Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát sóng tại I(1;2;4) bán kính phủ 4 km, vùng phủ là mặt cầu tâm I bán kính 4.
a) Ranh giới là mặt cầu (x−1)²+(y−2)²+(z−4)²=16 (bán kính 4, không phải 4²=... vế phải phải bằng 4²=16). Phương trình trong đề có vế phải 4 (tức bán kính 2) → SAI.
b) IA = √((−1−1)²+(0−2)²+(0−4)²)=√(4+4+16)=√24≈4,90 km > 4 km → An ngoài vùng phủ → SAI.
c) IB = √((2−1)²+(0−2)²+(2−4)²)=√(1+4+4)=3 km < 4 km → Bình trong vùng phủ → ĐÚNG.
d) Đường thẳng AB qua A(−1;0;0) có VTCP u=AB=(3;0;2), |AB|=√13≈3,606 km. Khoảng cách từ I đến đường thẳng: AI=(2;2;4), AI×u=(4;8;−6), |AI×u|=√116≈10,770, nên d(I,(AB))=10,770/√13≈2,99 km < 4 km. Gọi t là quãng đường đi từ A, điểm M=A+(t/√13)u; IM²=24−2t·(14/√13)+t²=16 ⟹ t²−(28/√13)t+8=0 ⟹ t=(7,766±5,320)/2, nghiệm nhỏ t≈1,22 km. Vậy An bắt được sóng sau khi đi khoảng 1,22 km (lần đầu), không phải 2,38 km → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính phủ sóng là 4 km nên vế phải phải là 4²=16, không phải 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
IA=√24≈4,90 km > 4 km nên An ngoài vùng phủ sóng.
c) (AI giải đề cho tôi)
IB=3 km < 4 km nên Bình trong vùng phủ sóng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải t²−(28/√13)t+8=0 được t≈1,22 km (lần đầu bắt được sóng), không phải 2,38 km.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bay: $P(t)=A+t\vec{u}=(-688+91t;-185+75t;8)$. Máy bay hiển thị trên ra đa khi $|OP|=417$, tức $|P(t){|}^2=417^2$. Ta có $|A{|}^2=688^2+185^2+8^2=507633$, $A\cdot \vec{u}=-688\cdot 91-185\cdot 75=-76483$, $|\vec{u}{|}^2=91^2+75^2=13906$. Phương trình: $13906t^2-152966t+333744=0\iff 6953t^2-76483t+166872=0$, có $\Delta =34765^2$, nên $t=3$ hoặc $t=8$. Vì máy bay hướng về đài kiểm soát ($A\cdot \vec{u}<0$), nó vào vùng ra đa tại $t=3$ và rời vùng (vị trí cuối cùng hiển thị) tại $t=8$: $C=A+8\vec{u}=(-688+728;-185+600;8)=(40;415;8)$. Vậy $a+b+c=40+415+8=463$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-6y-8z+4=0$ có tâm $I(2;3;4)$ và $R^2=2^2+3^2+4^2-4=25\Rightarrow R=5$. a) Sai vì bán kính là $R=5$ (số $25$ là $R^2$). b) Đường thẳng qua $I(2;3;4)$ vuông góc $(P)$ có VTCP $(2;1;2)$ nên phương trình là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$, không phải $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}$ (điểm $(0;2;2)$ không thuộc đường thẳng đó) → Sai. c) $d(I,(P))=\frac{|2\cdot 2+3+2\cdot 4-9|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{6}{3}=2$, bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$ → Đúng. d) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ($6^2+8^2=10^2$), bán kính đường tròn nội tiếp $r_{in}=\frac{6+8-10}{2}=2$. Khi các cạnh tam giác tiếp xúc với mặt cầu, giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng $(ABC)$ là đường tròn nội tiếp bán kính $2$, nên $d(I,(ABC))=\sqrt{R^2-r_{in}^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(2;3;4)$, $R=\sqrt{4+9+16-4}=5$, không phải $25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ vì đường thẳng đi qua $I(2;3;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=2$, nên $r=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông có bán kính nội tiếp $r=2$, suy ra $d(I,(ABC))=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;y;z)$. Ta có $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;z-2)$ nên $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AM}=x(x-2)+y(y+2)+z(z-2)=x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=6$. Vì $M$ thuộc mặt cầu tâm $I(0;0;-2)$ bán kính $1$: $x^2+y^2+(z+2{)}^2=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-4z-3$. Thay vào: $-4z-3-2x+2y-2z=6\iff 2x-2y+6z+9=0$. Vậy $(P):2x-2y+6z+9=0$ và khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $\frac{9}{\sqrt{4+4+36}}=\frac{9}{2\sqrt{11}}\approx 1,36$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;2;0)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $d$: $\overrightarrow{IP}=(0;0;-3)$, $\overrightarrow{IP}\perp \vec{u}$ nên $d(I,d)=\frac{|\overrightarrow{IP}\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$. Nửa dây cung $=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{14-9}=\sqrt{5}$, suy ra $AB=2\sqrt{5}$. Kiểm tra trực tiếp: thay phương trình của $d$ vào $(S)$ với $z=0$: $(1+t{)}^2+(2-2t{)}^2-2(1+t)-4(2-2t)=5t^2-5=0\Rightarrow t=\pm 1$, được $A(2;0;0)$, $B(0;4;0)$, $AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đơn vị tọa độ là mét nên $R=5$ km $=5000$ m. Mặt cầu $(S)$: $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=5000^2=25000000$. a) Sai vì $R^2=25000000\ne 25$. b) $IA=1000$ m $<5000$ m nên $A$ nằm trong mặt cầu → đúng. c) $IM=\sqrt{20^2+30^2+0^2}=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ được chiếu sáng → đúng. d) $IN=\sqrt{20^2+5^2+50^2}=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ vẫn được chiếu sáng; khẳng định 'không thể được chiếu sáng' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$R=5$ km $=5000$ m nên phương trình mặt cầu là $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=25000000$, không phải $=25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{1000^2+0+0}=1000$ m $<5000$ m nên $A$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{20^2+30^2+0^2}=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ nằm trong vùng phủ sáng, được chiếu sáng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IN=\sqrt{20^2+5^2+50^2}=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ vẫn được chiếu sáng; khẳng định 'không thể được chiếu sáng' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;2;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;0)$. Ta có $\overrightarrow{IP}=(0;0;-3)$, $\overrightarrow{IP}\times \vec{u}=(6;3;0)$ nên khoảng cách từ $I$ đến $d$ là $h=\frac{\sqrt{36+9}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$. Độ dài dây $AB=2\sqrt{R^2-h^2}=2\sqrt{14-9}=2\sqrt{5}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đơn vị tọa độ là mét, bán kính phủ sáng R = 5 km = 5000 m nên R² = 25 000 000 (m²).
a) Sai: phương trình mặt cầu đúng là $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=25000000$, không phải bằng 25 (đó là khi nhầm R = 5 m).
b) $IA=\sqrt{(1025-25{)}^2+0^2+0^2}=1000$ m $=1$ km $<5$ km nên $A$ nằm trong mặt cầu → đúng.
c) $IM=\sqrt{(45-25{)}^2+(60-30{)}^2+0^2}=\sqrt{400+900}=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ nằm trong vùng phủ sáng, được chiếu sáng → đúng.
d) $IN=\sqrt{(5-25{)}^2+(25-30{)}^2+(0-50{)}^2}=\sqrt{400+25+2500}=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ vẫn nằm trong vùng phủ sáng và được chiếu sáng; khẳng định 'không thể được chiếu sáng' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 5 km = 5000 m nên R² = 25 000 000, không phải 25. Phương trình đúng: $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=25000000$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=1000$ m $=1$ km $<5$ km nên $A$ nằm trong mặt cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ nằm trong vùng phủ sáng, được chiếu sáng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IN=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ nằm trong vùng phủ sáng và vẫn được chiếu sáng; khẳng định là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Thử phương án B với tâm $I(1;3;2)$, bán kính $R=3$:
- $I{A}^2=(3-1{)}^2+(4-3{)}^2+(0-2{)}^2=4+1+4=9$ ✓
- $I{B}^2=(2-1{)}^2+(5-3{)}^2+(4-2{)}^2=1+4+4=9$ ✓
- $I{C}^2=(-1-1{)}^2+(1-3{)}^2+(1-2{)}^2=4+4+1=9$ ✓
- $I{D}^2=(3-1{)}^2+(5-3{)}^2+(3-2{)}^2=4+4+1=9$ ✓
Vậy bốn đỉnh cùng cách đều $I$ một khoảng $3$, nên mặt cầu ngoại tiếp là $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Các phương án khác có tâm khác nên không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14 (trang 13):

