Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=2R$, do đó $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$ nên phát biểu B sai. Các phát biểu còn lại đều đúng: A là công thức Heron, C là công thức diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C$, D là định lí cosin $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\iff a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
a) |AB|=3 đúng theo giả thiết. b) S=½·AB·AC·sin A=½·3·4·sin A=3√3 ⟹ sin A=√3/2, nên A=60° hoặc A=120°. BC lớn nhất khi cos A nhỏ nhất, tức A=120°: BC²=9+16−2·3·4·cos120°=25+12=37, BC=√37. Trung tuyến từ B: m_b²=(2BC²+2AB²−AC²)/4=(2·37+2·9−16)/4=76/4=19 ⟹ m_b=√19. Đúng. c) sin A=√3/2>0 (sin góc trong tam giác luôn dương), không thể bằng −√3/2. Sai. d) Đây chính là định lí cosin trong tam giác. Đúng. Kết quả DDSD khớp bảng đáp án mã đề 1011 câu 16.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết AB=3 nên |AB|=3.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=½·3·4·sin A=3√3 ⟹ sin A=√3/2 ⟹ A=60° hoặc 120°. BC lớn nhất khi A=120°: BC²=9+16−24·(−½)=37. Trung tuyến từ B: m_b²=(2·37+2·9−16)/4=19 ⟹ m_b=√19.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ diện tích suy ra sin A=√3/2>0 vì sin góc trong tam giác luôn dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lí cosin: BC²=AB²+AC²−2AB·AC·cos A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{10}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{1/2}=20\Rightarrow R=10$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1011, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC tính theo hai cạnh a, c và góc B xen giữa: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 150^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 114, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{64+9-49}{2\cdot 8\cdot 3}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\hat{B}=60^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: công thức diện tích $S=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin \hat{B}$ là công thức chuẩn. b) Sai: tính $A{C}^2=B{A}^2+B{C}^2-2\cdot BA\cdot BC\cdot \cos 45^{\circ }=36+32-48=20\Rightarrow AC=2\sqrt{5}$. Theo định lí sin, $R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{5}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{10}\ne 2\sqrt{10}$. c) Đúng: $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 24\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12$. d) Sai: $AC=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 114: 1a Đ, 1b S, 1c Đ, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin \hat{B}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AC=2\sqrt{5}$, nên $R=\frac{AC}{2\sin 45^{\circ }}=\sqrt{10}\ne 2\sqrt{10}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^2=36+32-2\cdot 6\cdot 4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\Rightarrow AC=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: $r=\frac{S}{p}$ với $p$ là nửa chu vi. Ở đây $S=20\sqrt{3}$, chu vi bằng 20 nên $p=10$. Suy ra $r=\frac{20\sqrt{3}}{10}=2\sqrt{3}\approx 3,\mathrm{4641...}\approx 3,5$ (làm tròn đến hàng phần mười). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5 (bảng đáp án, Mã đề 114, Phần III câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: AB = 15 m, AD = 22 m, góc A = 73,07°, BC = 10 m, CD = 18 m. Nối B với D, chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ABD và BCD.

Tam giác ABD:
$S_{ABD}=\frac{1}{\cdot }15\cdot 22\cdot \sin 73,07^{\circ }\approx 165\cdot 0,9568\approx 157,87$ m².
Đường chéo BD theo định lí cosin:
$B{D}^2=15^2+22^2-2\cdot 15\cdot 22\cdot \cos 73,07^{\circ }\approx 709-660\cdot 0,2907\approx 517,1$, nên $BD\approx 22,74$ m.

Tam giác BCD với ba cạnh 10; 18; 22,74:
$p=\frac{10+18+22,74}{2}\approx 25,37$.
Công thức Heron:
$S_{BCD}=\sqrt{25,37\cdot 15,37\cdot 7,37\cdot 2,63}\approx \sqrt{7557}\approx 86,9$ m².

Diện tích mảnh đất:
$S\approx 157,87+86,9\approx 244,8\approx 245$ m².

Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 114, Phần III câu 2 = 245).

