Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường đứt nét cắt trục tung tại $(0;1)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$). Xét phương án B: $y=\frac{x^2+4}{x-1}=x+1+\frac{5}{x-1}$, có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+1$. Chiều biến thiên: $y^{\prime }=1-\frac{5}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{5}$. Cực tiểu tại $x=1+\sqrt{5}\approx 3,24$, $y_{CT}\approx 6,47$; cực đại tại $x=1-\sqrt{5}\approx -1,24$, $y_{CĐ}\approx -4,47$ — khớp với hình vẽ (nhánh phải có điểm thấp nhất khoảng $(3,2;6,5)$, nhánh trái có điểm cao nhất khoảng $(-1,2;-4,5)$). Phương án A có TCX $y=x$ và cực trị $y_{CĐ}=-3$, $y_{CT}=5$ không khớp; phương án C có TCĐ $x=-1$; phương án D có TCX $y=x$ và không có cực trị ($y^{\prime }=\frac{(x-1{)}^2+4}{(x-1{)}^2}>0$). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực tiểu $(-1;1)$, điểm cực đại $(1;5)$, và $f(0)=3$ (đồ thị cắt trục tung tại 3). Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với hai nghiệm $x=\pm 1$ nên $f^{\prime }(x)=3a(x^2-1)$, suy ra $b=0$, $c=-3a$. Vì $f(0)=d=3$. Với $f(1)=a-3a+3=-2a+3=5$ suy ra $a=-1$ (kiểm tra $f(-1)=2a+3=1$ đúng). Vậy $f(x)=-x^3-3x+3$ và $f(3)=-27-9+3=-33$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân thức: $4x^2+2x-2=(-2x-1)(-2x)-2$, nên $y=-2x+\frac{2}{2x+1}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận xiên $y=-2x$, nên tâm đối xứng là giao điểm: $x=-\frac{1}{2}$, $y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)=1$. Vậy tâm đối xứng là $\left(-\frac{1}{2};1\right)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có nghiệm $x=0,x=3$ nên $c=0$, $2b=-9a\Rightarrow b=-\frac{9a}{2}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=d=5$, đạt cực tiểu tại $x=3$ với $f(3)=-\frac{17}{2}$.

Ta có $f(3)=27a-\frac{81a}{2}+5=-\frac{27a}{2}+5=-\frac{17}{2}\Rightarrow a=1$, $b=-\frac{9}{2}$.
Vậy $f(x)=x^3-\frac{9}{2}{x}^2+5$.

a) Sai: cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=3$ (khẳng định đảo ngược).

b) Sai: trên $(-\infty ;0)$ có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

c) $a+b+c+d=f(1)=1-\frac{9}{2}+5=\frac{3}{2}\ne \frac{1}{2}$ → Sai.

d) Xét $y=\frac{2048}{f(x)-1}$: có tiệm cận ngang $y=0$. Phương trình $f(x)=1$ tức $x^3-\frac{9}{2}{x}^2+4=0$ có 3 nghiệm phân biệt (vì $1$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-\frac{17}{2}$ và cực đại $5$, kiểm tra: $f(0)=5>1$, $f(3)=-8.5<1$, $f(x)\to \pm \infty$ khi $x\to \pm \infty$) → 3 tiệm cận đứng. Tổng cộng 4 đường tiệm cận → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho y' đổi dấu từ + sang − tại x=0 (cực đại, f(0)=5) và từ − sang + tại x=3 (cực tiểu, f(3)=-17/2). Khẳng định đảo ngược nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;0) bảng cho y'=+ nên hàm số đồng biến, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ y'=3ax²+2bx+c có nghiệm 0 và 3: c=0, b=-9a/2. f(0)=d=5; f(3)=-27a/2+5=-17/2 ⇒ a=1, b=-9/2. Vậy a+b+c+d=f(1)=1-9/2+5=3/2≠1/2, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
y=2048/(f(x)-1) có tiệm cận ngang y=0 và tiệm cận đứng tại nghiệm của f(x)=1. Vì min f=-17/2 < 1 < 5 = max f nên f(x)=1 có 3 nghiệm phân biệt ⇒ 3 tiệm cận đứng. Tổng 4 đường tiệm cận, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số $y=a{x}^3-2x^2+cx+d$ cắt trục hoành tại $x=1$, $x=2$ (và $x=-1$), cắt trục tung tại điểm có hoành độ $d=2$ (đồ thị đi qua điểm $(0;2)$, cực đại khoảng $2$ gần $x=0$, cực tiểu khoảng $-1$ giữa $1$ và $2$).

Thay $d=2$ và hai nghiệm $x=1$, $x=2$:
$$y(1)=a-2+c+2=0\Rightarrow a+c=0$$
$$y(2)=8a-8+2c+2=0\Rightarrow 4a+c=3$$
Trừ hai phương trình: $3a=3\Rightarrow a=1$, suy ra $c=-1$, $d=2$.

Kiểm tra: $y=x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$, đúng ba nghiệm $-1;1;2$ như đồ thị; $y^{\prime }=3x^2-4x-1$ cho cực đại tại $x\approx -0,215$ với $y\approx 2,1$ và cực tiểu tại $x\approx 1,55$ với $y\approx -0,63$, phù hợp hình vẽ.