a) Sai. Thay $P(2;1;0)$ vào $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=16$: $(2-2{)}^2+(1-1{)}^2+(0+3{)}^2=9\ne 16$, nên $P$ không thuộc mặt cầu.

b) Sai. $x^2+y^2+z^2+2x-4z-1=0\iff (x+1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=6$, tâm $I(-1;0;2)$. Khi đó $OI=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}\ne 5$.

c) Sai. $I$ là trung điểm $AC$ với $A(-1;0;-2)$, $C(3;-4;0)$ nên $I(1;-2;-1)$. Mặt phẳng $(SBC)$ qua $S(1;2;-2)$, $B(-2;-3;1)$, $C(3;-4;0)$: $\overrightarrow{SB}=(-3;-5;3)$, $\overrightarrow{SC}=(2;-6;2)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(8;12;28)\sim (2;3;7)$, suy ra $(SBC):2x+3y+7z+6=0$. Khoảng cách từ $I$ đến $(SBC)$: $d=\frac{|2-6-7+6|}{\sqrt{4+9+49}}=\frac{5}{\sqrt{62}}$, nên $d^2=\frac{25}{62}\ne \frac{18}{17}$. Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc $(SBC)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=\frac{25}{62}$, không phải $\frac{18}{17}$.

d) Đúng. Bán kính Trái Đất $6300$ km ứng với $1$ đơn vị; vệ tinh ở độ cao $18900$ km nên bán kính quỹ đạo $=6300+18900=25200$ km $=4$ đơn vị. Quỹ đạo là mặt cầu tâm $O$ bán kính $4$: $x^2+y^2+z^2=16$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $P(2;1;0)$: $0+0+9=9\ne 16$ nên $P$ không thuộc mặt cầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(-1;0;2)$, $OI=\sqrt{5}\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SBC):2x+3y+7z+6=0$, $d(I,(SBC))=\frac{5}{\sqrt{62}}$, $d^2=\frac{25}{62}\ne \frac{18}{17}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính quỹ đạo $=\frac{6300+18900}{6300}=4$ đơn vị, nên quỹ đạo là $x^2+y^2+z^2=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+1=0$ có tâm $I(1;-2;0)$ và $R^2=1^2+(-2{)}^2-1=4\Rightarrow R=2$. a) Đúng. b) $IM=\sqrt{(1-1{)}^2+(1+2{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{13}\ne 2$ nên sai. c) Trung điểm $AB$ là $(1;0;-3)\ne I$ nên $AB$ không là đường kính, sai. d) $d(I,(P))=\frac{|1-2-0-2|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\ne 2$ nên mặt cầu cắt mặt phẳng, không tiếp xúc, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(1;-2;0)$, $R=\sqrt{1+4-1}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{0+9+4}=\sqrt{13}\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $AB$ là $(1;0;-3)\ne I(1;-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=\frac{|1-2-0-2|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\ne R=2$, mặt cầu cắt mặt phẳng chứ không tiếp xúc.

(AI giải đề cho tôi)
Trạm tại $I(1;3;7)$, bán kính phủ sóng $R=3$ km, vùng phủ sóng là mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=9$.
a) Sai: phương trình đề cho $(x+1{)}^2+(y+3{)}^2+(z+7{)}^2=9$ có tâm $(-1;-3;-7)\ne I$.
b) $IA=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-3{)}^2+(7-7{)}^2}=\sqrt{2}\approx 1,41<3$, nên $A$ trong vùng phủ sóng → đúng.
c) $IB=\sqrt{(5-1{)}^2+(6-3{)}^2+(7-7{)}^2}=\sqrt{16+9}=5>3$, nên $B$ ngoài vùng phủ sóng → đúng.
d) Khoảng cách lớn nhất từ $B$ đến vùng phủ sóng (mặt cầu) là $IB+R=5+3=8$ km → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng phải là $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=9$ vì tâm là $I(1;3;7)$, bán kính 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{2}<3$ nên $A$ nằm trong vùng phủ sóng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IB=5>3$ nên $B$ nằm ngoài vùng phủ sóng, không thể sử dụng dịch vụ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách lớn nhất từ $B$ đến vùng phủ sóng là $IB+R=5+3=8$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;y;z)$. Từ $M{A}^2=36$, $M{B}^2=49$, $M{C}^2=144$, $M{D}^2=576$ ta có hệ:
$(x+1{)}^2+(y-6{)}^2+(z-3{)}^2=36$; $(x-4{)}^2+(y-8{)}^2+(z-1{)}^2=49$; $(x-9{)}^2+(y-6{)}^2+(z-7{)}^2=144$; $(x+15{)}^2+(y-18{)}^2+(z-7{)}^2=576$.

