Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9=9$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (đề 104, câu 11: A).

Theo HD chấm (Đề 101 và 103):
Hình lập phương có tâm $I(4;4;4)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;4;4)$ và có bán kính bằng 3
Phương trình mặt cầu là
$$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu tâm $I(a,b,c)$, bán kính $R$ là tập hợp các điểm $M(x,y,z)$ thỏa $MI=R$, tức $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2}=R$. Bình phương hai vế: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Vế trái là tổng bình phương khoảng cách theo từng trục, vế phải phải là $R^2$ (không phải $R$), và dấu trong ngoặc phải là trừ (không phải cộng). Do đó đáp án đúng là B. (Lưu ý: bảng đáp án trang 19 có 4 mã đề, câu 10 của đề 102 là B, khớp với kết quả giải độc lập.)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;-2;-3)$, bán kính $R=3$ có dạng $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2+6z+9=9$, tức $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+5=0$. Kết quả trùng với đáp án A và với đáp án của đề (đề 102, câu 12: A).

Theo HD chấm (Đề 102 và 104):
Hình lập phương có tâm $I(3;3;3)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(3;3;3)$ và có bán kính bằng 2
Phương trình mặt cầu là
$$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=4$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(a,b,c)$ bán kính $R$ là tập điểm $M(x,y,z)$ với $IM=R$, tức $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Vế phải phải là $R^2$ (bình phương bán kính), dấu trong ngoặc là trừ toạ độ tâm. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$ có dạng $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9=9$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0$. Kết quả trùng với đáp án C trong đề và với bảng đáp án (đề 101, Câu 12 = C).

Theo HD chấm (Đề 101 và 103):
Hình lập phương có tâm $I(4;4;4)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;4;4)$ và có bán kính bằng 3
Phương trình mặt cầu là
$$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9$$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

Bán kính $R=IA$ (0.25 điểm). Đúng $R=2\sqrt{2}$ (0.25 điểm). Đúng dạng phương trình mặt cầu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$ (0.25 điểm). Kết quả: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=8$ (0.25 điểm).

Chú ý: Nếu học sinh chỉ ghi mà không lập luận ý 2, 4 thì chấm 0,75.

Bán kính $R=IA$ (0.25 điểm). Đúng $R=2\sqrt{2}$ (0.25 điểm). Đúng dạng phương trình mặt cầu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$ (0.25 điểm). Kết quả: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=8$ (0.25 điểm).

