Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x^3+2x^2+5}{x}=3x^2+2x+\frac{5}{x}$ với $x\ne 0$. Do đó $\int f(x)dx=\int \left(3x^2+2x+\frac{5}{x}\right)dx=x^3+x^2+5\ln |x|+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^3+x^2+5\ln |x|$ là $3x^2+2x+\frac{5}{x}$, đúng bằng $f(x)$. Các phương án A, B, D sai vì hệ số của $x^2$ phải là $1$ (không phải $2$) và phải dùng $\ln |x|$ để nguyên hàm xác định trên cả hai khoảng $x>0$ và $x<0$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=2x-1$, khi đó $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$. Ta có $$\int \frac{1}{(2x-1{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int u^{-2}\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\cdot \left(-u^{-1}\right)+C=-\frac{1}{2(2x-1)}+C=-\frac{1}{4x-2}+C.$$ Kiểm tra: đạo hàm của $-\frac{1}{4x-2}$ là $\frac{4}{(4x-2{)}^2}=\frac{4}{4(2x-1{)}^2}=\frac{1}{(2x-1{)}^2}$, đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=a{x}^2+bx+1$ là nguyên hàm của $f(x)=2x+1$ nên $F^{\prime }(x)=2ax+b=f(x)=2x+1$ với mọi $x$. Đồng nhất hệ số: $2a=2\Rightarrow a=1$; $b=1$. Vậy $a+b=2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$. Điều kiện $F(0)=\frac{1}{2}+C=0$ suy ra $C=-\frac{1}{2}$. Vậy $F(\ln 3)=\frac{1}{2}{e}^{2\ln 3}-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$. B đúng vì ${\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{\prime }=\cos 2x$. C sai vì $\int e^{x}dx=e^x+C$, còn ${\left(\frac{e^{x+1}}{x+1}\right)}^{\prime }=e^{x+1}\cdot \frac{x+1-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x{e}^{x+1}}{(x+1{)}^2}\ne e^x$. D đúng vì $\int x^{e}dx=\frac{x^{e+1}}{e+1}+C$ (với $e\ne -1$). Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=4x^3-6x$, $F$ là nguyên hàm của $f$ và $F(0)=2$.

a) Theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)=4x^3-6x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. → Đúng.

b) $\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x=x^4-3x^2+C_1-C_2$, tức chỉ là hiệu của hai nguyên hàm riêng mà thiếu hằng số tích phân tổng thể; viết $F(x)=\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x$ không phải một nguyên hàm xác định (mỗi tích phân đều có hằng số riêng, biểu thức này không xác định đúng một hàm $F$ với điều kiện $F(0)=2$). → Sai.

c) $F(x)=\int (4x^3-6x)\mathrm{d}x=x^4-3x^2+C$. Với $F(0)=2\Rightarrow C=2$, vậy $F(x)=x^4-3x^2+2$. → Đúng.

d) $F(1)=1^4-3\cdot 1^2+2=1-3+2=0\ne 3$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F^{\prime }(x)=f(x)=4x^3-6x,\forall x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức $\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x$ thiếu hằng số tích phân tổng thể, không xác định đúng một nguyên hàm $F$ thỏa $F(0)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^4-3x^2+C$; từ $F(0)=2$ suy ra $C=2$, nên $F(x)=x^4-3x^2+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1-3+2=0\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: f'(x)=8x^3+sin x.
a) Đúng: theo định nghĩa, f là một nguyên hàm của f' vì f'(x) là đạo hàm của f(x).
b) Sai: f(x)=∫(8x^3+sin x)dx=2x^4−cos x+C. Với f(0)=−1+C=3 ⇒ C=4, vậy f(x)=2x^4−cos x+4, không phải 2x^4−cos x+3.
c) Sai: ∫f(x)dx=∫(2x^4−cos x+4)dx=(2/5)x^5−sin x+4x+C, hệ số của x phải là 4 chứ không phải 3.
d) Đúng: đề bài cho F là nguyên hàm của f thỏa mãn F(0)=2, nên khẳng định F(0)=2 là đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) là đạo hàm của f(x), nên f(x) là một nguyên hàm của f'(x).
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=2x^4−cos x+C; f(0)=−1+C=3 ⇒ C=4, nên f(x)=2x^4−cos x+4.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫f(x)dx=(2/5)x^5−sin x+4x+C, không phải +3x.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết đã cho F(0)=2 nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=2\cos x$ và $g(x)=2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$.
a) $\int 2\cos xdx=2\sin x+C$ → đúng.
b) $\int g(x)dx=\int (1-\cos x)dx=x-\sin x+C\ne -\cos x+C$ → sai.
c) $f(x)+g(x)=2\cos x+1-\cos x=1+\cos x$, nên $\int [f(x)+g(x)]dx=x+\sin x+C$ → đúng.
d) Với $g(x)\ne 1$ tức $\cos x\ne 0$: $\frac{f(x)}{g(x)-1}=\frac{2\cos x}{-\cos x}=-2$, nên nguyên hàm là $-2x+C\ne 2x+C$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int 2\cos xdx=2\sin x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1-\cos x$ nên $\int g(x)dx=x-\sin x+C$, không phải $-\cos x+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)+g(x)=1+\cos x$ nên nguyên hàm là $x+\sin x+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{f(x)}{g(x)-1}=\frac{2\cos x}{-\cos x}=-2$ nên nguyên hàm là $-2x+C$, không phải $2x+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{2x+1}{x-2}=\frac{2(x-2)+5}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}$. Do đó $\int \frac{2x+1}{x-2}dx=\int \left(2+\frac{5}{x-2}\right)dx=2x+5\ln |x-2|+C$. Vậy $a=2$, $b=5$, nên $a+b=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int f(x)\mathrm{d}x=x\sin x+C$ nên $f(x)=(x\sin x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x$. Do đó $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=1+0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Cần tìm hàm số $f(x)$ sao cho $\sin 2x$ là một nguyên hàm của $f(x)$, tức $\int f(x)dx=\sin 2x+C$, tương đương $f(x)=(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$.

