Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Từ đồ thị hàm số, tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, do đó đạo hàm $y^{\prime }>0,\forall x\ne -1$.

Đồ thị là đường cong của hàm số trùng phương có hệ số $a>0$, cắt trục tung tại $(0;-2)$ và đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$ nên hàm số là $y=x^4-2x^2-2$.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$:
- Nhánh cuối cùng đi lên khi $x\to +\infty ⟹a>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)⟹d=1$.
- Có 2 điểm cực trị tại $x=-1$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu).
Xét hàm số $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$ hoàn toàn phù hợp. Chọn A.

Chọn D.
Đồ thị có dạng hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh bên phải hướng xuống nên $a<0$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;3)$ nên $c=3$.
Hàm số có 3 điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b>0$.
Trong các phương án đã cho, chỉ có phương án D: $y=-x^4+2x^2+3$ thỏa mãn.

Chọn C.
Áp dụng các tính chất tiếp tuyến của hàm nhất biến với hai tiệm cận, ta giải được $m_1^2+m_2^2=10$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x⟹y^{\prime }(1)=-3$. Phương trình tiếp tuyến tại $M_0(1;0)$ là $y=-3(x-1)+0⟺y=-3x+3$. Chọn đáp án A.

Ta có $y^{\prime }=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$. Tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên có hệ số góc $k=-1⟺\frac{-4}{(x_0-1{)}^2}=-1⟺x_0=-1$ hoặc $x_0=3$. Với $x_0=-1⟹y_0=0$, tiếp tuyến là $y=-x-1$; với $x_0=3⟹y_0=4$, tiếp tuyến là $y=-x+7$. Chọn đáp án D.

Đường cong đã cho là đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$:
- Tiệm cận đứng: $x=-1$.
- Tiệm cận ngang: $y=1$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $(3;0)$.
Xét hàm số $y=\frac{x-3}{x+1}$:
- Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$.
- Khi $x=0⟹y=-3$.
- Khi $y=0⟹x=3$.
Hàm số này hoàn toàn thỏa mãn đồ thị đã cho. Chọn A.

Dựa vào dạng đồ thị của hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$:
- Nhánh đồ thị đi lên khi $x\to \pm \infty ⟹a>0$.
- Đồ thị có 3 điểm cực trị $⟹ab<0$. Vì $a>0$ nên $b<0$.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung $Oy$ là điểm $(0;c)$. Quan sát hình vẽ, điểm này nằm phía dưới gốc tọa độ $O⟹c<0$.
Vậy $a>0,b<0,c<0$. Chọn A.

Chọn A.
Hàm số đã cho là đa thức bậc ba với hệ số $a=1>0$ nên loại Hình 2 (hàm bậc bốn trùng phương).
Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2+2bx+c$. Vì $a=3>0$ và $c<0$ nên tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{c}{3}<0$.
Do đó phương trình $y^{\prime }=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu, suy ra hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía khác nhau so với trục $Oy$.
- Hình 4 không có điểm cực trị (loại Hình 4).
- Hình 3 có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục $Oy$ ($x_1,x_2>0$) (loại Hình 3).
- Hình 1 có hai cực trị nằm ở hai phía trục $Oy$ ($x_{CĐ}<0<x_{CT}$).
Vậy đồ thị $(C)$ là Hình 1.

Chọn B.
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta suy ra:
- Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0\Rightarrow ac>0$.
- Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0\Rightarrow \frac{d}{c}>0\Rightarrow cd>0$.
Từ đó $\frac{a}{d}=\frac{a/c}{d/c}>0\Rightarrow ad>0$ (loại D).
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $\frac{b}{d}<0\Rightarrow bd<0$ (loại A).
Từ $ad>0$ và $bd<0$, ta có $(ad)(bd)<0\iff ab\cdot d^2<0\Rightarrow ab<0$ (loại C).
Vậy $ad>0$ và $ab<0$.

Đồ thị hàm bậc ba có nhánh cuối đi xuống ($a<0$), đi qua điểm $(0;-1)$, đạt cực tiểu tại $(-1;-3)$ và cực đại tại $(1;1)$, nên hàm số là $y=-x^3+3x-1$. Chọn B.

Dựa vào đồ thị ta thấy:
1) Nhánh cuối đi lên khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a>0$, loại B và C.
2) Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung tại $x=-1$ và $x=1$, giá trị cực đại $y(-1)=3$ và cực tiểu $y(1)=-1$.
Xét hàm số $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$ thỏa mãn.
Vậy hàm số là $y=x^3-3x+1$. Chọn D.

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng, có đúng $1$ điểm cực trị là $(0;-2)$ và đi qua hai điểm $(-1;0)$, $(1;0)$ nhưng có dáng điệu của hàm trùng phương với $a>0,b>0$ (hoặc kiểm tra trực tiếp trong các phương án, đồ thị hàm trùng phương có $1$ cực trị và đi qua $(\pm 1;0)$ là $y=x^4+x^2-2$). Chọn đáp án B.

Ta có $f(x)=(x-1{)}^3-3(x-1)\Rightarrow f(x+1)=x^3-3x$. Đồ thị hình bên là đồ thị hàm bậc ba đi qua $(0;1)$, đạt cực tiểu tại $(-1;-1)$ và đạt cực đại tại $(1;3)$, có phương trình là $y=-x^3+3x+1=-f(x+1)+1$. Chọn đáp án A.

Đồ thị hàm số có dạng chữ M (hàm bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$) với nhánh ngoài cùng đi xuống nên $a<0$. Hàm số có 3 điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b>0$. Đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0;0)$ nên $c=0$. Do đó hàm số là $y=-x^4+2x^2$.

Đồ thị hàm trùng phương đi qua $(0;-1)$ và tiếp xúc trục hoành tại hai điểm cực đại $(\pm 1;0)$ nên là đồ thị của hàm số $y=-(x^2-1{)}^2=-x^4+2x^2-1$.

Nhánh ngoài cùng bên phải đi lên nên hệ số $a>0$ (loại C). Đồ thị đi qua $(0;1)$ (loại D) và cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt đồng thời đạt cực tiểu bằng $-3$ nên là đồ thị của hàm số $y=x^4-4x^2+1$.

Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $A(2;0)$ và cắt trục $Oy$ tại $B(0;-2)$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên $S_{△OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$.

Chọn C.
+) Hàm số $y=x^3+x^2$ là hàm số bậc ba không có đồ thị đối xứng qua trục tung và dạng như hình vẽ nên loại D.
+) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm $(-1;2)$.
Đồ thị của các hàm số $y=x^2+x$, $y=x^4+x$ không đi qua điểm $(-1;2)$ nên loại A và B.
+) Đồ thị hàm số $y=x^4+x^2$ đi qua điểm $(-1;2)$, $(0;0)$, $(1;2)$ và có bề lõm hướng lên, nhận trục tung làm trục đối xứng nên nhận C.