Chú ý: Nếu học sinh chỉ ghi mà không lập luận ý 2, 4 thì chấm 0,75.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Tâm I là trung điểm AB: I(-1;3;3), bán kính R = AB/2 với AB = √(16+100+64) = √180 = 6√5, nên R² = 45. Phương trình mặt cầu phải là (x+1)² + (y-3)² + (z-3)² = 45, không phải = √45.
b) Đúng. Mặt phẳng (P): x + 3y - 4z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến (1;3;-4).
c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (2;-1;1), nên Δ song song với d phải có cùng vectơ chỉ phương (2;-1;1), ví dụ x = 2 + 2t, y = -3 - t, z = 5 + t. Phương trình đề cho có vectơ chỉ phương (1;3;4) không song song với (2;-1;1).
d) Đúng. (Oxz): y = 0 có pháp tuyến n₁ = (0;1;0); (P) có pháp tuyến n₂ = (1;-1;0). cos = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = 1/√2, suy ra góc bằng 45°.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(-1;3;3), R² = 45 nên phương trình đúng là (x+1)²+(y-3)²+(z-3)² = 45, không phải = √45.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (P): x+3y-4z+5=0 là (1;3;-4).
c) (AI giải đề cho tôi)
d có vectơ chỉ phương (2;-1;1), còn phương trình đưa ra có vectơ chỉ phương (1;3;4), không song song với d.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos góc = |0·1 + 1·(-1) + 0·0|/(1·√2) = 1/√2 nên góc bằng 45°.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$, ta có tâm $I(4;-1;0)$ và $R=\sqrt{4^2+(-1{)}^2-1}=\sqrt{16}=4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$. A có hệ số $2z^2\ne 1$ nên loại. C có bậc 3 nên loại. D có số hạng $4yz$ nên loại. B: $x^2+y^2+z^2+2x-2z-4=0$ có $a=-1,b=0,c=1,d=-4$, kiểm tra $a^2+b^2+c^2-d=1+0+1+4=6>0$, nên đây là phương trình mặt cầu tâm $I(-1;0;1)$, bán kính $R=\sqrt{6}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua M(-2;2;3) vuông góc (P) có VTCP là VTPT của (P): n=(1;2;-3), nên phương trình đúng là (x+2)/1=(y-2)/2=(z-3)/(-3). Phương trình đề cho đi qua điểm (1;2;-3) khác M nên sai.
b) Bán kính R=d(M,(P))=|-2+4-9+6|/√14=1/√14. Mặt cầu (S'): (x+2)²+(y-2)²+(z-3)²=1/14 ⇔ x²+y²+z²+4x-4y-6z+17-1/14=0 ⇔ x²+y²+z²+4x-4y-6z+237/14=0. Hệ số tự do 237/14 ≠ 3 nên khẳng định sai.
c) Từ (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=25 suy ra tâm I(2;-1;3), bán kính 5. Đúng.
d) MI=(4;-3;0), n_P=(1;2;-3). VTPT của (Q) phải vuông góc cả MI và n_P: n=MI×n_P=(9;12;11). Mặt phẳng qua M: 9(x+2)+12(y-2)+11(z-3)=0 ⇔ 9x+12y+11z-39=0. Phương trình đề cho 9x+12y-11z+27=0 có VTPT (9;12;-11), kiểm tra (9;12;-11)·(1;2;-3)=9+24+33=66≠0 nên không vuông góc với (P) (dù đi qua M và I). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đúng là (x+2)/1=(y-2)/2=(z-3)/(-3); phương trình đề cho đi qua (1;2;-3)≠M(-2;2;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=d(M,(P))=1/√14, nên (S'): x²+y²+z²+4x-4y-6z+237/14=0, hệ số tự do khác 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=25 suy ra tâm I(2;-1;3), bán kính 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là 9x+12y+11z-39=0; phương trình đề cho có VTPT (9;12;-11) với (9;12;-11)·(1;2;-3)=66≠0 nên (Q) không vuông góc với (P).

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt cầu đi qua O nên d=0. Thay A(-3;0;0): 9+6a=0 ⇒ a=-3/2. Thay B(0;0;8): 64-16c=0 ⇒ c=4. Thay C(0;-9;0): 81+18b=0 ⇒ b=-9/2. Khi đó a²+b²+c²+d² = 9/4+81/4+16+0 = 90/4+16 = 22,5+16 = 38,5. Vậy T = 4·38,5 = 154.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm cầu là trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{1-1}{2};\frac{0-2}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(0;-1;1)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$, nên $R^2=6$. Phương trình mặt cầu: $x^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=6$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$ ta có tâm $I(2;-1;-1)$, bán kính $R=\sqrt{6}$ (dm). Vì quả bóng nằm yên trên sàn và tấm ván đè lên bóng, cả sàn nhà và tấm ván đều là hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và cùng đi qua đường thẳng $d$ (giao của chúng).

**d)** Tâm quả bóng là $I(2;-1;-1)$ chứ không phải $I(2;1;1)$ → khẳng định d SAI.

**b)** Đường thẳng $d$ đi qua $P(-2;-1;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-3;1)$. Ta có $\overrightarrow{PI}=(4;0;-1)$, $\vec{u}\times \overrightarrow{PI}=(3;6;12)$, $|\vec{u}\times \overrightarrow{PI}|=\sqrt{189}$, $|\vec{u}|=\sqrt{14}$. Khoảng cách $d(I,d)=\frac{\sqrt{189}}{\sqrt{14}}=\sqrt{13.5}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ → khẳng định b ĐÚNG.

