Gọi AH=x, HC=y, BH=z, HD=t. Theo Pythagore trong các tam giác vuông tại H: a²=x²+z², b²=y²+z², c²=y²+t², d²=x²+t². Diện tích S = ½(x+y)(z+t). Mặt khác, với tam giác vuông nội tiếp đường tròn bán kính R, cạnh huyền của tam giác vuông AH'B (H' là giao khác) ... Cách chuẩn: với tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc, ta có ab+cd và ad+bc đều liên hệ với đường chéo: theo định lý Ptolemy mở rộng, AC·BD = ab+cd (vì AC⊥BD nên AC·BD = AB·CD + BC·AD). Thật vậy Ptolemy: AC·BD = ab+cd khi hai đường chéo vuông góc. Tương tự, xét tích (ad+bc): với góc giữa hai đường chéo 90°, diện tích S = ½·AC·BD·sin90° = ½·AC·BD. Còn (ad+bc) = AC·BD·cos(90°)... chính xác hơn: (ab+cd) = AC·BD và (ad+bc) = AC·BD (cùng bằng tích hai đường chéo vì sin90°=cos90°=1 khi áp dụng công thức Ptolemy tổng quát với góc giữa hai đường chéo θ: AC·BD = ab·|cos θ|... ). Cách trực tiếp: đặt AC=p, BD=q, góc giữa chúng 90°. Diện tích S = ½pq. Theo Ptolemy cho tứ giác nội tiếp: pq = ac + bd? Không — Ptolemy: AC·BD = AB·CD + BC·AD = ac + bd. Nhưng đề dùng (ab+cd)(ad+bc). Với tứ giác có đường chéo vuông góc, các tam giác vuông tại H cho: a²+c² = b²+d² (đều bằng p²+q²... kiểm tra: a²+c² = x²+z²+y²+t² = b²+d²). Hơn nữa, tam giác vuông nội tiếp: đường chéo AC là cạnh huyền của tam giác ABC vuông tại B? Không. Dùng kết quả quen thuộc: với tứ giác nội tiếp đường tròn bán kính R có hai đường chéo vuông góc thì (ab+cd)(ad+bc) = 4R²·S. Kiểm chứng bằng trường hợp đặc biệt: lấy ABCD là hình vuông nội tiếp, a=b=c=d=√2, S=2, khi đó (ab+cd)(ad+bc) = (2+2)(2+2)=16 = 4·1·2·... 4R²S = 4·1·2 = 8 ≠ 16. Xét lại: hình vuông có đường chéo không vuông góc? Đường chéo hình vuông vuông góc, đúng. Vậy (ab+cd)(ad+bc)=16, S=2, T=8? Nhưng đáp án đề là 2. Kiểm tra lại hình vuông: R=1, cạnh a=√2, ab=2, (ab+cd)=4, (ad+bc)=4, tích 16, S=2, T=8. Hmm, mâu thuẫn. Thử tứ giác khác: lấy A,B,C,D sao cho AC và BD là hai đường kính vuông góc (cũng là hình vuông). Vậy T phụ thuộc hình dạng? Thử tứ giác không đối xứng: đặt H là giao, x=0.5,y=0.5 (AC=1 đường kính), z=0.3,t=0.7 (BD=1 đường kính, vuông góc). a=√(0.25+0.09)=√0.34, b=√(0.25+0.09)=√0.34, c=√(0.25+0.49)=√0.74, d=√(0.25+0.49)=√0.74. ab+cd = 0.34+0.74=1.08; ad+bc = 2√(0.34·0.74)=2√0.2516≈1.00319. Tích ≈1.0834. S=½·1·1=0.5. T≈2.167. Không phải 2. Thử z=t=0.5: a=b=c=d=√0.5, ab+cd=1, ad+bc=1, S=0.5, T=2. Đúng bằng 2 khi BD cũng là đường kính đối xứng. Nhưng trường hợp z=0.3,t=0.7 cho 2.167 — kiểm tra lại tính toán: a²=0.34, b²=0.34, c²=0.74, d²=0.74. ab=0.34, cd=0.74, ab+cd=1.08. ad=√(0.34·0.74)=√0.2516≈0.50160, bc tương tự, ad+bc≈1.00319. Tích≈1.08345. S=½·AC·BD=½·1·1=0.5. T≈2.1669. Vậy T không hằng số? Nhưng cả AC và BD đều là đường kính (đi qua O) — vẫn khác 2. Hmm, có lẽ tôi tính S sai: S = ½(x+y)(z+t)·sin90° = 0.5. Đúng. Vậy T≈2.167 ≠ 2. Có thể điều kiện là AC, BD vuông góc nhưng không nhất thiết qua O — bài toán đáp án 2 có lẽ ngầm cho trường hợp đẹp, hoặc đáp án chính thức của đề (mã 1012, câu 20) là 2. Vì nguồn cung cấp đáp án 2 và cách giải chuẩn của đề này (tứ giác nội tiếp, đường chéo vuông góc, dùng Ptolemy với tứ giác có góc giữa hai đường chéo): thực chất (ab+cd) = AC·BD·sinθ... Công thức đúng: với tứ giác nội tiếp, góc giữa hai đường chéo θ: (ab+cd) = ... Trường hợp tổng quát của tôi cho 2.167, nhưng có thể tôi gán nhầm: trong hình, a=AB, b=BC, c=CD, d=DA với x=AH, y=HC, z=BH, t=HD: a²=x²+z², b²=y²+z², c²=y²+t², d²=x²+t². Đúng. Vậy T không hằng số trừ khi thêm ràng buộc. Tuy nhiên đáp án chính thức của đề là 2 (bảng đáp án mã 1012 câu 20 = 2), và trường hợp đối xứng (cả hai đường chéo là đường kính vuông góc, tức hình vuông... không, z=t=0.5 với x=y=0.5 cho hình vuông a=b=c=d=√0.5, S=0.5, T=2). Lưu ý hình vuông cạnh √0.5 nội tiếp đường tròn R=1? Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh √0.5 có R = √0.5·√2/2 = 0.5 ≠ 1. Vậy cấu hình z=t=0.5, x=y=0.5 không nội tiếp đường tròn R=1! Điểm B=(0,0.5) cách O... O không phải H. Với x=y=0.5, z=t=0.5, tâm đường tròn qua 4 điểm: A=(-0.5,0), C=(0.5,0), B=(0,0.5), D=(0,-0.5) — đường tròn tâm O(0,0) bán kính 0.5. Để R=1, mọi điểm cách O đều 1: cần AH·HC = BH·HD (giao điểm hai dây: HA·HC = HB·HD). Với x=y=0.5: cần z·t=0.25, ví dụ z=t=0.5, khi đó BD cũng đường kính, B=(0,0.5) cách O(0,0) là 0.5 — sai vì O không ở H. Đặt tọa độ: H=(0,0), A=(-x,0), C=(y,0), B=(0,z), D=(0,-t). Tâm O=( (y-x)/2, (z-t)/2 ), R² = ((x+y)/2)² + ((z+t)/2)² = 1 (vì AC, BD là đường kính? không). Điều kiện nội tiếp: x·y = z·t (phương tích). R² = ((x+y)² + (z+t)²)/4 + ... thực tế R² = ((x+y)/2)² + ((z-t)/2)²? Tính: đường tròn qua A(-x,0), C(y,0): tâm có hoành độ (y-x)/2. Qua B(0,z), D(0,-t): tâm có tung độ (z-t)/2. R² = ((x+y)/2)² + ((z-t)/2)². Với x=y=0.5, z=0.3, t=0.7: R² = 1 + 0.04 = 1.04 ≠ 1. Cần R=1: (x+y)² + (z-t)² = 4 và xy=zt. Trường hợp z=t: (x+y)²=4, x+y=2, xy=z². Lấy x=y=1, z=t=1: hình vuông, a=b=c=d=√2, T=8 như trước. Lấy x=0.5,y=1.5, z²=0.75, z=√0.75: a=√(0.25+0.75)=1, b=√(2.25+0.75)=√3, c=√3, d=1. ab+cd=√3+√3=2√3≈3.464; ad+bc=1+3=4. Tích≈13.856. S=½·2·2√0.75=√3≈1.732. T=8. Vậy với z=t, T=8 luôn! Với z≠t (trường hợp trước R≠1 nên không hợp lệ). Kiểm tra z≠t thỏa R=1: x=y=1, xy=1=zt, (2)²+(z-t)²=4 → z=t. Thử x=0.5,y=1: xy=0.5=zt, (1.5)²+(z-t)²=4 → (z-t)²=1.75, z-t=√1.75≈1.3229, z+t: zt=0.5, z+t=√(1.75+2)=√3.75≈1.9365. z≈1.6297, t≈0.3068. a=√(0.25+2.6559)=√2.9059≈1.7047, b=√(1+2.6559)=√3.6559≈1.9120, c=√(1+0.0941)=√1.0941≈1.0460, d=√(0.25+0.0941)=√0.3441≈0.5866. ab≈3.2596, cd≈0.6133, ab+cd≈3.8729. ad≈1.0000, bc≈2.0000 (kiểm tra: ad=√(2.9059·0.3441)=√0.99996≈1, bc=√(3.6559·1.0941)=√3.9999≈2). ad+bc≈3. Tích≈11.6187. S=½·1.5·1.9365≈1.4524. T≈8.0000. Vậy T=8, không phải 2! Tính chính xác: ad=1, bc=2, ab+cd: ab=√(2.9059·3.6559)=√10.6237≈3.2594, cd=√(1.0941·0.3441)=√0.37648≈0.61358, tổng≈3.87298=√15. Tích=3√15. S=½·(3/2)·(√15/2)=3√15/8. T=3√15/(3√15/8)=8. Vậy T=8 với R=1. Đáp án đúng phải là 8, nhưng đáp án đề là 2. Có thể đề định R sao cho... hoặc T định nghĩa khác. Với R=1, T=4R²·... T=8=8R²? Kiểm tra z=t trường hợp: T=8. Vậy T=8R²? Hình vuông R=1: T=8. Đúng, T=8R² hằng số. Vậy đáp án toán học đúng là 8, nhưng nguồn đáp án là 2. Theo quy tắc, không được ghi đè đáp án nguồn — phải trả lời solved=false vì xung đột. Tuy nhiên có thể đề tính S khác hoặc T khác... Có khả năng đáp án 2 tương ứng R sao cho 8R²=2, R=0.5 — nhưng đề nói R=1. Hoặc đáp án 2 của mã 1012 câu 20 có thể ứng câu khác (câu 20 của mã 1012 có thể là câu khác do trộn đề). Vì không thể xác nhận, trả lời solved=false với đáp án đề 2 nhưng giải thích T=8.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{2\cdot \frac{1}{2}}=10$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng theo định lí cosin: $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. B sai vì hệ thức lượng trong tam giác là $\frac{a}{\sin A}=2R$, tức $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng theo công thức Heron. D đúng theo công thức diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C$. Vậy phát biểu sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 6: B).