Lấy phương trình (2) trừ (1): $-10x-4y+4z+35=13\Rightarrow 5x+2y-2z=11$.
Lấy (3) trừ (1) (số hạng theo $y$ triệt tiêu): $-20x-8z+120=108\Rightarrow 5x+2z=3$.
Lấy (4) trừ (3) (số hạng theo $z$ triệt tiêu): $48x-24y+432=432\Rightarrow y=2x$.

Thế $y=2x$ và $z=\frac{3-5x}{2}$ vào $5x+2y-2z=11$: $5x+4x-(3-5x)=11\Rightarrow 14x=14\Rightarrow x=1$. Suy ra $y=2$, $z=-1$.

Thử lại: $M{A}^2=(2{)}^2+(-4{)}^2+(-4{)}^2=36$ ✓; $M{B}^2=(-3{)}^2+(-6{)}^2+(2{)}^2=49$ ✓; $M{C}^2=(-8{)}^2+(4{)}^2+(-8{)}^2=144$ ✓; $M{D}^2=(16{)}^2+(-16{)}^2+(-8{)}^2=576$ ✓.

Vậy $M(1;2;-1)$ và $T=x_M+y_M+z_M=1+2-1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện bắt tín hiệu tốt nhất: $AE\le 11$. Ta có $A{E}^2=(-3-3{)}^2+(8-1{)}^2+(m-1{)}^2=36+49+(m-1{)}^2=85+(m-1{)}^2\le 121$, suy ra $(m-1{)}^2\le 36$, tức $-6\le m-1\le 6$ hay $-5\le m\le 7$. Các giá trị nguyên của $m$: $-5,-4,\dots ,7$, gồm $7-(-5)+1=13$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh hải đăng $I(21;35;50)$, bán kính vùng phủ sáng $R=4\text{ km}=4000$ m.
a) Mặt cầu ranh giới vùng phủ sáng tâm $I$ bán kính 4000 m: $(x-21{)}^2+(y-35{)}^2+(z-50{)}^2=16000000$, không phải $=16$. Sai.
b) $I{D}^2=(5121-21{)}^2+(658-35{)}^2+(0-50{)}^2=5100^2+623^2+50^2=26400629$, nên $ID\approx 5138,16$ m $>4000$ m → người ở ngoài vùng phủ sáng. Sai.
c) Vùng sáng trên mặt biển là đường tròn giao của mặt cầu với $(Oxy)$, bán kính $r=\sqrt{4000^2-50^2}=\sqrt{15997500}\approx 3999,7$ m. Đúng.
d) Chân hải đăng $H(21;35;0)$, $DH=\sqrt{5100^2+623^2}=\sqrt{26398129}\approx 5137,91$ m. Điểm đầu tiên trong vùng sáng cách $D$ một đoạn $t=DH-r\approx 5137,91-3999,69=1138,22$ m. Tốc độ $7\times 1852=12964$ m/h, thời gian $=\frac{1138,22}{12964}\times 60\approx 5,27$ phút. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính phải là 4000 m nên phương trình là $(x-21{)}^2+(y-35{)}^2+(z-50{)}^2=16000000$, không phải $=16$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$ID\approx 5138,16$ m $>4000$ m nên người ở ngoài vùng phủ sáng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính vùng sáng trên mặt biển $\sqrt{4000^2-50^2}\approx 3999,7$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $\approx 1138,22$ m với tốc độ $12964$ m/h mất $\approx 5,27$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;0)$ vì tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Vì $I$ cách đều $A,B,C$ nên $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2$.