**a), c)** Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $I$ xuống $d$. Hai mặt phẳng tiếp diện (sàn và tấm ván) cắt mặt phẳng $(\perp d)$ qua $I$ theo hai tiếp đường kẻ từ $H$ đến đường tròn tâm $I$ bán kính $R$. Xét tứ giác $IAHB$ có $\widehat{IAH}=\widehat{IBH}=90^{\circ }$ nên $\widehat{AIB}+\widehat{AHB}=180^{\circ }$. Trong tam giác vuông $IAH$: $\sin \widehat{AHI}=\frac{R}{IH}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{6}/2}=\frac{2}{3}$, suy ra $\widehat{AHB}=2\arcsin \frac{2}{3}$ và $\cos \widehat{AHB}=1-2\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{9}$. Do đó $\cos \widehat{AIB}=-\frac{1}{9}$, tức $a=-1,b=9$ (tối giản) và $a^2+b^2=1+81=82\ne 80$ → khẳng định a SAI.

Con kiến bò trên mặt cầu từ $A$ đến $B$ theo cung tròn ngắn nhất có độ dài $R\cdot \widehat{AIB}=\sqrt{6}\cdot \arccos \left(-\frac{1}{9}\right)\approx \sqrt{6}\cdot 1.68214\approx 4.1203$ dm $=41.2$ cm. Với tốc độ 2 cm/s, thời gian ngắn nhất $\approx \frac{41.2}{2}\approx 20.6\approx 21$ giây → khẳng định c ĐÚNG.

Kết luận: a SAI, b ĐÚNG, c ĐÚNG, d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng (sàn nhà và tấm ván) đều tiếp xúc mặt cầu và cùng chứa đường thẳng $d$. Với $H$ là chân đường vuông góc từ $I$ xuống $d$, $IH=\frac{3\sqrt{6}}{2}$, tứ giác $IAHB$ nội tiếp nên $\widehat{AIB}=180^{\circ }-\widehat{AHB}$. Vì $\sin \widehat{AHI}=\frac{R}{IH}=\frac{2}{3}$ nên $\cos \widehat{AHB}=1-2\cdot \frac{4}{9}=\frac{1}{9}$, suy ra $\cos \widehat{AIB}=-\frac{1}{9}$. Khi đó $a=-1,b=9$ và $a^2+b^2=82\ne 80$ → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(-2;-1;0)\in d$, $\vec{u}=(2;-3;1)$, $\overrightarrow{PI}=(4;0;-1)$. $\vec{u}\times \overrightarrow{PI}=(3;6;12)$, $|\vec{u}\times \overrightarrow{PI}|=\sqrt{189}$, $|\vec{u}|=\sqrt{14}$. Khoảng cách $d(I,d)=\frac{\sqrt{189}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ → ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường ngắn nhất trên mặt cầu là cung nhỏ $AB$ có độ dài $R\cdot \widehat{AIB}=\sqrt{6}\arccos \left(-\frac{1}{9}\right)\approx 4.1203$ dm $=41.2$ cm. Thời gian $\approx \frac{41.2}{2}\approx 20.6\approx 21$ giây → ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=6$ ta có tâm $I(2;-1;-1)$, $R=\sqrt{6}$. Tâm $I(2;1;1)$ là sai → SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là vị trí kiến trên mặt cầu (tâm $I(-1;2;4)$, bán kính $R$), $N$ là vị trí kiến trên mặt đất ($z=0$), với vecto $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\Delta$ có vtcp $\vec{u}=(1;2;2)$, $|\vec{u}|=3$. Đường thẳng qua $M$ theo phương $\vec{u}$ cắt mặt phẳng $z=0$ tại $N$: tham số $t$ thỏa $z_M+2t=0$ nên $t=-z_M/2$, do đó $MN=|t|\cdot |\vec{u}|=\frac{3}{2}{z}_M$ (vì $z_M>0$). Khoảng cách nhỏ nhất đạt khi $z_M$ nhỏ nhất trên mặt cầu: $z_{\min }=4-R$. Vậy $\frac{3}{2}(4-R)=\frac{57}{10}⟹4-R=\frac{19}{5}⟹R=\frac{1}{5}m=20cm$.

Theo định nghĩa hình học, khi quay một đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $\Delta$ tại điểm $O$ và tạo với $\Delta$ một góc nhọn $\alpha$ quanh trục $\Delta$ thì ta được một mặt nón tròn xoay có đỉnh là $O$.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.
Ta có: $-2a=-2⟹a=1$; $-2b=4⟹b=-2$; $-2c=2⟹c=-1$; $d=3$.
Tâm của mặt cầu là $I(1;-2;-1)$.
Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2-3}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$.