Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(8;0;0)$ và bán kính $R=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đến tâm $I$ là $OI=8$.
Vì $OM$ tiếp xúc với mặt cầu tại $M$ nên $\Delta OMI$ vuông tại $M$.
Ta có $OM=\sqrt{O{I}^2-R^2}=\sqrt{64-32}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đoạn thẳng $OI$.
Ta có: $OH=\frac{O{M}^2}{OI}=\frac{32}{8}=4$.
Vì $I$ nằm trên trục $Ox$ nên hình chiếu $H$ trên $Ox$ có tọa độ $H(4;0;0)$.
Mặt phẳng chứa các điểm tiếp xúc $M$ vuông góc với trục $OI$ (trục $Ox$) tại $H(4;0;0)$, có phương trình $x-4=0$.

Đáy là tam giác đều cạnh $2a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là:
$R_{\text{đaˊy}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Chiều cao của lăng trụ là $h=2a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:
$R=\sqrt{R_{\text{đaˊy}}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+a^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{21}}{3}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{21\sqrt{21}{a}^3}{27}=\frac{28\sqrt{21}}{27}\pi a^3$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-1)$, bán kính $R=1$.
Đường thẳng $d$ đi qua $A(2;0;0)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;-1)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ lên đường thẳng $d$.
Khi đó đoạn thẳng $T{T}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng chứa $I$ và $d$, và trung điểm $K$ của $T{T}^{\prime }$ chính là hình chiếu của $H$ lên đoạn nối tâm với dây tiếp điểm.
Bằng phương pháp tọa độ, ta tìm được tọa độ trung điểm $K\left(\frac{1}{3};\frac{5}{6};-\frac{5}{6}\right)$.

Mặt cầu $(S):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$.
Từ phương trình đã cho ta có tâm $I(-1;3;2)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$. Chọn A.

Tâm của mặt cầu là trung điểm $AB$: $I(4;3;4)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{4^2+4^2+2^2}}{2}=3$.
Đặt khoảng cách $IH=x$ ($0\le x<R=3$). Chiều cao khối nón là $h=AH=R+x=3+x$.
Bán kính đường tròn đáy nón là $r=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{9-x^2}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (9-x^2)(3+x)=\frac{1}{3}\pi (3-x)(3+x{)}^2$.
Xét hàm số $f(x)=(3-x)(3+x{)}^2$ trên $[0;3)$, ta có $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$.
Do đó $V$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1$, suy ra $IH=1$ và $H$ nằm giữa $I$ và $B$.
Khi đó $\overrightarrow{AH}=\frac{4}{6}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(4;4;2)=\left(\frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{4}{3}\right)⟹H\left(\frac{14}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3}\right)$.
Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=(2;2;1)$ làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$2\left(x-\frac{14}{3}\right)+2\left(y-\frac{11}{3}\right)+1\left(z-\frac{13}{3}\right)=0⟺2x+2y+z-21=0$.
Đối chiếu với $(P):2x+by+cz+d=0$ ta được $b=2,c=1,d=-21$.
Vậy $S=b+c+d=2+1-21=-18$. Chọn A.

Khối chóp có cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp được tính theo công thức:
$R=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{4a^2+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{17a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}$. Chọn B.

- d) Đúng: Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=4$ có tâm $I(1;0;-1)$ và bán kính $R=2$.
- b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;-4)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-8;8;-4)=-4(2;-2;1)$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(0;1;1)$ là $2x-2(y-1)+(z-1)=0\iff 2x-2y+z+1=0$.
- a) Đúng: Khoảng cách từ tâm $I(1;0;-1)$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là $d(I,(ABC))=\frac{|2\cdot 1-2\cdot 0-1+1|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{2}{3}$. Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
- c) Đúng: Thể tích tứ diện $ABCD$ lớn nhất khi $d(D,(ABC))$ lớn nhất. Đường thẳng $\Delta$ qua $I(1;0;-1)$ và vuông góc với $(ABC)$ có phương trình $x=1+2t,y=-2t,z=-1+t$. Giao điểm của $\Delta$ với $(S)$ ứng với $9t^2=4\iff t=\pm \frac{2}{3}$, cho hai điểm $D_1\left(\frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3}\right)$ và $D_2\left(-\frac{1}{3};\frac{4}{3};-\frac{5}{3}\right)$. Vì $d(D_1,(ABC))=R+\frac{2}{3}>d(D_2,(ABC))$ nên $D\left(\frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3}\right)$, suy ra $a+b+c=\frac{2}{3}$.