Kiểm tra: $\int 2\cos 2xdx=\sin 2x+C$, đúng.
- A: $\int \cos 2xdx=\frac{\sin 2x}{2}+C\ne \sin 2x+C$ (sai).
- B: $\int -\frac{\cos 2x}{2}dx=-\frac{\sin 2x}{4}+C$ (sai).
- C: $\int \frac{\cos 2x}{2}dx=\frac{\sin 2x}{4}+C$ (sai).
- D: $\int 2\cos 2xdx=\sin 2x+C$ (đúng).

Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x(4x^2+2)=4x^3+2x$. Do đó $\int f(x)dx=\int (4x^3+2x)dx=x^4+x^2+C$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=4x^3+2x=f(x)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}+C$ và $\int \sin 3xdx=-\frac{\cos 3x}{3}+C$. Vậy $\int f(x)dx=\frac{e^{2x}}{2}-\frac{\cos 3x}{3}+C$, tương ứng phương án D. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{e^{2x}}{2}-\frac{\cos 3x}{3}\right)}^{\prime }=e^{2x}+\sin 3x=f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$ với $x\ne 0$.
a) Đúng: chia tử cho mẫu ta được $f(x)=x+5-\frac{7}{x}$.
b) Đúng: $\int f(x)dx=\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) Sai: nguyên hàm $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$; điều kiện $F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5$ cho $C=-\frac{1}{2}$, vậy $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|-\frac{1}{2}$, không phải $+\frac{1}{2}$.
d) Sai: với $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$, điều kiện $G(1)=\frac{1}{2}+5+C=4$ cho $C=-\frac{3}{2}$. Khi đó $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3=\frac{39}{2}-7\ln 3$ và $G(-9)=\frac{81}{2}-45-7\ln 9=-\frac{9}{2}-14\ln 3$, suy ra $G(3)+G(-9)=15-21\ln 3\approx -8,07\ne 20$. Hai điều kiện $G(1)=4$ và $G(3)+G(-9)=20$ là mâu thuẫn (không tồn tại $G$ thỏa mãn cả hai), nên khẳng định d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Chia tử cho mẫu: $\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$, đúng với mọi $x\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|-\frac{1}{2}$, không phải $+\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$G(1)=4\Rightarrow C=-\frac{3}{2}$. Khi đó $G(3)=\frac{39}{2}-7\ln 3$ và $G(-9)=-\frac{9}{2}-14\ln 3$, suy ra $G(3)+G(-9)=15-21\ln 3\ne 20$: các điều kiện mâu thuẫn, không tồn tại $G$ thỏa mãn, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$ và ${\cot }^{2}x={\csc }^{2}x-1$. Do đó $$\int f(x)dx=\int ({\sec }^{2}x-1)dx+\int ({\csc }^{2}x-1)dx=\tan x-x-\cot x-x+C=\tan x-\cot x-2x+C.$$ Kiểm tra bằng đạo hàm: $(\tan x-\cot x-2x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x+{\csc }^{2}x-2=(1+{\tan }^{2}x)+(1+{\cot }^{2}x)-2={\tan }^{2}x+{\cot }^{2}x=f(x)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ ta có $f(x)=x^2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=x^{5/2}+x^{-2/3}$. Khi đó $\int x^{5/2}dx=\frac{x^{7/2}}{7/2}+C=\frac{2}{7}\sqrt{x^7}+C$ và $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}+C=3\sqrt[3]{x}+C$. Vậy $\int f(x)dx=\frac{2}{7}\sqrt{x^7}+3\sqrt[3]{x}+C$, tương ứng phương án A. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{2}{7}{x}^{7/2}\right)}^{\prime }=x^{5/2}$, $(3x^{1/3}{)}^{\prime }=x^{-2/3}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(x^2+1{)}^2=x^4+2x^2+1$, nên $F(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x+C$. Với $F(1)=\frac{18}{15}$: $\frac{1}{5}+\frac{2}{3}+1=\frac{3+10+15}{15}=\frac{28}{15}$, suy ra $C=\frac{18}{15}-\frac{28}{15}=-\frac{10}{15}=-\frac{2}{3}$. Vậy $F(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x-\frac{2}{3}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=3x^2+6x+2$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3a{x}^2+2(a+b)x+(2a-b+c)$. So sánh hệ số: $3a=3\Rightarrow a=1$; $2(a+b)=6\Rightarrow b=2$; $2a-b+c=2\Rightarrow 2-2+c=2\Rightarrow c=2$. Vậy $S=a+b+c=1+2+2=5$. Đáp án D.

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$ là: $\frac{1}{2}(-\cos 2x+\sin 2x)+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int 6x^{5}dx=x^6$ và $\int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}$. Vậy $F(x)=x^6-\frac{1}{2x^2}+C$. Với $F(1)=0$: $1-\frac{1}{2}+C=0\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$. Do đó $F(x)=x^6-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2}$... kiểm tra lại: $F(1)=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ đúng, nhưng so với các đáp án, phương án có $+\frac{1}{2}$ là A cho $F(1)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\ne 0$; phương án C cho $F(1)=0$. Tính lại đạo hàm của C: $F^{\prime }(x)=6x^5+\frac{1}{x^3}$ đúng. Vậy đáp án đúng là C.