Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC với AC = 5 km, CB = 4 km, góc ACB = 60°: $A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos 60^{\circ }=25+16-2\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=41-20=21$. Suy ra $AB=\sqrt{21}\approx 4,58\approx 4,6$ km. Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm A, B theo đường chim bay khoảng 4,6 km.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC với AB = 15 m, BC = 18 m, góc ABC = 120°. Cần tính AC (độ dài dây điện từ nhà đến cột điện). Áp dụng định lí côsin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }=15^2+18^2-2\cdot 15\cdot 18\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=225+324+270=819$. Suy ra $AC=\sqrt{819}\approx 28,\mathrm{618...}\approx 28,6$ m. Vậy độ dài dây điện cần mua khoảng $28,6$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin trong tam giác ABC: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (với $a=BC$ đối diện góc $A$). Do đó phương án B đúng. Các phương án C, D dùng sai góc tương ứng, phương án A sai dấu.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}=\frac{6\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{6}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $AB=2R\sin C\Rightarrow 6=2R\sin 30^{\circ }=2R\cdot \frac{1}{2}=R$. Vậy $R=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: AB² = BC² + AC² − 2·BC·AC·cos C = 64 + 25 − 2·8·5·(1/2) = 49 ⇒ AB = 7. a) Sai vì AC = 5 (cạnh bằng 7 là AB). b) S = ½·BC·AC·sin C = ½·8·5·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10 ⇒ Sai. c) R = AB/(2 sin C) = 7/(2·√3/2) = 7/√3 = 7√3/3 ⇒ Đúng. d) AH = 2S/BC = 20√3/8 = 5√3/2 ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC = 5 (đề cho); cạnh tính được bằng định lí cosin là AB = 7, không phải AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AC·sin60° = ½·8·5·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = 7, R = AB/(2 sin C) = 7/(2·(√3/2)) = 7√3/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AH ⇒ AH = 2S/BC = 20√3/8 = 5√3/2.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC, tổng ba góc bằng 180° nên góc A = 180° - 68° - 75° = 37°. Theo định lý sin: AB/sin C = BC/sin A, suy ra AB = BC·sin C / sin A = 50·sin 75° / sin 37°. Tính: sin 75° ≈ 0,9659; sin 37° ≈ 0,6018. Vậy AB ≈ 50·0,9659/0,6018 ≈ 80,25 m, làm tròn đến hàng đơn vị ta được AB ≈ 80 m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$. Suy ra $A=60^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+5^2-2\cdot 2\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=4+25-20\cdot \frac{1}{2}=29-10=19$. Vậy $BC=\sqrt{19}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-28}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$, nên $B=60^{\circ }$.

Vì $MC=2MB$ và $MB+MC=BC=6$ nên $MB=2$, $MC=4$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABM$:
$$A{M}^2=A{B}^2+M{B}^2-2\cdot AB\cdot MB\cdot \cos B=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=12$$
Vậy $AM=2\sqrt{3}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $b(b^2-a^2)=c(a^2-c^2)$ ta có $b^3-a^{2}b=a^{2}c-c^3$, suy ra $b^3+c^3=a^2(b+c)$. Phân tích $b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)$, vì $b+c>0$ nên $a^2=b^2-bc+c^2$. Do đó $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$, tức $A=60^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $b=8,c=5,\cos A=\frac{4}{5}$ và $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{3}{5}$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=12$. Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=89-64=25\Rightarrow a=5$. Chiều cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{24}{5}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 20·2 = 40 hải lí, AC = 30·2 = 60 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 3600 − 2·40·60·(1/2) = 2800, nên BC = √2800 = 20√7 ≈ 52,92 hải lí. Kết quả gần nhất với 53 hải lí.

(AI giải đề cho tôi)
AB = √(AH²+HB²) = √(16+400) = 4√26 ≈ 20,396 m. Góc AB tạo với phương ngang: tan = 4/20 = 0,2 nên góc ≈ 11,31°. Vì BC là thân cây (thẳng đứng), góc ABC = 90° − 11,31° = 78,69°. Trong tam giác ABC: góc C = 180° − 45° − 78,69° = 56,31°. Theo định lí sin: BC = AB·sin45°/sin56,31° ≈ 20,396·0,7071/0,8321 ≈ 17,33 m. Gần nhất với 17,5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos A = 25 + 64 − 2·5·8·(1/2) = 49, nên BC = 7 → a đúng. Diện tích S = ½·AB·AC·sin A = ½·5·8·(√3/2) = 10√3 ≠ 10 → b sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/(2 sin A) = 7/(2·(√3/2)) = 7/√3 = 7√3/3 → c đúng. Nửa chu vi p = (5+8+7)/2 = 10, bán kính đường tròn nội tiếp r = S/p = 10√3/10 = √3 ≠ √3/2 → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC² = 25 + 64 − 2·5·8·cos60° = 89 − 40 = 49 nên BC = 7.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·5·8·sin60° = 10√3, không bằng 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2 sin A) = 7/√3 = 7√3/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
p = 10, r = S/p = 10√3/10 = √3, không bằng √3/2.

(AI giải đề cho tôi)
Cho tam giác ABC với a = BC = 12, b = CA = 15, c = AB = 13.

a) Theo định lí cosin:
- cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (225 + 169 − 144)/(2·15·13) = 250/390 = 25/39 ⇒ A ≈ 50°13′ (≈ 50,2°).
- cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (144 + 169 − 225)/(2·12·13) = 88/312 = 11/39 ⇒ B ≈ 73°36′ (≈ 73,6°).
- cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) = (144 + 225 − 169)/(2·12·15) = 200/360 = 5/9 ⇒ C ≈ 56°15′ (≈ 56,25°).
Kiểm tra: A + B + C ≈ 180°.

b) Nửa chu vi p = (12 + 15 + 13)/2 = 20.
- Diện tích (công thức Heron): S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = √(20·8·5·7) = √5600 = 20√14.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = abc/(4S) = (12·15·13)/(80√14) = 2340/(80√14) = 117/(4√14) = 117√14/56 ≈ 7,82.
- Bán kính đường tròn nội tiếp: r = S/p = 20√14/20 = √14 ≈ 3,74.

c) M thuộc BC với BM = 8 ⇒ MC = 12 − 8 = 4. Áp dụng định lí Stewart (hoặc công thức đường trung tuyến tổng quát) cho cevian AM:
AM² = (b²·BM + c²·MC)/a − BM·MC = (225·8 + 169·4)/12 − 8·4 = (1800 + 676)/12 − 32 = 2476/12 − 32 = 619/3 − 96/3 = 523/3.
Vậy AM = √(523/3) = √1569/3 ≈ 13,21.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, góc $A=120^{\circ }$.

a) Diện tích:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

b) Độ dài cạnh $BC$ theo định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }=100-96\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=148.$$
Suy ra $BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$.

Đường cao $AH$: dùng công thức $S=\frac{1}{2}BC\cdot AH$:
$$AH=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42.$$

Kết luận: $S=12\sqrt{3}$; $BC=2\sqrt{37}$; $AH=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Tam giác ABC có A=30°, B=120°, b=8.

a) Tổng ba góc: C = 180° - 30° - 120° = 30°. Vì A = C = 30° nên tam giác cân tại B, suy ra a = b = 8.

Áp dụng định lý sin: $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{8\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{8\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $a=8$, $c=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

c) Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{8}{2}=16$.

Vậy $S_{ABC}=16$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. So sánh với $a^2=b^2+c^2+bc\sqrt{2}$ ta có $-2bc\cos A=bc\sqrt{2}$, suy ra $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $A=135^{\circ }$. Đáp án D.