Vậy $a+2c+d=1+2(-1)+2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $-2x+d=0$ tại $x=-2\Rightarrow d=-4$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{ax+b}{-2x+d}=\frac{a}{-2}=-1\Rightarrow a=2$. Đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$ nên $\frac{b}{d}=1\Rightarrow b=d=-4$; kiểm tra giao điểm với trục hoành: $ax+b=0\iff x=-\frac{b}{a}=2$, khớp với hình (đồ thị cắt trục hoành gần $x=2$). Vậy $-3a+2b-d=-3(2)+2(-4)-(-4)=-6-8+4=-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba nghịch biến từ trái sang phải (đi từ +∞ xuống -∞) nên $a<0$. Đồ thị có cực đại và cực tiểu đều nằm bên trái/trên trục hoành gần gốc: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm âm, nên tổng nghiệm $-\frac{2b}{3a}<0$ và tích nghiệm $\frac{c}{3a}>0$. Vì $a<0$ nên từ tích nghiệm suy ra $c<0$; từ tổng nghiệm suy ra $b<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm dương (nhánh cong qua gốc có phần nhô lên trên trục hoành ngay bên trái O và cắt trục tung tại giá trị dương nhỏ) nên $d>0$. Vậy trong các số $a,b,c,d$ chỉ có đúng 1 số dương là $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^4-2x^2-3$, TXĐ $\mathbb{R}$. $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$; $y^{\prime }=0\iff x\in \{-1;0;1\}$.

a) Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến; trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

b) Tại $x=\pm 1$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu, $y_{CT}=-4$; hai điểm cực tiểu $(-1;-4)$ và $(1;-4)$. Tại $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại $y_{CĐ}=-3$; điểm cực đại $(0;-3)$.

c) Trên đoạn $[-2;0]$: $f(-2)=16-8-3=5$; $f(-1)=-4$; $f(0)=-3$. Vậy ${\max }_{[-2;0]}y=5$ tại $x=-2$; ${\min }_{[-2;0]}y=-4$ tại $x=-1$.

d) Ba điểm cực trị: $A(-1;-4)$, $B(0;-3)$, $C(1;-4)$. Đoạn $AC$ nằm trên đường thẳng $y=-4$ có độ dài $AC=2$, khoảng cách từ $B$ đến $AC$ là $h=-3-(-4)=1$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-5}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ (hàm không có khoảng đồng biến).

b) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$.

c) Trên đoạn $[2;5]$ hàm số liên tục và nghịch biến (vì $[2;5]\subset (1;+\infty )$), nên:
- GTLN tại $x=2$: $y(2)=\frac{4+3}{2-1}=7$.
- GTNN tại $x=5$: $y(5)=\frac{10+3}{5-1}=\frac{13}{4}$.

d) Lấy $M(x_0;y_0)$ bất kỳ trên đồ thị, tức $y_0=\frac{2x_0+3}{x_0-1}$ với $x_0\ne 1$. Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng $x=1$ là $d_1=|x_0-1|$; khoảng cách đến tiệm cận ngang $y=2$ là $d_2=|y_0-2|$. Ta có $y_0-2=\frac{2x_0+3-2(x_0-1)}{x_0-1}=\frac{5}{x_0-1}$, nên $d_2=\frac{5}{|x_0-1|}$. Do đó tổng khoảng cách $d_1+d_2=|x_0-1|+\frac{5}{|x_0-1|}\ge 2\sqrt{|x_0-1|\cdot \frac{5}{|x_0-1|}}=2\sqrt{5}$ (theo AM–GM, dấu bằng khi $|x_0-1|=\sqrt{5}$, tức $x_0=1\pm \sqrt{5}$). Vậy tổng khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ trên đồ thị đến hai tiệm cận luôn không nhỏ hơn $2\sqrt{5}$, và giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách bằng $2\sqrt{5}$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là một parabol có đỉnh tại $(-1;-3)$ và đi qua các điểm $(-2;0)$ và $(0;0)$.
Từ đó suy ra $f^{\prime }(x)=3(x+1{)}^2-3=3x^2+6x$.
Do đó $f(x)=x^3+3x^2+d$.
Các điểm cực trị của $f(x)$ là nghiệm của $f^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $x=-2$.
Điểm cực trị có hoành độ âm là $x=-2$.
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm $⟹f(-2)=0$:
$(-2{)}^3+3(-2{)}^2+d=0⟺-8+12+d=0⟺4+d=0⟺d=-4$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;d)=(0;-4)$, tức tung độ bằng $-4$. Chọn C.

Đường thẳng đã cho có hệ số góc $k_1=-\frac{1}{45}$. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đó nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-\frac{1}{k_1}=45$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=45⟺3x^2-6x-45=0⟺x^2-2x-15=0⟺x=5$ hoặc $x=-3$. Với $x=5⟹y=52$, phương trình tiếp tuyến là $y=45(x-5)+52=45x-173$. Với $x=-3⟹y=-52$, phương trình tiếp tuyến là $y=45(x+3)-52=45x+83$. Do đó phương án đúng là D.