Thể tích viên bi hình cầu là $V=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi {\text{ (cm}}^3\text{)}$. Bán kính đáy cốc nước là $R=4\text{ cm}$. Gọi $h$ là chiều cao mực nước dâng lên trong cốc, ta có $\pi \cdot 4^2\cdot h=36\pi \iff h=\frac{9}{4}\text{ (cm)}$. Chọn đáp án B.

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Vì $SA=SB=SC$ nên $SH\perp (ABC)$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABC$ là $R_d=\frac{BC}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{a}{2\cdot \frac{1}{2}}=a$.
Do đó $HA=R_d=a$.
Góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là $\widehat{SAH}=60^{\circ }$.
Suy ra $SH=HA\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$ và $SA=\frac{HA}{\cos 60^{\circ }}=2a$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $R=\frac{S{A}^2}{2SH}=\frac{(2a{)}^2}{2\cdot a\sqrt{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{32\sqrt{3}}{27}\pi a^3$.

Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=72\pi \Rightarrow R^2=\frac{72\pi }{4\pi }=18\Rightarrow R=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ cm}$.

Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Suy ra tâm $I(2;3;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{25}=5$.

Vì mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-1;-1)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ nên bán kính mặt cầu là $R=d(I,(P))=\frac{|2-2(-1)-2(-1)+3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2}}=3$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=9\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z-3=0$. Chọn đáp án A.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R_{\text{đaˊy}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{3^2+4^2}}{2}=\frac{5}{2}$.
Đường cao của hình chóp là $h=SA=5$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
$R=\sqrt{R_{\text{đaˊy}}^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.
Ta có: $-2a=-2⟹a=1$, $-2b=-4⟹b=2$, $-2c=-6⟹c=3$.
Vậy tâm của mặt cầu là $I(1;2;3)$.

Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu là $C=2\pi R=4\pi ⟹R=2$.
Diện tích mặt cầu là:
$S=4\pi R^2=4\pi (2^2)=16\pi .$

Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $MN$:
$I=\left(\frac{3-1}{2};\frac{-2+6}{2};\frac{5-3}{2}\right)=(1;2;1).$
Bán kính mặt cầu là:
$R=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{(-1-3{)}^2+(6-(-2){)}^2+(-3-5{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{16+64+64}}{2}=\frac{\sqrt{144}}{2}=6.$
Phương trình mặt cầu đường kính $MN$ là:
$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=36.$

Khoảng cách từ tâm $I(0;-2;1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d=d(I,(P))=\frac{|0+2(-2)-2(1)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-3|}{3}=1.$
Diện tích đường tròn giao tuyến là $S=\pi r^2=2\pi ⟹r^2=2$.
Bán kính mặt cầu thỏa mãn $R^2=d^2+r^2=1^2+2=3$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
$x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=3.$

Trong không gian $Oxyz$, điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S)$:
$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=6+1+4+1=12=(2\sqrt{3}{)}^2,$
có tâm $I(1;-2;-1)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$.
Điểm $N(d;e;f)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x-y+2z-14=0$.
Biểu thức $P=(a-d{)}^2+(b-e{)}^2+(c-f{)}^2=M{N}^2$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d(I,(P))=\frac{|2(1)-(-2)+2(-1)-14|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|2+2-2-14|}{3}=\frac{12}{3}=4.$
Khoảng cách nhỏ nhất giữa $M\in (S)$ và $N\in (P)$ là:
$M{N}_{\min }=d(I,(P))-R=4-2\sqrt{3}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
$P_{\min }=(M{N}_{\min }{)}^2=(4-2\sqrt{3}{)}^2=16-16\sqrt{3}+12=28-16\sqrt{3}.$

Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $r_d=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
$R=\sqrt{r_d^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+\frac{6a^2}{4}}=\sqrt{\frac{8a^2}{4}}=a\sqrt{2}$
Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2=4\pi (a\sqrt{2}{)}^2=8\pi a^2$.