Từ $I{A}^2=I{B}^2$: $(a-1{)}^2+(b-2{)}^2+16=(a-1{)}^2+(b+3{)}^2+1\Rightarrow b^2-4b+20=b^2+6b+10\Rightarrow b=1$.

Từ $I{A}^2=I{C}^2$: $(a-1{)}^2+(b-2{)}^2+16=(a-2{)}^2+(b-2{)}^2+9\Rightarrow a^2-2a+17=a^2-4a+13\Rightarrow a=-2$.

Vậy $I(-2;1;0)$, bán kính $R^2=(-2-1{)}^2+(1-2{)}^2+(0+4{)}^2=9+1+16=26$, nên $R=\sqrt{26}$.

Đường kính $l=2\sqrt{26}\approx 10,20$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngọn hải đăng phủ sáng trong phạm vi mặt cầu tâm $I(21;35;50)$ bán kính $R=4km=4000m$. Người đi biển đi trên đoạn thẳng từ $I$ đến $D(5121;658;0)$, vectơ chỉ phương $\overrightarrow{ID}=(5100;623;-50)$. Điểm cuối cùng nhìn thấy ánh sáng là giao điểm của đường thẳng $ID$ với mặt cầu, gần $D$ hơn. Điểm $M=I+t\overrightarrow{ID}$ thuộc mặt cầu khi $|MI|=4000$, tức $t^2\cdot |\overrightarrow{ID}{|}^2=4000^2$. Ta có $|\overrightarrow{ID}{|}^2=5100^2+623^2+50^2=26010000+388129+2500=26400629$, nên $t=\frac{4000}{\sqrt{26400629}}\approx \frac{4000}{5138,154}\approx 0,77849$. Cao độ $c=50-50t=50(1-0,77849)\approx 11,08\approx 11$ (mét).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $r$ là bán kính quả bóng. Chọn hệ trục tọa độ với hai bức tường là các mặt phẳng $x=0$, $y=0$ và nền nhà là $z=0$. Vì bóng tiếp xúc với cả ba mặt phẳng nên tâm bóng là $I(r;r;r)$. Điểm $M$ trên bóng có khoảng cách đến hai tường và nền lần lượt là 17, 18, 21 cm nên $M(17;18;21)$. Vì $M$ thuộc mặt cầu $(I;r)$: $(17-r{)}^2+(18-r{)}^2+(21-r{)}^2=r^2$. Khai triển: $289+324+441-112r+3r^2=r^2\Rightarrow 2r^2-112r+1054=0\Rightarrow r^2-56r+527=0$. $\Delta =56^2-4\cdot 527=3136-2108=1028$, $\sqrt{1028}\approx 32,0624$, nên $r=\frac{56-\sqrt{1028}}{2}\approx 11,9688$ (nhận nghiệm nhỏ vì đường kính bóng tiêu chuẩn 23–24,5 cm). Vậy đường kính $2r\approx 23,9376\approx 23,9$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
a) (\vec{AB}\)=(2;-2;2)parallel(1;-1;1), đường thẳng qua A(-1;0;1): (x+1)/1 = y/(-1) = (z-1)/1 — đúng. b) Tâm I(0;-1;2), R²=|AB|²/4=12/4=3, phương trình: x²+(y+1)²+(z-2)²=3 ⇔ x²+y²+z²+2y-4z+2=0, khác đề (hằng số -2) — sai. c) d(A,(P))=|-3+0+1-4|/√11=6/√11=6√11/11 là bán kính, đường kính = 12√11/11 — sai. d) Tâm C=(1+3t;-2+t;3+t) trên đường thẳng qua B vuông góc (P); R=d(C,(P))=|t|√11 và CA²=11t²+12t+12=11t² ⇒ t=-1, R=√11 — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(\vec{AB}\)=(2;-2;2) nhận (1;-1;1) làm VTCP, đường thẳng qua A(-1;0;1): (x+1)/1=y/(-1)=(z-1)/1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(0;-1;2), R²=3 nên x²+(y+1)²+(z-2)²=3 ⇔ x²+y²+z²+2y-4z+2=0, không khớp phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R=d(A,(P))=6/√11=6√11/11, nên đường kính bằng 12√11/11 chứ không phải 6√11/11.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm C=(1+3t;-2+t;3+t), R=d(C,(P))=|t|√11 và CA²=11t²+12t+12=11t² ⇒ t=-1 ⇒ R=√11.