Tiếp tuyến song song với trục $Ox$ nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $0$. Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=\pm 1</td></tr></tbody></table>$. Với $x=0⟹y=m-1009$, phương trình tiếp tuyến là $d_1:y=m-1009$. Với $x=\pm 1⟹y=m-1010$, phương trình tiếp tuyến là $d_2:y=m-1010$. Hai tiếp tuyến này phân biệt. Để có đúng một tiếp tuyến song song với trục $Ox$ thì phải có đúng một tiếp tuyến trùng với trục $Ox$ ($y=0$), tức là: $[<table><tbody><tr><td>m-1009=0</td></tr><tr><td>m-1010=0</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m=1009</td></tr><tr><td>m=1010</td></tr></tbody></table>$. Suy ra $S=\{1009;1010\}$. Tổng các giá trị của $S$ bằng $1009+1010=2019$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}$.
Ta có: $y=\frac{2x-5}{3x-1}⟹3y=\frac{6x-15}{3x-1}=\frac{2(3x-1)-13}{3x-1}=2-\frac{13}{3x-1}$.
Để $x,y\in \mathbb{Z}$ thì $3y\in \mathbb{Z}⟹(3x-1)$ phải là ước của 13.
Ước của 13 là $\{\pm 1;\pm 13\}$:
- $3x-1=1⟹3x=2$ (loại vì $x\notin \mathbb{Z}$).
- $3x-1=-1⟹3x=0⟹x=0⟹y=5$ (nhận điểm $(0;5)$).
- $3x-1=13⟹3x=14$ (loại).
- $3x-1=-13⟹3x=-12⟹x=-4⟹y=\frac{2(-4)-5}{3(-4)-1}=\frac{-13}{-13}=1$ (nhận điểm $(-4;1)$).
Vậy có đúng 2 điểm có tọa độ nguyên. Chọn D.

Từ đồ thị ta xác định được $f(x)=x^3-3x+2$ ($a=1,b=0,c=-3,d=2$).
a) Đúng: Trên $(-2;1)$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-1)=4$.
b) Sai: Chỉ có hai hệ số dương là $a=1$ và $d=2$.
c) Sai: Tâm đối xứng của đồ thị là $(0;2)$, có hoành độ bằng $0$.
d) Đúng: Phương trình $f(t)=1$ có $3$ nghiệm phân biệt $t_1\in (-2;-1)$, $t_2\in (0;1)$, $t_3\in (1;2)$, cho tổng cộng $1+3+3=7$ nghiệm phân biệt.

a) Đúng: $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0,\forall x\ne 1$ nên hàm số không có cực trị.
b) Sai: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) Sai: Tiếp tuyến tại $(0;-1)$ là $y=-3x-1$, tạo với hai trục tam giác có diện tích $S=\frac{1}{6}⟹a=1,b=6⟹2a+b=8\ne 7$.
d) Đúng: Với nhánh trái ($x<1$), diện tích hình vuông $ABCD$ bằng $\frac{8(14-4\sqrt{10})}{9}\approx 1,2$.

Đồ thị $(C):y=x+\frac{1}{x-1}$ nhận $I(1;1)$ làm tâm đối xứng. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai nhánh là $\min AB=\sqrt{8\sqrt{2}+8}\approx 4,39$.

a) Sai: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
b) Sai: $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0,\forall x\ne 1$ nên hàm số không có cực trị.
c) Đúng: Tiếp tuyến tại $M(2;5)$ là $y=-3x+11$, cắt hai trục tại $\left(\frac{11}{3};0\right)$ và $(0;11)$, diện tích tam giác là $S=\frac{121}{6}⟹a=121,b=6⟹a-20b=1$.
d) Sai: Diện tích hình vuông $ABCD$ bằng $\frac{8(14+4\sqrt{10})}{9}\approx 23,7$.

Từ đồ thị ta xác định được $f(x)=x^3-3x+1$ ($a=1,b=0,c=-3,d=1$).
a) Sai: Chỉ có hai hệ số dương là $a=1$ và $d=1$.
b) Đúng: Trên $(-2;1)$, giá trị lớn nhất của hàm số là $f(-1)=3$.
c) Sai: Tâm đối xứng của đồ thị là $(0;1)$ có hoành độ bằng $0$.
d) Sai: Phương trình $f(t)=\frac{5}{2}$ có $3$ nghiệm phân biệt $t_1\in (-2;-1)$, $t_2\in (-1;0)$, $t_3\in (1;2)$, cho tổng cộng $1+3+3=7$ nghiệm phân biệt.

Chọn D.
Đồ thị có dạng hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh bên phải hướng xuống nên $a<0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;3)$ nên $c=3$.
Hàm số có 3 điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b>0$.
Trong các phương án đã cho, chỉ có phương án D: $y=-x^4+2x^2+3$ thỏa mãn.

Chọn C.
Áp dụng các tính chất tiếp tuyến của hàm nhất biến với hai tiệm cận, ta giải được $m_1^2+m_2^2=10$.