(vẽ hình 0,25 điểm)

Xét tam giác DAC vuông tại D có:
$AC=\frac{DC}{\cos \widehat{ACD}}=\frac{18}{\cos 40^{\circ }}\approx 23,5$ m — 0,25

Xét tam giác BCD vuông tại D có:
$BC=\frac{DC}{\cos \widehat{BCD}}=\frac{18}{\cos 50^{\circ }}\approx 28$ m — 0,25

Xét tam giác ABC có:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos \widehat{ACB}}\approx 6$ m
Vậy chiều cao của cột cờ khoảng 6 m — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác MNP: $\frac{MN}{\sin P}=\frac{MP}{\sin N}=\frac{NP}{\sin M}=2R$, trong đó cạnh $MN$ đối diện góc $P$, cạnh $MP$ đối diện góc $N$, cạnh $NP$ đối diện góc $M$.
- Từ $\frac{MN}{\sin P}=\frac{MP}{\sin N}$ suy ra $MN=\frac{MP.\sin P}{\sin N}$: đúng → chọn A.
- B sai vì $\sin N=\frac{MP.\sin M}{NP}$ (không phải $\sin P$).
- C sai vì $\sin P=\frac{MN.\sin M}{NP}$ (không phải $\sin N$).
- D sai vì $MP=\frac{NP.\sin N}{\sin M}$ (không phải $\sin P$).
Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 114, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: AB = 40m, góc B = 32°, góc A = 68°, nên góc C = 180° - 68° - 32° = 80°. Theo định lý sin: BC/sin A = AB/sin C, suy ra BC = 40·sin 68°/sin 80° ≈ 40·0,9272/0,9848 ≈ 37,7m. Vậy khoảng cách giữa hòn đảo và gốc cây gần nhất là 37,7m, khớp với đáp án A (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=169+225-2\cdot 13\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=394-195=199$, nên $AC=\sqrt{199}$ cm → a) Đúng.

b) Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$. Ta có $\sin A=\frac{BC\cdot \sin B}{AC}=\frac{15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{199}}=\frac{15\sqrt{3}}{2\sqrt{199}}$. Suy ra $R=\frac{15}{2\sin A}=\frac{15\sqrt{199}}{15\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{597}}{3}\ne \frac{\sqrt{579}}{3}$ → b) Sai.

c) Công thức diện tích với góc $B$ là $S=\frac{1}{2}BA\cdot BC\cdot \sin B$, không phải $\sin A$ → c) Sai.

d) $S=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 15\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{195\sqrt{3}}{4}$ cm² → d) Đúng. Khớp với đáp án nguồn (1a: Đ, 1b: S, 1c: S, 1d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: AC² = 13² + 15² − 2·13·15·cos60° = 199, nên AC = √199 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2sinA) với sinA = 15√3/(2√199), suy ra R = √597/3 ≠ √579/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là S = ½·BA·BC·sin B (góc xen giữa hai cạnh BA, BC là góc B), không phải sin A.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·13·15·sin60° = 195√3/4 cm².

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức diện tích tam giác $S=p\cdot r$ với $p$ là nửa chu vi. Ta có $p=\frac{12}{2}=6$ và $S=12$, suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{12}{6}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 113, câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác ABCD có góc A và góc B vuông (mảnh đất chữ nhật bị xén một góc, theo hình vẽ). Nối BD: tam giác ABD vuông tại A có AB = 30 m, AD = 40 m nên BD = √(30² + 40²) = 50 m, diện tích S₁ = ½·30·40 = 600 m². Tam giác BCD có ba cạnh 28, 26, 50; nửa chu vi p = (28+26+50)/2 = 52, theo công thức Heron: S₂ = √(52·24·26·2) = √(52²·24) = 52·2√6 = 104√6 ≈ 254,75 m². Vậy S_ABCD = 600 + 104√6 ≈ 854,75 ≈ 855 m², khớp với đáp án nguồn 855 (đáp án câu 3, đề 113).

(vẽ hình 0,25 điểm)

Xét $△AHB$ vuông tại H có:
$+)A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2$ (Pythagore)
$\Rightarrow A{B}^2=4^2+20^2$
$\Rightarrow AB=4\sqrt{26}$ — 0,25

$+)\tan \widehat{HBA}=\frac{AH}{HB}=\frac{4}{20}$
$\Rightarrow \widehat{HBA}=11^{\circ }19^{\prime }$
Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{HBC}-\widehat{HBA}=90^{\circ }-11^{\circ }19^{\prime }=78^{\circ }41^{\prime }$

Xét $△ABC$ có:
$+)\hat{C}=180^{\circ }-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180^{\circ }-78^{\circ }41^{\prime }-45^{\circ }=56^{\circ }19^{\prime }$ — 0,25

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\iff BC=\frac{AB\cdot \sin A}{\sin C}=\frac{4\sqrt{26}\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 56^{\circ }}\approx 17$

Vậy cây cao gần 17 m — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{5+6+7}{2}=9$. Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC với góc A: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 113, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, với $a=BC$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Vậy $\frac{a}{\sin A}=2R$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (đề 113, câu 8).